概率習題答案

1、1 隨機事件樣本空間事件的關系與運算一、選擇填空題（在每題的四個備選答案中選擇唯一正確的答案填在題號前的方 括號中）【C】1.在電爐上安裝了四個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機的在使用 過程中，只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度to，電爐就斷電，以E表示“電爐斷電”，而T（1）T（2）T（3）T（4）為四個溫控器顯示的按遞增順序排列的溫 度值，則事件E等于（A）T（i）to.（B）T（2）to.（C）T（3）to.（D）T（4）t.【D】2.設事件A表示“甲種產品暢銷而乙種產品滯銷”，則事件A表示（A） “甲種產品滯銷而乙種產品暢銷” .（B） “甲、乙兩種產品均暢銷”.（C） “甲種產品

2、滯銷”.（D） “甲種產品滯銷或乙種產品暢銷”.【B】3.設代B, C是某隨機試驗中的三個事件，D表示“只有A發(fā)生”，則(A) D A .(B) D ABC .(C) DABC .(D)DA(B C)【D】4.對于任意二事件A和B，與關系式A BB不等價的是A B .小ABAB(A)(B) B A .(C).(D)二、任意拋擲一顆骰子，觀察出現(xiàn)的點數(shù).設事件A表示“出現(xiàn)偶數(shù)點”，事件B 表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被3整除”.（1）寫出試驗的樣本點及樣本空間；（2）把事件A及B分別表示為樣本點的集合；（3）事件A, B, A B, AB,廠B分別表示什么事件并把它們表示為樣本點的 集合.【解】（1）設q

3、表示“出現(xiàn)i點” （i 1,2, 6），則樣本點為樣本空間為1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6.(2) A 2 , CO4,5 , B S, 5；(3) A ，W3 , W5，表示“出現(xiàn)奇數(shù)點”；B g , w2 ,嗎，必，表示“出現(xiàn)的點數(shù)不能被3整除”;A B 仏，g, g, 5，表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被2或3整除”； AB g，表示“出現(xiàn)的點數(shù)能被2和3整除”;A B g , g，表示“出現(xiàn)的點數(shù)既不能被2整除也不能被3整除”.、一盒中有5只外形完全相同的電子元件(分別標有號碼 1, 2, 3, 4, 5)，一次從中任取3只，記錄所取元件的號碼.(1) 寫出隨機試驗的樣本點及樣本空間；(2) 用

4、樣本空間的子集表示下列事件：A “最小號碼為1 ”； B“號碼之和為10 ”.【解】(1)設gk表示“出現(xiàn)號碼為i , j , k ”(i,j,k 1,2,5;i j k)，則 g23 , g24 , g25 , g34 , g35 , g45 , g234 , g235 , g245 , g345 g23 , g24 , g25 , g34 , g35 , g45.B 235 ,145.四、設A, B,C為三個事件，用事件之間的運算表示下列事件:(1) A發(fā)生，B與C都不發(fā)生；【解】ABC ；(或A(B C)(2) A, B, C都發(fā)生；解 ABC(3) A,B,C中至少有兩個發(fā)生；【解】A

5、BC ABC ABC ABC 或 AB BC CAA,B,C中至多有兩個發(fā)生.解ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC或 A B C 或ABC.2 概率的古典定義概率加法定理、填空題（將你認為正確的答案填在題中的橫線上）1. 電話號碼由七個數(shù)字組成，每個數(shù)字可以是0,1,2, ,9中的任一個數(shù)（但第一個數(shù)不能為 0）,則電話號碼是由完全不同的數(shù)字組成的概率為A a6AHA60.06048.2. 把10本書任意地放在書架上，則其中指定的 3本書放在一起的概率為AAT 1 0.0667.3.將20個球隊任意分成兩組（每組10個隊）進行比賽，則最強的兩個隊恰91好分在不同組內的概率為

