《金融數(shù)學(xué)》課件6債券和股票

1、1,債券和股票Bonds and stocks,孟生旺 中國(guó)人民大學(xué)統(tǒng)計(jì)學(xué)院,2,一、債券(bond),含義：債的證明書。投資者和發(fā)行者之間債權(quán)債務(wù)關(guān)系的法律憑證和契約。 基本要素： 票面價(jià)值（面值）：我國(guó)一般為100元，美國(guó)一般為100或1000美元。 價(jià)格：平價(jià)，溢價(jià)，折價(jià) 償還期限：長(zhǎng)期（10年以上），中期（110），短期（1年以內(nèi)）。 票面利率。根據(jù)利息支付方式，可分為附息債券（coupon）和零息債券（zero-coupon）。,3,政府債券 國(guó)債 地方政府債券 金融債券 公司債券,債券的種類：,4,債券定價(jià)的基本原理,P 債券的價(jià)格(bond price) i 債券的到期收益率（y

2、ield-to-maturity rate), internal rate of return on the bond. F 債券的面值（par value，face amount, nominal value） r 債券的息票率（coupon rate per payment period） rF 息票收入(coupon) C 債券的償還值（redemption payment），通常等于債券的面值，即C = F。例外：提前償還時(shí)，償還值不等于債券的面值。,5,g 修正息票率（modified coupon rate, coupon rate per payment period in te

3、rms of the redemption amount），是息票 收入與償還值C的比率，即g = rF/C。因此，gC = rF。 n 息票的支付次數(shù)(number of coupon payments)。 G 基價(jià)（base amount of a bond）。把基價(jià)按利率 i投資，每期產(chǎn)生的利息收入將等于息票收入，即iG = rF。 息票收入等式：rF = gC = iG。,6,衡量息票收入的三個(gè)指標(biāo)：,7,債券價(jià)格的計(jì)算：四種方法。 （1）基本公式 債券的價(jià)格等于按市場(chǎng)利率 i 計(jì)算的未來(lái)息票收入的現(xiàn)值與償還值的現(xiàn)值之和，即 可見，債券的價(jià)格與市場(chǎng)利率成反比關(guān)系。,F 債券的面值 C

4、債券的償還值 r 債券的息票率,8,對(duì)上式求關(guān)于 i 的一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得 一階導(dǎo)數(shù)小于零，說(shuō)明P 是i 的減函數(shù)。 二階導(dǎo)數(shù)大于零，說(shuō)明 P 是i 的凸函數(shù)（下凸），如圖所示。,9,債券價(jià)格與市場(chǎng)利率關(guān)系,當(dāng)市場(chǎng)利率下降時(shí)，債券價(jià)格將以加速度上升； 當(dāng)市場(chǎng)利率上升時(shí)，債券價(jià)格將以減速度下降。,10,（2）溢價(jià)公式（premium/discount formula） P = rF + Cvn = rF + C(1 i ) = C+(rFiC) = C + (gC iC) = C1 + (g i) 見下頁(yè)解釋,11,溢價(jià)公式的一種解釋：,C,iC,iC,iC,iC C,P,rF,rF,rF,r

5、F C,12,當(dāng)價(jià)格 P 超過(guò)償還值 C 時(shí)，就稱按溢價(jià)(premium)出售 溢價(jià) = P C = C (g i) 當(dāng)溢價(jià)為零時(shí)，修正息票率g將等于收益率i。 當(dāng)債券的價(jià)格P小于其償還值C，債券就按折價(jià)（discount）出售，即負(fù)的溢價(jià)。,13,債券的賬面值（book value)：持有人在債券上的投資余額。Based on the yield at which the bond is purchased (which is known as a book yield).,期初：,第1期末：,第 t 期末：,第 n 期末：,14,相鄰兩個(gè)賬面值之差就是各年的溢價(jià)補(bǔ)償金額(premium a

