福建省2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題

1、 整理于網(wǎng)絡(luò) 可修改福建省建甌市芝華中學(xué)2020-2021學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試題 考試時(shí)間：120分鐘 分值：150一、選擇題，每題5分共60分，每題只有一個(gè)答案符合要求。1若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()A B C D2.有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A B C D3某班一次測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖可見(jiàn)部分(如圖)，根據(jù)圖中的信息可確定被抽測(cè)的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在90,100內(nèi)的人數(shù)分別為() A20,2

2、 B24,4 C25,2 D25,44、已知雙曲線的離心率,且與橢圓有相同的焦點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D. 5設(shè)命題(其中為常數(shù))，則“”是“命題為真命題”（ ）A充分不必要 B必要不充分 C充分且必要 D既不充分也不必要6為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系設(shè)其回歸直線方程為x.已知xi225，yi1 600，4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為() A160 B163 C166 D1707、若命題:函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,命題:函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,

3、則()A. 是真命題 B. 是假命題 C. 是真命題 D. 是真命題8.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，N是BC的中點(diǎn)，試用a，b，c表示.（ ）A. abc. B. abc. C. a-bc. D. a-bc.9.設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2， P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為 ( )（A） （B） （C） （D）10正四棱錐SABCD中，SAAB2，則直線AC與平面SBC所成角的正弦值為()A B C D11.已知P為拋物線y24x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2(y4)21上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物

4、線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是（ ）A5 B8 C.2 D.112. 已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)， ，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為（ ）A B C. D. 二、填空題，每題5分，共20分。 13命題：的否定為_(kāi) .14. 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成角為 15.過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程 16.已知1(ab0)，M，N是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PM、PN的斜率分別為k1，k2(k1k20)，若|k1|k2|的最小值為1，則橢圓的離心率為_(kāi)三、解答題，第17題1

5、0分，18-22每題12分，共70分。17.（本題10分）已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。()求橢圓C的方程；()直線平行于直線OA，且過(guò)點(diǎn)（0，t）,若直線與橢圓C有公共點(diǎn)，求t的取值范圍。18.（本題12分）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD=1 (1)證明：平面PQ平面DCQ； (2)證明：PCBAQ19.（本小題滿(mǎn)分12分）已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|8.()求拋物線C的方程；()設(shè)直線LMN，且在y軸上的截距為2，L與拋物線交于K

6、,G兩點(diǎn)，求面積。20.如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD2，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)若PDAD ，求二面角APBC的余弦值21、設(shè)分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程;（2）已知直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn),使,求的值及點(diǎn)的坐標(biāo).22.如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值1若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入如圖所示

7、的長(zhǎng)方形ABCD中，其中AB2，BC1，則質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)的概率是()ABCD【答案】B【解析】設(shè)質(zhì)點(diǎn)落在以AB為直徑的半圓內(nèi)為事件A，則P(A).2.有5支彩筆(除顏色外無(wú)差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()ABCD【答案】C【解析】從5支彩筆中任取2支不同顏色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫、黃藍(lán)、黃綠、黃紫、藍(lán)綠、藍(lán)紫、綠紫，共10種，其中取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的取法有紅黃、紅藍(lán)、紅綠、紅紫，共4種，所以所求概率P.故選C3某班一次測(cè)試成績(jī)的莖葉圖和頻率分布直方圖可見(jiàn)部分(如圖)，根據(jù)圖中

8、的信息可確定被抽測(cè)的人數(shù)及分?jǐn)?shù)在90,100內(nèi)的人數(shù)分別為() A20,2B24,4C25,2D25,4【答案】C【解析】由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在50,60)內(nèi)的頻率是0.008100.08，又由莖葉圖可得分?jǐn)?shù)在50,60)內(nèi)的頻數(shù)是2，則被抽測(cè)的人數(shù)為25.又由頻率分布直方圖可得分?jǐn)?shù)在90,100內(nèi)的頻率與分?jǐn)?shù)在50,60)內(nèi)的頻率相同，則頻數(shù)也相同，都是2，故選C4、已知雙曲線的離心率,且與橢圓有相同的焦點(diǎn),則該雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D. 答案：C5設(shè)命題(其中為常數(shù))，則“”是“命題為真命題”（ ）A充分不必要 B必要不充分 C充分且必要 D既不充分也不必要【答案】