6、C181C2C1U20100.5263.194.一盒中有20張獎票（其中只有2張有獎），現(xiàn)有兩人依次從盒中各抽一張獎票.第二人抽獎時不知道第一人是否中獎，則第二人中獎的概率為 0.1 .105.一批產品共有200件，其中有6件次品任取3件產品恰有1件是次品的C2 C1 概率為苛0.0856;任取3件產品沒有次品的概率為孚 0.9122;任取3C200C2 C1件產品中次品不少于2件的概率為1舌C194C000.0022 .6.在區(qū)間（0,1）內隨機地取兩個數(shù)，則所取兩數(shù)之和不超過0.5概率為-.8二、一批產品共有20件，其中一等品8件，二等品12件現(xiàn)從這批產品中任取3件，求取出的產品中恰有2件

7、等級相同的概率.【要求：使用互不相容情形的加法定理】【解】設取出的產品中恰有2件等級相同的概率為P(A),則P(A)C8 C12 C8 C120.7579三、在1到100共一百個正整數(shù)中任取一個數(shù)，求這個數(shù)能被 3或7整除的概率.【解】設這個數(shù)能被3或7整除的概率為P(A),則P(A)C1C33C1100C1C14C11000.4311四、設 P(A) P(B) P(C) P(AB) P(AC) 0, P(BC)-，求三事件 34A, B,C中至少有一個發(fā)生的概率.解因為 P(AB) P(AC) 0,所以AB ,AC ，從而(AB)C,可推出P(ABC) 0,所求為P(A B C)P(A)P(

8、B) P(C) P(AB)P(BC) P(CA) P(ABC)1111333 3 440.75.3 條件概率概率乘法定理全概率公式與貝葉斯公式-、填空題(將你認為正確的答案填在題中的橫線上)1 .設 A, B 是隨機事件，P(A) 0.7，P(B) 0.6，P(B| A) 0.4， 則P(AB) 0.48.2. 設 A, B是隨機事件，已知 P(A) 0.6，P(B) 0.5，P(A B) 0.8，則3 .設 A, B 是隨機事件，P(A) 0.5 , P(B) 0.6 , P(A B) 0.8 ,則P(A B) 0.62 .二、選擇填空題(在每題的四個備選答案中選擇唯一正確的答案填在題號前的

9、方 括號中)】1已知事件A發(fā)生必導致事件B的發(fā)生，且0 P(B) 1，則P(A| B)(A)1.(B) 0.5 .(C) 0.25.(D) 0 .】2.已知P(A)1 1 14, P(B| A) -，P(A|B) ，則 P(A1(C)1 .41(B)1 .3】3.已知事件A與B滿足條件P(AB)(A)* .B)1(D).50.2，且 P(A) 0.6，則 P(B| A)(A) 0.5 .(B) 0.6 .(C) 0.7 .(D) 0.8 .三、某人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地撥號，求此人撥號不超 過兩次而接通所需電話的概率.【解】設A= “撥通電話” ，Bi 第i次才撥通電話(i

10、 1,2),則A B1B1B2 ,P(BJ1911,P(B1B2) P(B2|BJP(B1)1010 910故 P(A)1 1P(BJ P(B1B2)0.2;10 10四、試卷中的一道選擇題共有4個答案可供選擇，其中只有1個答案是正確的.某 考生如果會做這道題，則一定能選出正確答案；若該考生不會做這道題，則不妨 隨機選取一個答案.設該考生會做這道題的概率為0.8 . (1)求該考生選出此題正確答案的概率.(2)已知該考生答對了此題，求該考生確實會解此題的概率.【解】設A:該考生選出此題正確答案,B:該生會做此題，貝U- 1P(B) 0.8,P(A|B) 1,P(A|B)-41(1) P(A)

11、.P(AB) P(AB) P(B)P(A| B) P(B)P(A| B) 0.8 1 0.2 0.854(2) P(AB) P(A)P(B| A)P(B| A)P(AB)P(A)0.80.94120.85五、盒中放有10個乒乓球，其中有6個是新的第一次比賽時從盒中任取 2個來 用，比賽結束后仍放回盒中第二次比賽時再從盒中任取 2個，求第二次比賽時 取出的都是新球的概率.【解】設A:第二次比賽時取出的都是新球, Bi:第一次比賽時取出i個新球,P(A) .P(AB。)P(AB1) P(AB2)P(B)P(A|B) P(BJP(A|B1) P(B2)P(A|B2)CeC20(A) P(BA) P(

