《金融數(shù)學(xué)》課件6債券和股票

1、1,債券和股票Bonds and stocks,孟生旺 中國人民大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院,2,一、債券(bond),含義：債的證明書。投資者和發(fā)行者之間債權(quán)債務(wù)關(guān)系的法律憑證和契約。 基本要素： 票面價值（面值）：我國一般為100元，美國一般為100或1000美元。 價格：平價，溢價，折價 償還期限：長期（10年以上），中期（110），短期（1年以內(nèi)）。 票面利率。根據(jù)利息支付方式，可分為附息債券（coupon）和零息債券（zero-coupon）。,3,政府債券 國債 地方政府債券 金融債券 公司債券,債券的種類：,4,債券定價的基本原理,P 債券的價格(bond price) i 債券的到期收益率（y

2、ield-to-maturity rate), internal rate of return on the bond. F 債券的面值（par value，face amount, nominal value） r 債券的息票率（coupon rate per payment period） rF 息票收入(coupon) C 債券的償還值（redemption payment），通常等于債券的面值，即C = F。例外：提前償還時，償還值不等于債券的面值。,5,g 修正息票率（modified coupon rate, coupon rate per payment period in te

3、rms of the redemption amount），是息票 收入與償還值C的比率，即g = rF/C。因此，gC = rF。 n 息票的支付次數(shù)(number of coupon payments)。 G 基價（base amount of a bond）。把基價按利率 i投資，每期產(chǎn)生的利息收入將等于息票收入，即iG = rF。 息票收入等式：rF = gC = iG。,6,衡量息票收入的三個指標：,7,債券價格的計算：四種方法。 （1）基本公式 債券的價格等于按市場利率 i 計算的未來息票收入的現(xiàn)值與償還值的現(xiàn)值之和，即 可見，債券的價格與市場利率成反比關(guān)系。,F 債券的面值 C

4、債券的償還值 r 債券的息票率,8,對上式求關(guān)于 i 的一階和二階導(dǎo)數(shù)，可得 一階導(dǎo)數(shù)小于零，說明P 是i 的減函數(shù)。 二階導(dǎo)數(shù)大于零，說明 P 是i 的凸函數(shù)（下凸），如圖所示。,9,債券價格與市場利率關(guān)系,當市場利率下降時，債券價格將以加速度上升； 當市場利率上升時，債券價格將以減速度下降。,10,（2）溢價公式（premium/discount formula） P = rF + Cvn = rF + C(1 i ) = C+(rFiC) = C + (gC iC) = C1 + (g i) 見下頁解釋,11,溢價公式的一種解釋：,C,iC,iC,iC,iC C,P,rF,rF,rF,r

5、F C,12,當價格 P 超過償還值 C 時，就稱按溢價(premium)出售 溢價 = P C = C (g i) 當溢價為零時，修正息票率g將等于收益率i。 當債券的價格P小于其償還值C，債券就按折價（discount）出售，即負的溢價。,13,債券的賬面值（book value)：持有人在債券上的投資余額。Based on the yield at which the bond is purchased (which is known as a book yield).,期初：,第1期末：,第 t 期末：,第 n 期末：,14,相鄰兩個賬面值之差就是各年的溢價補償金額(premium a

6、mortization amount)：,上述溢價補償金額之和為：,15,例：債券的面值為1000元，年息票率為6%，期限為3年， 到期按面值償還。投資者所要求的收益率為5%，試 計算債券的價格以及投資者在各年末的帳面值。 解： F (面值) = C (償還值)，故息票率 r = 修正息票率 g。 已知：F = C = 1000，r = g = 6%，i = 5%，用溢價公式： 債券價格超過了償還值，溢價金額為27.23元。,16,下面分析溢價將在以后各期如何獲得補償。 投資者在第一年應(yīng)該得到的利息收入為 1027.230.05 = 51.36（元） 第一年實際得到的息票收入為 10000.0