6、mortization amount)：,上述溢價(jià)補(bǔ)償金額之和為：,15,例：債券的面值為1000元，年息票率為6%，期限為3年， 到期按面值償還。投資者所要求的收益率為5%，試 計(jì)算債券的價(jià)格以及投資者在各年末的帳面值。 解： F (面值) = C (償還值)，故息票率 r = 修正息票率 g。 已知：F = C = 1000，r = g = 6%，i = 5%，用溢價(jià)公式： 債券價(jià)格超過(guò)了償還值，溢價(jià)金額為27.23元。,16,下面分析溢價(jià)將在以后各期如何獲得補(bǔ)償。 投資者在第一年應(yīng)該得到的利息收入為 1027.230.05 = 51.36（元） 第一年實(shí)際得到的息票收入為 10000.0

7、6 = 60（元） 息票收入超過(guò)了利息收入，這個(gè)差額被稱作溢價(jià)補(bǔ)償金額(premium amortization amount)。第一年的溢價(jià)補(bǔ)償金額為 60 51.36 = 8.64（元）,17,從第一年初的帳面值中減去第一年的溢價(jià)補(bǔ)償金額即得第二年初的帳面值為 1027.23 8.64 = 1018.59（元） 以后各年的帳面值和溢價(jià)補(bǔ)償金額如下表所示。,注：溢價(jià)補(bǔ)償金額的總和正好等于購(gòu)買價(jià)超過(guò)到期償還值的金額，即溢價(jià)(premium)。,18,（3）基價(jià)公式（base amount formula） 基價(jià)是投資者為了獲得與息票rF相等的周期性收益所必須的投資額，即iG = rF。基價(jià)公式

8、：,解釋（下頁(yè)）,19,解釋：P = G + (C G) vn 如將基價(jià)G按i投資，可獲得周期性收益（iG = rF），到期獲得G的償還值。 如購(gòu)買債券，可獲得周期性收入rF，到期獲得C的償還值。 購(gòu)買債券多獲得(C G)的償還值，其現(xiàn)值為(C G)vn，故購(gòu)買債券應(yīng)該多支付(C G)vn。,20,（4）Makeham公式 息票收入rF = gC，故由基本公式得 K是償還值 C 的現(xiàn)值， 是息票收入的現(xiàn)值。 如修正息票率 g與收益率 i 相等，則P 等于償還值C。,21,分期償還債券的價(jià)格（Makeham 公式的一個(gè)應(yīng)用）,分期償還債券：在不同的時(shí)間分期進(jìn)行償還 。 假設(shè)某債券的面值為1000

9、元，年度息票率為5%，從第6年末開始，發(fā)行人每年末償還205元，直至第10年末還清。這個(gè)分期償還債券的系列付款如下表所示。,22,如果市場(chǎng)利率為6%，則償還值的現(xiàn)值為 未來(lái)息票收入的現(xiàn)值為 因此上述債券的價(jià)格為 645.28 + 308.71 = 953.99（元）,23,應(yīng)用Makeham公式可以簡(jiǎn)化計(jì)算過(guò)程： 應(yīng)用該公式，只需要：償還值及其現(xiàn)值，修正息票率g，利率 i。 將上述債券分解為5種面值均為200元，償還值均為205元，償還期分別為6，7，10的債券。,24,如果分解后的每種債券具有相同的修正息票率g， 第s（s = 1，2，3，4，5）個(gè)債券的價(jià)格可表示為 則原債券的價(jià)格為,25

10、,在上例中，每個(gè)債券的修正息票率均為 g = 2005%205 = 0.04878 5種債券的償還值之和為 5種債券的償還值的現(xiàn)值之和為 所以原債券的價(jià)格為,26,債券價(jià)格的計(jì)算公式（小結(jié)）：,基本公式,溢價(jià)公式,基價(jià)公式,Makeham公式,27,債券在任意時(shí)點(diǎn)上的價(jià)格和帳面值,任意時(shí)點(diǎn)上債券的價(jià)格（假設(shè)利率不變，為 i ） 設(shè)： 債券在上一個(gè)息票支付日期的價(jià)格為P0 下一個(gè)息票支付日期的價(jià)格為P1 用 Pt 表示在兩個(gè)息票支付日期之間的價(jià)格（0 t 1）,0,t,1,P0,Pt,P1,時(shí)間,價(jià)格,28,債券在時(shí)間 t 的價(jià)格可用兩種方法計(jì)算： Pt = (1 + i)t P0 （過(guò)去法）