12、B).(B) P(AB) P(A).1 1 2 2 2C；C； CC10 C10 C10 C104 隨機事件的獨立性獨立試驗序列一、填空題(將你認為正確的答案填在題中的橫線上)1. 兩射手獨立地向同一目標各射擊一次，假設兩射手的命中率分別為0.9和 0.8，則目標被擊中的概率為0.98 .2. 設事件 A與 B 獨立，P(A) 0.4, P(A B) 0.7，則 P(B) 0.5 .3. 一射手對同一目標獨立地進行4次射擊，假設每次射擊命中率相同，若 至少命中1次的概率為80，則該射手的命中率p -.813二、選擇填空題(在每題的四個備選答案中選擇唯一正確的答案填在題號前的方 括號中)【C】1

13、.已知A與B相互獨立，且P(A) 0, P(B) 0，則下面命題不正確 的【D】2.一種零件的加工由兩道工序完成，已知第一道工序的廢品率為p,第二道工序的廢品率為q，則該零件加工的成品率為(A) 1 p q .(B) 1 pq .(C) p q pq (D) 1 p q pq .【D】3.某人向同一目標獨立重復射擊，每次命中的概率為p (0 p 1),則此人4次射擊恰好命中2次的概率為2 2 2 2 2 2(A) 3p(1 p) .(B) 6p(1 p) .(C) 3p (1 p) .(D) 6p (1 p).三、一個工人看管三臺車床，在一小時內車床需要工人照管的概率：第一臺等于0.1，第二臺

14、等于0.2，第三臺等于0.3 .求在一小時內三臺車床中最多有一臺需 要工人照管的概率.【解】設A: 小時內第一臺車床需要工人照管, B: 一小時內第二臺車床需 要工人照管 C : 一小時內第三臺車床需要工人照管 , D : 一小時內三臺車床中 最多有一臺需要工人照管，則P(A) 0.1,P(B)0.2, P(C) 0.3,P(D) P(ABC) P(ABC) P(ABC) P(ABC)P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C) P(A)P(B)P(C)0.1 0.8 0.7 0.9 0.2 0.7 0.9 0.8 0.3 0.9 0.8 0.70.902四、電

15、路由電池a與兩個并聯(lián)的電池b及c串聯(lián)而成.設電池a,b,c損壞的概率分別是0.3, 0.2, 0.2，求電路發(fā)生間斷的概率.【解】設幾:電池a損壞，A2：電池b損壞，A3：電池c損壞，B:電路發(fā)生間斷，則P(B) P(A1 A2A3) P(A) P32A3) P(AA2A3)P(A) P(A2)P(A3)P(A)P(A2)P(A3)0.3 0.2 0.2 0.3 0.2 0.2 0.328五、某機構有一個9人組成的顧問小組，若每個顧問貢獻正確意見的概率都是0.7 現(xiàn)在該機構內就某事可行與否個別征求每個顧問的意見，并按多數(shù)人意見 作出決策，求作出正確決策的概率.【解】設A：任何一人貢獻正確意見，

16、則P(A) 0.7,于是所求概率為P(m 5) P9(5) P9(6) R(7) P9(8) P9(9)5 離散隨機變量三個重要的離散分布一、填空題(將你認為正確的答案填在題中的橫線上)1. 設離散隨機變量X的概率分布為5aP(X k)歹，k 1,2,，則常數(shù)a 1 ._5_2. 某段高速公路每周發(fā)生交通事故的次數(shù)服從參數(shù)為3的泊松分布，則該段高速公路每周發(fā)生4次交通事故的概率為0.168075 .(取e 30.0498 )3. 自動生產線在調整以后出現(xiàn)廢品的概率為p (0 p 1).生產過程中出現(xiàn)廢品時立即進行調整.則在兩次調整之間生產的合格品數(shù)X的概率分布為：2p pq pqnpq、已知一