7、6 = 60（元） 息票收入超過了利息收入，這個差額被稱作溢價補償金額(premium amortization amount)。第一年的溢價補償金額為 60 51.36 = 8.64（元）,17,從第一年初的帳面值中減去第一年的溢價補償金額即得第二年初的帳面值為 1027.23 8.64 = 1018.59（元） 以后各年的帳面值和溢價補償金額如下表所示。,注：溢價補償金額的總和正好等于購買價超過到期償還值的金額，即溢價(premium)。,18,（3）基價公式（base amount formula） 基價是投資者為了獲得與息票rF相等的周期性收益所必須的投資額，即iG = rF?；鶅r公式

8、：,解釋（下頁）,19,解釋：P = G + (C G) vn 如將基價G按i投資，可獲得周期性收益（iG = rF），到期獲得G的償還值。 如購買債券，可獲得周期性收入rF，到期獲得C的償還值。 購買債券多獲得(C G)的償還值，其現(xiàn)值為(C G)vn，故購買債券應(yīng)該多支付(C G)vn。,20,（4）Makeham公式 息票收入rF = gC，故由基本公式得 K是償還值 C 的現(xiàn)值， 是息票收入的現(xiàn)值。 如修正息票率 g與收益率 i 相等，則P 等于償還值C。,21,分期償還債券的價格（Makeham 公式的一個應(yīng)用）,分期償還債券：在不同的時間分期進行償還 。 假設(shè)某債券的面值為1000

9、元，年度息票率為5%，從第6年末開始，發(fā)行人每年末償還205元，直至第10年末還清。這個分期償還債券的系列付款如下表所示。,22,如果市場利率為6%，則償還值的現(xiàn)值為 未來息票收入的現(xiàn)值為 因此上述債券的價格為 645.28 + 308.71 = 953.99（元）,23,應(yīng)用Makeham公式可以簡化計算過程： 應(yīng)用該公式，只需要：償還值及其現(xiàn)值，修正息票率g，利率 i。 將上述債券分解為5種面值均為200元，償還值均為205元，償還期分別為6，7，10的債券。,24,如果分解后的每種債券具有相同的修正息票率g， 第s（s = 1，2，3，4，5）個債券的價格可表示為 則原債券的價格為,25

10、,在上例中，每個債券的修正息票率均為 g = 2005%205 = 0.04878 5種債券的償還值之和為 5種債券的償還值的現(xiàn)值之和為 所以原債券的價格為,26,債券價格的計算公式（小結(jié)）：,基本公式,溢價公式,基價公式,Makeham公式,27,債券在任意時點上的價格和帳面值,任意時點上債券的價格（假設(shè)利率不變，為 i ） 設(shè)： 債券在上一個息票支付日期的價格為P0 下一個息票支付日期的價格為P1 用 Pt 表示在兩個息票支付日期之間的價格（0 t 1）,0,t,1,P0,Pt,P1,時間,價格,28,債券在時間 t 的價格可用兩種方法計算： Pt = (1 + i)t P0 （過去法）

11、Pt = (rF + P1) (1 + i) (1 t) （將來法） 這兩式是等價的，證明如下： P0和P1存在下述關(guān)系： P1 = P0(1 + i) rF 或 rF +P1 = P0(1 + i) 代入將來法公式，即證。 注： Pt中包含在時間1到期的部分息票收入，P1不包含。,29,任意時點上債券的帳面值（假設(shè)利率不變，為 i ）,賬面值：實際投資余額。在息票支付日，賬面值等于債券價格，在其他時點，要從價格中扣除應(yīng)計息票收入。 假設(shè)在時間0的價格（等于帳面值）為P0 按復(fù)利計算，在時間 t（0 t 1）的價格為 Pt = (1 + i) tP0 從此價格中扣除應(yīng)計息票收入，即得在時間 t

12、 的帳面值 為 其中(rF)t表示從時間0到時間t的應(yīng)計息票收入。實際的息票收入只能在時間1領(lǐng)取。,30,應(yīng)計息票收入可以有兩種計算方法： 按復(fù)利計算（如果期末的利息收入為rF, 則期初的本金應(yīng)為 rF/i ） 按單利近似計算 (rF) t = t rF,31,債券的帳面值可按下述三種方法計算： 理論方法：按復(fù)利精確計算 半理論方法：將應(yīng)計息票收入按單利近似計算 實踐方法：用單利近似計算,32,例：債券的面值為1000元，年息票率為6%，每年末支付一次利息，期限為3年，到期按面值償還。市場利率為8%，試計算債券在購買6個月后的價格和帳面值。,解：已知： C = F= 1000， r = g =