9、B【解析】若命題為真，則對(duì)任意，恒成立，所以，即.因?yàn)?，則“”是“命題為真”的必要不充分條件，選.6為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)x(單位：厘米)和身高y(單位：厘米)的關(guān)系，從該班隨機(jī)抽取10名學(xué)生，根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系設(shè)其回歸直線方程為x.已知xi225，yi1 600，4.該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為24，據(jù)此估計(jì)其身高為() A160B163C166D170【答案】C【解析】xi225，xi22.5.yi1 600，yi160.又4，160422.570.回歸直線方程為4x70.將x24代入上式得42470166.故選C7、若命題:函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是,命題:函數(shù)的單調(diào)遞

10、增區(qū)間是,則()A. 是真命題 B. 是假命題 C. 是真命題 D. 是真命題選D.8.如圖所示，在平行六面體ABCDA1B1C1D1中，設(shè)a，b，c，N是BC的中點(diǎn)，試用a，b，c表示.A. abc. B. abc. C. a-bc. D. a-bc.【解析】N是BC的中點(diǎn)，abababc.9.設(shè)橢圓C：1(ab0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2， P是C上的點(diǎn)，PF2F1F2，PF1F230，則C的離心率為 ( )（A） （B） （C） （D）解析：法一：由題意可設(shè)|PF2|m，結(jié)合條件可知|PF1|2m，|F1F2|m， 故離心率e.選（D）法二：由PF2F1F2可知P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為c，將x

11、c代入橢圓方程可解得y，所以|PF2|.又由PF1F230可得|F1F2|PF2|，故2c，變形可得(a2c2)2ac，等式兩邊同除以a2，得(1e2)2e，解得e或e(舍去)選（D）10正四棱錐SABCD中，SAAB2，則直線AC與平面SBC所成角的正弦值為()ABCD選C解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz.由題意得A(1，1,0)、C(1,1,0)、B(1,1,0)、S(0,0，)(2，2,0)，(1，1，)，(1，1，)設(shè)平面SBC的一個(gè)法向量n(x，y，z)，則，令z，得x0，y2，n(0,2，)設(shè)直線AC與平面SBC所成的角為，則sin|cosn，|.11.已知P為拋物線y24

12、x上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，Q為圓x2(y4)21上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線的準(zhǔn)線距離之和的最小值是A5 B8C.2 D.1解析設(shè)圓心為C，則C(0,4)，半徑r1，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)F(1,0)，據(jù)拋物線的定義知，點(diǎn)P到點(diǎn)Q的距離與點(diǎn)P到拋物線準(zhǔn)線距離之和為|PQ|PF|PC|1|PF|PC|PF|CF|11.答案D12. 已知是雙曲線的右焦點(diǎn)，P是C左支上一點(diǎn)， ，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，該三角形的面積為（ ）A1 BC. D. 解析：設(shè)雙曲線的左焦點(diǎn)為，由雙曲線定義知，APF的周長(zhǎng)為|PA|+|PF|+|AF|=|PA|+|AF|=|PA|+|AF|+，由于是定值，要使APF的周長(zhǎng)最小，則|PA

13、|+最小，即P、A、共線，（3,0），直線的方程為，即代入整理得，解得或(舍)，所以P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，=.13命題：的否定為_(kāi).【答案】【解析】由題全稱(chēng)命題的否定為特稱(chēng)命題，所以的否定為.故答案為：14. 直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，則異面直線BA1與AC1所成角為 建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AB1，則A(0,0,0)，B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)，(1,0,1)，(0,1,1)，cos，.，60，即異面直線BA1與AC1所成角為60.15.過(guò)橢圓內(nèi)一點(diǎn)M（2，1）引一條弦，使弦被點(diǎn)M平分，求這條弦所在的直線方程 解法一：設(shè)所求直

14、線方程為y-1=k(x-2)，代入橢圓方程并整理得：又設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），則是方程的兩個(gè)根，于是，又M為AB的中點(diǎn)，所以，解得，故所求直線方程為。解法二：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為A()，B（），M（2，1）為AB的中點(diǎn)，所以，又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則，兩式相減得，所以，即，故所求直線方程為。解法三：設(shè)所求直線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為A()，由于中點(diǎn)為M（2，1），則另一個(gè)交點(diǎn)為B(4-)，因?yàn)锳、B兩點(diǎn)在橢圓上，所以有，兩式相減得，由于過(guò)A、B的直線只有一條，故所求直線方程為。16.已知1(ab0)，M，N是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P是橢圓上任意一點(diǎn)，且直線PM、PN的斜率分別為k1，k2(k