17、批產品共20個，其中有4個次品.(1) 不放回抽樣：抽取6個產品，求樣品中次品數(shù)的概率分布.(2) 放回抽樣：抽取6個產品，求樣品中次品數(shù)的概率分布.【解】(1)設隨機變量X為取出的樣本中的次品數(shù)，則X H (6, 4, 20)，即X的概率函數(shù)為C Xc 6 xP(X x)Cf(x 0A2,3,4)從而X的概率分布為X01234P(Xi)0.20660.45080.28170.05780.0031(2)設隨機變量Y為取出的樣本中的次品數(shù)，則YB(6,0.2),Y的概率函數(shù)為P(Y y)C(y(0.2)y(1 0.2)6 y (y 0 ,1, 2,3, 4,5,6)從而Y的概率分布為Y01234

18、56p(yj)0.26210.39320.24580.08190.01540.00150.0001、一批零件中有9個合格品與3個廢品.安裝機器時從這批零件中任取1個.如果每次取出的廢品不再放回去，設 X表示在取得合格品以前已取出的廢品數(shù),X可能取值為求X的概率分布.【解】設隨機變量X為在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則0,1,2,3P(X0)93412P(X2)3_2 _9_91211 10220即P(X1)3 9912 1144，P(X3)32191220，1211 10 9X0123P(Xi)3991444220220四、電話總機為300個電話用戶服務在一小時內每一電話用戶使用電話的概率

19、等于0.01，求在一小時內有4個用戶使用電話的概率（先用二項分布計算，再用 泊松分布近似計算）.【解】（1）設隨機變量X為一小時內使用電話的用戶數(shù)，則 X B（300, 0.01）,44296P(X 4) c300(0.01) (10.01)0.168877（2）用泊松分布計算（入np 300 0.013）相對誤差為P(X4)343e4!0.1680750.1688770.1680750.168877 隨機變量的分布函數(shù)連續(xù)隨機變量的概率密度一、選擇填空題（在每題的四個備選答案中選擇唯一正確的答案填在題號前的方 括號中）【C】1.若函數(shù)F（x）12 , X1 X1,X II;是某個連續(xù)隨機變量

20、X的分布函數(shù)，則1(A)(,1) (B)(1,).(C)(,0).(D)(0,) 【B】2.若函數(shù)f(x)1 .sin x, x2I;是某個連續(xù)隨機變量X的概率密度，0,xI則1(A)0,(B)0,.3(60,專.(D)0,2 .【A】3.設F1（x）與F2（x）分別為隨機變量X1與X2的分布函數(shù)，若函數(shù)F（x） aFx） bF2（x）是某隨機變量的分布函數(shù)，則必有3 ,23 ,2(A) a-,b(B)a-,b55551 ,31 ,3(C)a-,b(D)a -,b22 .22B 】4.設隨機變量X3x的概率密度為f (x)2J0宀x 1已知0,其它.P(X a) P(X a)，則 a(D)11

21、 1(A),2 -(B)32 -、一批零件中有9個合格品與3個廢品.安裝機器時從這批零件中任取1個.如果每次取出的廢品不再放回，求在取得合格品之前已取出的廢品數(shù)X的分布函數(shù)F(x)，并作出分布函數(shù)y F(x)的圖形.【解】設隨機變量X為在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X可能取值為0,1,2,3，P(X0)P(X2)912312342 _911 10 2203P(X 1)-123P(X 3)9_11212 11944，19110 9220，X0123P(Xi)3991444220220故X的分布函數(shù)為0,3 4,F(x) 21 22,219 220,1,x 0 0 1 212 其圖形見下:3x

22、 3解 (1)由 lim F(x) A B (x1解得A - , B2即 F(x)-arctanx.n1F( 1)(3) X的概率密度為P( 1 X 1)F(1)1arcta n1)1 12 2arctan(1)f(x) F (x)12 ，(1 x2)四、設隨機變量X的概率密度為f (x) Ae F(x) A Barcta nx,(1)求系數(shù)A及B .(2)求X落在區(qū)間(1,1)內的概率.(3)求X的概率密度.n)0, lim F(x) A2 * x , x .(1)求系數(shù)A . (2)求X落在區(qū)間(0, 1)內的概率.(3)求隨機變量X的分 布函數(shù).解 (1)由 f(x)dx 1，得 Ae