11、Pt = (rF + P1) (1 + i) (1 t) （將來(lái)法） 這兩式是等價(jià)的，證明如下： P0和P1存在下述關(guān)系： P1 = P0(1 + i) rF 或 rF +P1 = P0(1 + i) 代入將來(lái)法公式，即證。 注： Pt中包含在時(shí)間1到期的部分息票收入，P1不包含。,29,任意時(shí)點(diǎn)上債券的帳面值（假設(shè)利率不變，為 i ）,賬面值：實(shí)際投資余額。在息票支付日，賬面值等于債券價(jià)格，在其他時(shí)點(diǎn)，要從價(jià)格中扣除應(yīng)計(jì)息票收入。 假設(shè)在時(shí)間0的價(jià)格（等于帳面值）為P0 按復(fù)利計(jì)算，在時(shí)間 t（0 t 1）的價(jià)格為 Pt = (1 + i) tP0 從此價(jià)格中扣除應(yīng)計(jì)息票收入，即得在時(shí)間 t

12、 的帳面值 為 其中(rF)t表示從時(shí)間0到時(shí)間t的應(yīng)計(jì)息票收入。實(shí)際的息票收入只能在時(shí)間1領(lǐng)取。,30,應(yīng)計(jì)息票收入可以有兩種計(jì)算方法： 按復(fù)利計(jì)算（如果期末的利息收入為rF, 則期初的本金應(yīng)為 rF/i ） 按單利近似計(jì)算 (rF) t = t rF,31,債券的帳面值可按下述三種方法計(jì)算： 理論方法：按復(fù)利精確計(jì)算 半理論方法：將應(yīng)計(jì)息票收入按單利近似計(jì)算 實(shí)踐方法：用單利近似計(jì)算,32,例：債券的面值為1000元，年息票率為6%，每年末支付一次利息，期限為3年，到期按面值償還。市場(chǎng)利率為8%，試計(jì)算債券在購(gòu)買6個(gè)月后的價(jià)格和帳面值。,解：已知： C = F= 1000， r = g =

13、 6%， n = 3， i= 8% 所以債券在購(gòu)買日的價(jià)格為 在購(gòu)買6個(gè)月后的價(jià)格為 Pt = (1 + i) tP0 = 948.46(1 + 0.08)0.5 = 985.67（元）,33,在購(gòu)買6個(gè)月后的帳面值等于價(jià)格扣除應(yīng)計(jì)息票收入： 理論方法： 半理論方法： 實(shí)踐方法：,34,債券在每個(gè)季度末的價(jià)格和帳面值表（單位：元）,賬面值 = 價(jià)格 - 應(yīng)計(jì)息票收入,35,債券價(jià)格和債券帳面值的變化過(guò)程,36,債券屬性對(duì)債券價(jià)格的影響,債券的價(jià)格受下述屬性影響： 債券的到期時(shí)間 債券的息票率 可贖回條款 通貨膨脹調(diào)整 稅收待遇 債券的流動(dòng)性 違約風(fēng)險(xiǎn),37,（1）債券的到期時(shí)間,一般而言，債券

14、的到期時(shí)間越長(zhǎng)，債券的價(jià)格波動(dòng)幅度越大（風(fēng)險(xiǎn)越大）。見下例：,債券價(jià)格與到期時(shí)間的關(guān)系,38,例：債券價(jià)格與到期時(shí)間的關(guān)系 債券A的面值為100元，息票率為5%，期限為20年，到期時(shí)按面值償還。 債券B的期限為40年，其他條件與債券A完全相同。 直觀地看，當(dāng)市場(chǎng)利率變化時(shí)，債券B的價(jià)格將產(chǎn)生 更大幅度的變化，事實(shí)如何？,債券價(jià)格與到期時(shí)間的關(guān)系（反例，黑色為價(jià)格，紅色為變動(dòng)幅度）,39,（2）息票率,債券的息票率越低，債券價(jià)格的波動(dòng)幅度越大（風(fēng)險(xiǎn)越大）。 例：假設(shè)3種債券的期限均為20年，面值為100元，息票率分別為4%、5%、6%。初始的市場(chǎng)利率水平為5%。,40,（3）可贖回條款,可贖回債