13、 6%， n = 3， i= 8% 所以債券在購買日的價格為 在購買6個月后的價格為 Pt = (1 + i) tP0 = 948.46(1 + 0.08)0.5 = 985.67（元）,33,在購買6個月后的帳面值等于價格扣除應(yīng)計息票收入： 理論方法： 半理論方法： 實踐方法：,34,債券在每個季度末的價格和帳面值表（單位：元）,賬面值 = 價格 - 應(yīng)計息票收入,35,債券價格和債券帳面值的變化過程,36,債券屬性對債券價格的影響,債券的價格受下述屬性影響： 債券的到期時間 債券的息票率 可贖回條款 通貨膨脹調(diào)整 稅收待遇 債券的流動性 違約風(fēng)險,37,（1）債券的到期時間,一般而言，債券

14、的到期時間越長，債券的價格波動幅度越大（風(fēng)險越大）。見下例：,債券價格與到期時間的關(guān)系,38,例：債券價格與到期時間的關(guān)系 債券A的面值為100元，息票率為5%，期限為20年，到期時按面值償還。 債券B的期限為40年，其他條件與債券A完全相同。 直觀地看，當市場利率變化時，債券B的價格將產(chǎn)生 更大幅度的變化，事實如何？,債券價格與到期時間的關(guān)系（反例，黑色為價格，紅色為變動幅度）,39,（2）息票率,債券的息票率越低，債券價格的波動幅度越大（風(fēng)險越大）。 例：假設(shè)3種債券的期限均為20年，面值為100元，息票率分別為4%、5%、6%。初始的市場利率水平為5%。,40,（3）可贖回條款,可贖回債

15、券(callable bonds) ：在一定時間內(nèi)發(fā)行人有權(quán)贖回的債券。當市場利率下降時，提前贖回的可能性較大。 可贖回債券通常規(guī)定贖回保護期（call protection period)。 Bonds are more likely to be called when interest rates fall because the issuer is then able to issue new debt with lower coupons. Callable bonds offer higher yields than similar non-callable bonds to com

16、pensate investors for call risk. 贖回價格（call price）：大于到期償還值。差額稱作贖回溢價（call premium),41,例：可贖回債券的價格 一種8年期的可贖回債券的息票率為12%，按面值1000元發(fā)行，若到期償還，則按面值償還。贖回保護期為5年。 如果發(fā)行人在第5年末贖回，則贖回價格為1050元 如果在第6年末贖回，則贖回價格為1030元 如果在第7年末贖回，則贖回價格為1010元 假設(shè)債券發(fā)行人從第5年末開始可以在任何一年末行使贖回權(quán)，如果投資者所要求的收益率為10%，那么投資者可以出的購買價格應(yīng)為多少？ 投資者的購買價：在各種贖回日期下，債

17、券的最低價格,42,如果在第5年末行使贖回權(quán)，則F = 1000， C = 1050, r = 12%, i = 10%， n = 5, 債券的價格為 如果在第6年末贖回，則債券的價格為1104.04 如果在第7年末贖回，則債券的價格為1102.50 如果債券到期時償還，則債券的價格為1106.70 故投資者的購買價格應(yīng)為1102.50元。,43,特殊情況：償還值不變,如果償還值不變，由溢價公式可知： 按溢價發(fā)行，即rF- iC 0，償還期 n 越短，債券價格越低 按折價發(fā)行，即rF- iC 0，償還期 n 越長，債券價格越低,44,含義：息票收入將根據(jù)通貨膨脹率進行調(diào)整。 價格高于其他沒有通