23、Ixdx 2A o e xdx 2A 1，解得 A , 即有f(x) 2e x,(x )P(0 X 1)f (x)dxdx1(e0) F(x) P(Xxx) f (x)dx , f (x)x 0 時，F(xiàn)(x)x 0 時，F(xiàn)(x)xf(x)dxxf(x)dx1 ex,x021 ex,x021xexdx1 x e ;222(0 x . e dx0 e dx)20xixdxxdx17 均勻分布指數(shù)分布隨機變量函數(shù)的概率分布一、公共汽車站每隔5分鐘有一輛汽車通過乘客到達汽車站的任一時刻是等可能的.求乘客候車時間不超過3分鐘的概率.【解】設隨機變量X表示乘客的候車時間，則X U(0,5)，其密度函數(shù)為f

24、(x)1 5,x0,50,x0,5于是有 P(0 X 3): f(x)dx350.6.、已知某種電子元件的使用壽命 X (單位：h )服從指數(shù)分布，概率密度為x0,x 0.1f(x)e 8008000,任取3個這種電子元件，求至少有1個能使用1000 h以上的概率.【解】設A “至少有1個電子元件能使用1000h以上” ；A、A、A3分別表示甲、乙、丙元件能使用1000h以上.則P(A1) P(A2) P(A3) P(X 1000)1e1000 800x800dxe 80010005由加法公式及a1,a2, a3的獨立性有P(A) P(A1 A2A3)P(AJ P(A2)P(A3)P(AiA2

25、)P(A2A3)P(AA3)PS1A2A3)55153e 4 3e 2 e T 0.638【另解】設A “3個電子元件中至少有1個能使用1000h以上”A “3個電子元件中每個都不能使用1000h以上”,任一元件不能使用1000以上的概率為P(X 1000)1000 1e0 800800dx800 1000故 P(A) 1 P(X 1000)351(1 e )30.638.三.設隨機變量X服從二項分布B(3, 0.4)，求下列隨機變量函數(shù)的概率分布: (1)驚 1 2X ；(2)Y2 X2 X).【解】X B(3,0.4),其概率函數(shù)為P(X x) C；(0.4)x(10.4)3 x (x 0

26、,1, 2,3)X的概率分布為X0123P(Xi)0.2160.4320.2880.064(1) 丫11 2X的概率分布為丫11135p(yi)0.2160.4320.2880.064Y15311p(yi)0.0640.2880.4320.216池簣2的概率分布為丫20110p(yj0.2160.4320.2880.064丫201p(yj)0.280.72四、設隨機變量X的概率密度為fx(x)xe , x0, x0；0.求隨機變量Y eFY(y) P(Y y) P(e的概率密度fY (y) 【解】對任意實數(shù)y , Y的分布函數(shù)y) P(X In y) Fx(ln y)所以隨機變量函數(shù)Y In

27、X的概率密度為fY(y) dy(Fx(Iny)ifx(ln y)-，y ).1fY(y) -y (y8二維隨機變量的聯(lián)合分布與邊緣分布一、把一顆均勻的骰子隨機地擲兩次，設隨機變量x表示第一次出現(xiàn)的點數(shù)，隨機變量丫表示兩次出現(xiàn)點數(shù)的最大值，求二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率分布 及丫的邊緣概率發(fā)布.解 X的可能取值i 1,2, ,6,Y的可能取值j 1,2, ,6，i j 時，P(i,j) P(X i,Y j) 0 ;1時，p(1,j)P(X1,丫j)1 16 636,(j1,2, ,6);2時，p(2,2)P(X2,Y2)1 26 6236，p(2,j)P(X2,Yj)1 16 61 (36,

28、(j3,4,5,6);3時，p(3,3)P(X3,丫3)1 36 6336，P(3, j)P(X3,Yj)1 16 6箱心4,5,6);6時，p(6,6)P(X6,丫6)1 66 6636 ；xxxx維隨機變量（X，丫）的聯(lián)合概率分布為123456X、111111136363636363620211113636363636311130036363636411400036363651500003636660000036Y的邊緣概率分布為Y123456PY(yj)13_57_911363636363636、設二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)F (x, y)xyA(B arcta)(C arct