15、券(callable bonds) ：在一定時(shí)間內(nèi)發(fā)行人有權(quán)贖回的債券。當(dāng)市場(chǎng)利率下降時(shí)，提前贖回的可能性較大。 可贖回債券通常規(guī)定贖回保護(hù)期（call protection period)。 Bonds are more likely to be called when interest rates fall because the issuer is then able to issue new debt with lower coupons. Callable bonds offer higher yields than similar non-callable bonds to com

16、pensate investors for call risk. 贖回價(jià)格（call price）：大于到期償還值。差額稱作贖回溢價(jià)（call premium),41,例：可贖回債券的價(jià)格 一種8年期的可贖回債券的息票率為12%，按面值1000元發(fā)行，若到期償還，則按面值償還。贖回保護(hù)期為5年。 如果發(fā)行人在第5年末贖回，則贖回價(jià)格為1050元 如果在第6年末贖回，則贖回價(jià)格為1030元 如果在第7年末贖回，則贖回價(jià)格為1010元 假設(shè)債券發(fā)行人從第5年末開始可以在任何一年末行使贖回權(quán)，如果投資者所要求的收益率為10%，那么投資者可以出的購(gòu)買價(jià)格應(yīng)為多少？ 投資者的購(gòu)買價(jià)：在各種贖回日期下，債

17、券的最低價(jià)格,42,如果在第5年末行使贖回權(quán)，則F = 1000， C = 1050, r = 12%, i = 10%， n = 5, 債券的價(jià)格為 如果在第6年末贖回，則債券的價(jià)格為1104.04 如果在第7年末贖回，則債券的價(jià)格為1102.50 如果債券到期時(shí)償還，則債券的價(jià)格為1106.70 故投資者的購(gòu)買價(jià)格應(yīng)為1102.50元。,43,特殊情況：償還值不變,如果償還值不變，由溢價(jià)公式可知： 按溢價(jià)發(fā)行，即rF- iC 0，償還期 n 越短，債券價(jià)格越低 按折價(jià)發(fā)行，即rF- iC 0，償還期 n 越長(zhǎng)，債券價(jià)格越低,44,含義：息票收入將根據(jù)通貨膨脹率進(jìn)行調(diào)整。 價(jià)格高于其他沒(méi)有通

18、貨膨脹調(diào)整的同類債券。 例：假設(shè)債券的面值為1000元，期限為10年，到期償還值為1100元。第一年末的息票率為5%，以后每年末比上一年增長(zhǎng)2%。如果投資者要求的收益率為8%，試計(jì)算債券的價(jià)格應(yīng)為多少？,（4）通脹調(diào)整,45,未來(lái)息票收入形成復(fù)遞增年金： 未來(lái)息票收入的現(xiàn)值為 到期償還值的現(xiàn)值為 1100(1 + 0.08)10 = 509.51 所以債券的價(jià)格為 362.81 + 509.51 = 872.32 如果不包含通脹調(diào)整，其價(jià)格為845.02元。,46,（5）免稅待遇,享受免稅待遇的債券，其價(jià)格一般略高于沒(méi)有免稅待遇的債券。,（6）流動(dòng)性,流動(dòng)性：債券的變現(xiàn)速度。 債券的流動(dòng)性與債