15、1k20)，若|k1|k2|的最小值為1，則橢圓的離心率為_(kāi)解析設(shè)P(x0，y0)，不妨設(shè)y00，則k10，k20，|k1|k2|k1k2.又1，a2xy，|k1|k2|.0y0b，當(dāng)y0b時(shí)，|k1|k2|的最小值為1，e21，e.答案17.已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），且點(diǎn)F（2，0）為其右焦點(diǎn)。()求橢圓C的方程；()直線平行于直線OA，且過(guò)點(diǎn)（0，t）,若直線與橢圓C有公共點(diǎn)，求t的取值范圍。17.解()依題設(shè)橢圓C為，且右焦點(diǎn)F（-2，0），解得，又，故橢圓C的方程為。4分另解：設(shè)橢圓方程為.又橢圓C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(2,3)，,化簡(jiǎn)整理得，解得=12或=-3(舍去）.所以

16、所求橢圓的方程為.4分(設(shè)：為，由，解得，6分.18.如圖，四邊形ABCD為正方形，PD平面ABCD，PDQA，QAABPD=1圖4(1)證明：平面PQ平面DCQ；(2)證明：PC平面BAQ.解析：【答案】如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，線段DA的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz.(1)依題意有Q(1,1,0)，C(0,0,1)，P(0,2,0)，則(1,1,0)，(0,0,1)，(1，1，0)，所以0，0，即PQDQ，PQDC且DQDCD故PQ平面DCQ. (2)根據(jù)題意，(1,0,0)，(0,0,1)，(0,1,0)，故有0，0，所以為平面BAQ的一個(gè)法向量又因?yàn)?0，2

17、,1)，且0，即DAPC，且PC平面BAQ，故有PCBAQ19.（本小題滿(mǎn)分15分）已知拋物線C：y22px(p0)的焦點(diǎn)為F，若過(guò)點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)，且|MN|8.()求拋物線C的方程；()設(shè)直線LMN，且在y軸上的截距為2，L與拋物線交于K,G兩點(diǎn)，求的面積19解：()由題可知F(，0)，則該直線方程為yx，代入y22px(p0)，得x23px0.設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則有x1x23p.|MN|8，x1x2p8，即3pp8，解得p2，拋物線的方程為y24x. 5分() 20.如圖，四棱錐PABCD中，底面ABCD為平行四邊形，DAB60，AB2AD

18、2，PD底面ABCD.(1)證明：PABD；(2)若PDAD ，求二面角APBC的余弦值解析(1)證明：因?yàn)镈AB60，AB2AD2，由余弦定理得BD，從而B(niǎo)D2AD2AB2，故BDAD.又PD底面ABCD，可得BDPD.又ADPDD，所以BD平面PAD.故PABD.(2)如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)AD的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，射線DA為x軸的正半軸建立空間直角坐 標(biāo)系Dxyz.則A(1,0,0), B(0，0)，C(1 ，0)，P(0,0,1)(1，0)，(0，1)，(1,0,0).(1,0,0)，設(shè)平面PAB的法向量為n(x，y，z)，則即因此可取n(，1，)設(shè)平面PBC的法向量為m，則可取m(0，1，)cosm，n.由圖可知二面角APBC為鈍角故二面角APBC的余弦值為.21、設(shè)分別為雙曲線的左、右頂點(diǎn),雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為,焦點(diǎn)到漸近線的距離為.（1）求雙曲線的方程;（2）已知直線與雙曲線的右支交于兩點(diǎn),且在雙曲線的右支上存在點(diǎn),使,求的值及點(diǎn)的坐標(biāo).19答案及解析：答案：1.雙曲線的漸近方程為,焦點(diǎn)為,焦點(diǎn)到漸近線的距離為,又,雙曲線的方程為.2.設(shè)點(diǎn)由得: ,有又點(diǎn)在雙曲線上, ,解得,點(diǎn)在雙曲線的右支上,此時(shí)點(diǎn).22.如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PFBF.(1)證明