29、an冷).(1)求系數(shù) A,B,C .(2)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度.(3)求X,Y的邊緣分布函數(shù)及邊緣概率密度.【解】(1) 由 F()1, F(0,0, F( , 0)0，得A(BA(B0)(Cf)|)解得B C亍，A(2)因為 F(x,y)密度為12x(i arctan2)(iarctan)，所以(X , Y )3的聯(lián)合概率f (x, y) Fxy(x, y)n2(4 x2)(9 y2)(3) X及Y的邊緣分布函數(shù)分別為xFx(x)F(x, ) dxf (x,y)dyM4 x2)(或 Fx(x) F(x,FyW) F(,y)ydy1)r 2n 2x7tf(x, y)dxx n arct

30、a n-)(2 23冗narcta n 冗1 arcta n ,n 3FyW) F(,y)7tarcta n)3X及Y的邊緣概率密度分別為fx(X)f(x, y)dy2(462)(9 y )dy12 _2 (41_x2)fY(y)122 n(或1 12 ( arctan (4x)3fx(x)(Fx(x)dxf (x, y)dxTt(42_x2)2(4 x2)(9 y2)dx122(9 y2)(或 fY(X)(9 y2)(Fy(x) dy、設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x, y)Ae (2X 3y), x 0,y 0;0,其它.(1)求系數(shù)A . (2)求(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù).(3)求X,

31、Y的邊緣概率密度.【解】(1)由f (x, y)dxdy 1，有 Ao e%。e3ydy 6a 1 解得 A 6.(2) (X ,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為F(x, y)xydxf(x ,y)dy-X 260eXdxye03y .dyx 0, y00其它(1 e 2X)(1e3y)X 0,y00其它(3) X及Y的邊緣概率密度分別為fx(X)f(x, y)dy06e 2xe 3ydy,X0,2e 2X,X0,0,X0,0,X0,6e 2xe 3yidx,X0,3e 3y,y0,fY(y)f(x, y)dx00,X0,0,y0,四、設二維隨機變量(X,Y)在拋物線y x2與直線y X 2所圍成的區(qū)域R

32、上服從均勻分布.(1)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度.(2)求概率P(X Y 2).【解】(1)設(X , Y)的聯(lián)合概率密度為C,(x,y)R;f (x, y)門R.0,(x,y)2X 22C dx 2 dy C (x1X2 J1 、2 x )dx2 X3 X29CC(2x ：)1223則由 CdxdyR1解得C f 故有f(x, y)9，(x, y) R;90, (x, y) R.(2) P(X Y 2) f(x,y)dxdyx y 2idxdy22 x1 dx x2 dyXxd21 O(22 1dx2XX(22 9 隨機變量的獨立性二維隨機變量函數(shù)的分布、已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率

33、密度為f(x,y)3ex 3y, x 0,y0;0, 其它.試問隨機變量X和Y是否獨立請說明理由.【解】fx(x)f (x, y)dy03e xe 3ydy,x 0,x e ,x0,0,x 0,0,x0,fY(y)f(x , y)dx0 3exe3ydx, x 0,3e3y,y0,0,x 0,0,y0,f(x, y)fx(x) fY(y),故隨機變量X和丫獨立.、設X與丫是兩個相互獨立的隨機變量，X在0,1上服從均勻分布，丫的概率密度為fY(y)1丄?e2,y 0,0 , y 0.1,0,X 0,1 , (X,Y)的聯(lián)合概率密度為(注x 0,1(1)求(X,Y)的聯(lián)合概率密度.(2)求概率P(

34、Y X) 【解】(1) X的概率密度為fX(x)意X , Y相互獨立)1丄2 e ,0 x 1 , y 020,其它f (x , y)fx(x)fY(y)1 1 1 1 1(2) P(Y X) f (x y)dxdy dx -e 2dy ( e 2 0x 20y xx22e 210 2(1 e 2)0.7869三、設隨機變量X與丫獨立，且X,Y的概率密度分別為,xe , x0, x求隨機變量Z X Y的概率密度.fx (X)0；0.fY(y)2e2y, y 0;0, y 0.【解】X的概率密度為fx(y)1,0,0,10,1率密度fz(Z)fx (x) fY(z x)dx10fY(zfz (z