19、券的價(jià)格呈正向變化關(guān)系。,47,（7）違約風(fēng)險(xiǎn)（default risk）,違約風(fēng)險(xiǎn)：債券發(fā)行人未履行契約規(guī)定的可能性。 一般而言，債券的違約風(fēng)險(xiǎn)越大，投資者所要求的風(fēng)險(xiǎn)補(bǔ)償就越多，債券的價(jià)格就越低。,48,二、股票,優(yōu)先股：與債券類似，以固定的比例進(jìn)行回報(bào)。 優(yōu)先股和永久債券的定價(jià)：價(jià)格完全由息票收入或分紅決定，現(xiàn)值為 普通股： 清償所有債務(wù)，且優(yōu)先股的分紅完成之后，才能參與分紅。 紅利水平是不確定的，所以價(jià)格也是多變的。,49,普通股的價(jià)格：,（1）股票上市時(shí)的價(jià)格也稱“理論價(jià)”（theoretical price）。 由今后可能的分紅與收益率決定 有時(shí)稱之為分紅貼現(xiàn)模型（dividend

20、 discount model）。 （2）股票市場(chǎng)價(jià) 隨著股票進(jìn)入市場(chǎng)后的買賣情況，隨時(shí)波動(dòng)。,50,普通股的理論定價(jià)模型：,1零增長(zhǎng)模型（level dividend) 假設(shè)股息的增長(zhǎng)率為零，即每期的股息均為D，即 Dt = D（t = 1，2，） 則普通股的價(jià)格與優(yōu)先股類似，也可以表示為,51,2常數(shù)增長(zhǎng)模型(constant dividend growth) 假設(shè)股息的增長(zhǎng)率是一個(gè)常數(shù) r。如果第一年末的股息為D1，股票的理論價(jià)格為,（假設(shè) r i，否則不收斂）,52,例（略）：某公司的利潤(rùn)以年5的比例增長(zhǎng)，而且計(jì)劃將利潤(rùn)的50%進(jìn)行分紅。假定該公司的股票在第一年末每股分紅2元。如果市場(chǎng)

21、利率為10%，請(qǐng)計(jì)算股票的理論價(jià)格。 解：每年的股利將以5%的比例增加，所有分紅的現(xiàn)值為 股票的理論價(jià)格為40元,53,3. 通過(guò)市盈率（price-to-earnings ratio）計(jì)算股價(jià) 注：如果公司的收益接近于零或?yàn)樨?fù)，市盈率沒(méi)有意義。 根據(jù)上式，股價(jià)可以如下計(jì)算： 股價(jià)市盈率每股收益 例：A公司沒(méi)有上市，去年一年的收益為25萬(wàn)元。 B公司與A公司很相似，是一個(gè)上市公司。 假設(shè)B公司去年一年的收益為100萬(wàn)元，股價(jià)為30元，股票數(shù)量為10萬(wàn)。請(qǐng)計(jì)算A公司的市場(chǎng)價(jià)值(market capitalization)。,54,根據(jù)B公司計(jì)算市盈率為 可以假設(shè)A公司的市盈率與此類似。假設(shè)A公司

22、的股票數(shù)量為k，則其股價(jià)為 股價(jià)市盈率每股收益325/k75/k 故A公司的市場(chǎng)價(jià)值為75萬(wàn)元。,55,賣空(short sale)：出售某項(xiàng)當(dāng)前并非屬于其所有的資產(chǎn)。 Gain on short sale: 賣空的所得(gain) = 份數(shù)（出售價(jià)格購(gòu)買價(jià)格） short sale gain = (# shares)*(sale price-purchase price) 注：未考慮交易成本 例：假設(shè)某投資者以每股30元的價(jià)格賣空 X 股票100股，一年后在清算時(shí)以每股20元的價(jià)格購(gòu)入100股償還給經(jīng)紀(jì)人，試計(jì)算其所得（不考慮交易成本）。 解：該投資者的所得（gain）為：,賣空（short sale）,56,賣空利潤(rùn) = 份數(shù)（出售價(jià)格 - 購(gòu)買價(jià)格） + 交易保證金利息 紅利 賣空收益率 = 賣空利潤(rùn) / 交易保證金 例：某投資者以每股5元的價(jià)格賣空X 股票1000股，并且一年后在清算時(shí)以每股4.5元的價(jià)格購(gòu)入1000股 X 股票償還給交易商。交易商要求的交易保證金為30%，交易保證金帳戶的年實(shí)際利率為6%，假設(shè)每股X股票在每年的紅利為0.2元，試計(jì)算