18、貨膨脹調(diào)整的同類債券。 例：假設(shè)債券的面值為1000元，期限為10年，到期償還值為1100元。第一年末的息票率為5%，以后每年末比上一年增長2%。如果投資者要求的收益率為8%，試計算債券的價格應(yīng)為多少？,（4）通脹調(diào)整,45,未來息票收入形成復(fù)遞增年金： 未來息票收入的現(xiàn)值為 到期償還值的現(xiàn)值為 1100(1 + 0.08)10 = 509.51 所以債券的價格為 362.81 + 509.51 = 872.32 如果不包含通脹調(diào)整，其價格為845.02元。,46,（5）免稅待遇,享受免稅待遇的債券，其價格一般略高于沒有免稅待遇的債券。,（6）流動性,流動性：債券的變現(xiàn)速度。 債券的流動性與債

19、券的價格呈正向變化關(guān)系。,47,（7）違約風(fēng)險（default risk）,違約風(fēng)險：債券發(fā)行人未履行契約規(guī)定的可能性。 一般而言，債券的違約風(fēng)險越大，投資者所要求的風(fēng)險補償就越多，債券的價格就越低。,48,二、股票,優(yōu)先股：與債券類似，以固定的比例進行回報。 優(yōu)先股和永久債券的定價：價格完全由息票收入或分紅決定，現(xiàn)值為 普通股： 清償所有債務(wù)，且優(yōu)先股的分紅完成之后，才能參與分紅。 紅利水平是不確定的，所以價格也是多變的。,49,普通股的價格：,（1）股票上市時的價格也稱“理論價”（theoretical price）。 由今后可能的分紅與收益率決定 有時稱之為分紅貼現(xiàn)模型（dividend

20、 discount model）。 （2）股票市場價 隨著股票進入市場后的買賣情況，隨時波動。,50,普通股的理論定價模型：,1零增長模型（level dividend) 假設(shè)股息的增長率為零，即每期的股息均為D，即 Dt = D（t = 1，2，） 則普通股的價格與優(yōu)先股類似，也可以表示為,51,2常數(shù)增長模型(constant dividend growth) 假設(shè)股息的增長率是一個常數(shù) r。如果第一年末的股息為D1，股票的理論價格為,（假設(shè) r i，否則不收斂）,52,例（略）：某公司的利潤以年5的比例增長，而且計劃將利潤的50%進行分紅。假定該公司的股票在第一年末每股分紅2元。如果市場

21、利率為10%，請計算股票的理論價格。 解：每年的股利將以5%的比例增加，所有分紅的現(xiàn)值為 股票的理論價格為40元,53,3. 通過市盈率（price-to-earnings ratio）計算股價 注：如果公司的收益接近于零或為負，市盈率沒有意義。 根據(jù)上式，股價可以如下計算： 股價市盈率每股收益 例：A公司沒有上市，去年一年的收益為25萬元。 B公司與A公司很相似，是一個上市公司。 假設(shè)B公司去年一年的收益為100萬元，股價為30元，股票數(shù)量為10萬。請計算A公司的市場價值(market capitalization)。,54,根據(jù)B公司計算市盈率為 可以假設(shè)A公司的市盈率與此類似。假設(shè)A公司

22、的股票數(shù)量為k，則其股價為 股價市盈率每股收益325/k75/k 故A公司的市場價值為75萬元。,55,賣空(short sale)：出售某項當前并非屬于其所有的資產(chǎn)。 Gain on short sale: 賣空的所得(gain) = 份數(shù)（出售價格購買價格） short sale gain = (# shares)*(sale price-purchase price) 注：未考慮交易成本 例：假設(shè)某投資者以每股30元的價格賣空 X 股票100股，一年后在清算時以每股20元的價格購入100股償還給經(jīng)紀人，試計算其所得（不考慮交易成本）。 解：該投資者的所得（gain）為：,賣空（short sale）,56,賣空利潤 = 份數(shù)（出售價格 - 購買價格） + 交易保證金利息 紅利 賣空收益率 = 賣空利潤 / 交易保證金 例：某投資者以每股5元的價格賣空X 股票1000股，并且一年后在清算時以每股4.5元的價格購入1000股 X 股票償還給交易商。交易商要求的交易保證金為30%，交易保證金帳戶的年實際利率為6%，假設(shè)每股X股票在每年的紅利為0.2元，試計算