35、)z1 fY (t) dtz 1(1) z0 時，fz(z)0 ;(2) 0z 1時，（即0 z 1且z0)fz(z)0zfY(t)dt 0 fY(t)dt00dtz 1ztdt0(3) 1z 2 時，(即1 z 2 且 01)fz(z)1zzMdt 1 fY(t)dt1tdtz 1z0(2(4) 2z 3時，（即2 z且12)fz(z)21 fY (t) dtz 1fY(t)dt21(2z 1t)dt(5) z3時，（即z2), fz(z)綜上有Z的密度函數(shù)為fz（Z）3 - 2 9-22 z丄22 2z z1 一x21 _x )dx e 2 dxX0由X,Y獨立，故Z X 丫的概x)dxt

36、)dtz0dt03z3zh 2 3 z z z 0 12四、假設一電路裝有三個相同的電子元件，各元件工作狀態(tài)相互獨立且它們無故障工作時間都服從參數(shù)為0的指數(shù)分布已知三個元件都無故障時電路正常工作，否則整個電路不能正常工作.試求該電路正常工作時間T的概率分布.【解】由題設，知Xj的分布函數(shù)為Fx.J10,先求各個并聯(lián)組的使用壽命Y (i 1,2,3)的分布函數(shù)因為當并聯(lián)的兩個部件都損壞時，第i個并聯(lián)組才停止工作，所以有YmaX1i,X2i) (i 1,2,3)從而有Yi (i 1,2,3)的分布函數(shù)為(1 e )2, y0FyW)尸小刃0,y0設隨機變量z表示儀器使用壽命，因為當三個并聯(lián)組中任一

37、個損壞時 停止工作所以有Zmin(丫1,丫2,丫3).從而有Z的分布函數(shù)為1 1Fy( z)1 Fy2( z)1 Fy3( z),0,Fz(z)1 10,(1,儀器k)23, z 0z 0故Z的概率密度為fz甞氣1 e)(2k)2,10 隨機變量的數(shù)學期望與方差一、一批零件中有9個合格品與3個廢品.安裝機器時從這批零件中任取一個.如 果取出的廢品不再放回去，求在取得合格品以前已取出的廢品數(shù)的數(shù)學期望、 方 差與標準差.【解】設隨機變量X為取得合格品以前已取出的廢品數(shù)，則X的可能取值為0,1,2,3，X0123P(Xi)3991444220220P(X0)9341232 99P(X2) 1211

38、 10220即有P(X 1)P(X 3)_912 1144，321912 11 10 912203 991E(X) 0 -1230.34 44220220X2的分布為2(XE(有而 故 從9一44o92212209一220.4091,X20149P3P991444220220D(X) E(X2) E2(X)(0.320.3191,o(X). D(X) .0.31910.565.二、一工廠生產的某種設備的壽命 X (以年為單位)服從參數(shù)為0.25的指數(shù)分布.工廠規(guī)定，出售的設備若在售出一年之內損壞可予以調換.若工廠售出一臺設備贏利1000元，調換一臺設備廠方需花費3000元試求廠方出售一臺設備

39、的平均凈贏利.【解】由題設，概率密度為f(x)1 ;e 4 400;0.1P(X 1)f(x)dx11e 4dx04P(X 1) 1 P(X進而有設丫表示廠方出售一臺設備獲得的凈贏利，則1)丫的概率分布為從而有Y20001000P11 e 41e 71E(Y) 2000 (1 e 刁)1000廠方出售一臺設備獲得的平均凈贏利約為 336.4元.1 1e 刁 3000 e 42000336.4三、設隨機變量X的概率密度為1f (x) v10 ,，x 1；x 1.求X的數(shù)學期望E(X)與方差D(X).解 E(X)xf (x)dxdx2xD(X)x2f (x)dx2x . dx 0 n 1 x22

40、- 1x2n 2丄 arcs inx2四、設隨機變量X的概率密度為f(x) 0求X的數(shù)學期望E(X)與方差D(X) 解 E(X)xf (x)dx -2xeixdx 0D(X)x2 f (x)dx 1x2e xdx0 x2e xdxr(3)2! 2(亦可分部積分計算)11 隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望關于數(shù)學期望與方差的定-、設隨機變量X服從二項分布B（3，0.4），求Y 字的數(shù)學期望與方差【解】X的概率分布為X0123p0.2160.4320.2880.064丫的概率分布為Y0110P0.2160.4320.2880.064Y01P0.280.72Y2的分布為Y201P0.280.72于是有E(Y)

41、00.281 0.720.722E(Y )00.281 0.720.722D(Y) E(Y )E2(Y)20.72(0.72)0.2016、設隨機變量X的概率密度為f(x)帯,0,xx0 ；0 ,求隨機變量丫 .X的數(shù)學期望與方差.解D(Y) E(Y2)E2(Y)2 2E(Y)、x f (x)dxx1 r u 2 Jx -e 2dxa/2020、ue udu、231 1 22?q 22E(Y )xf (x)dxxu x1 2 2x e 2dx 2 u e 020udu2 (2)2、游客乘電梯從電視塔底層到電視塔頂層觀光電梯于每個整點的第20分鐘從底層起行假設一游客在上午八點的第 X分鐘到達底層

42、候梯處，且X在0,60上均勻分布，記丫為該游客的等候時間.(1)寫出丫與X的函數(shù)關系.(2)不求Y的概率分布，直接利用(1)的結果求游客的等候時間的期望.【解】(1) f(x)1,0 x 6060 , 丫0,其他20 X,0 x 2080 X ,20 x 60(2) E(Y)20g(x)f(x)dx 0 (20x) dx606020(80x) dx60600120 dx6060 160 dx20 6060 1x dx=300 60四、設隨機變量X1,X2, Xn相互獨立，并且服從同一分布，數(shù)學期望為，方差為2 .求這些隨機變量的算術平均值X1 n- Xi的數(shù)學期望與方差.n i 1解因為E(X

43、i)，D(Xi)2，且隨機變量X1 , X2 ,Xn相互獨立.所以有1 n 1n1 n1nE(X)E(- Xi)-E(Xi)E(Xi)卩，n i 1ni 1n i 1ni 11 n1 n1 n1 n 22D(X)D(Xin i 1)2 D( Xi)ni 12D(Xi)n i 12 bn i 1n12 二維隨機變量的數(shù)字特征切比雪夫不等式與大數(shù)定律-、設(X,Y)的聯(lián)合概率分布如下：(1)求X,Y的數(shù)學期望E(X), E(Y)，方差D(X)，D(Y) . (2)求X,Y的協(xié)方 差cov(X,Y)與相關系數(shù)R(X,Y).【解】(1) X,Y的邊緣分布分別為X 0 r(2)3 2333 2E(X)

44、, E(X2)-, D(X) -(-)24 44416E(Y)Y01卩丫佃）1/21/2121 2 12, E(Y) ?D(Y)G)21 3 cov(X,Y) E(XY) E(X)E(Y)2 41412R(X,Y)cov(X,Y)D(X)D(Y)、33、設二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合概率密度為,0f(x,y)0,x 1, 0 其它.(1)求X,Y的數(shù)學期望E(X), E(Y),方差D(X),D(Y).y x;)求X,Y的協(xié)方差cov（X,Y）與相關系數(shù)R(X,Y) 解xf (x, y)dxdy1dx02dy2E(X )E(Y)E(Y2)D(X)E(X2)E(XY)(1) E(X)故(2)cov(X,Y)2x f (x,y)dxdyyf (x, y)dxdyR(X,Y)1dx02dy1dx0xy 2dy2 1y f (x, y)dxdy dx1E2(X), D(Y) E(Y2)18xyf (x, y)dxdyE(XY) E(X)E(Y)cov(X,Y).D(X) D(Y) 2x 2y 2dy1dx014xxy 2 dy023E