數(shù)字電子技術邏輯代數(shù)基礎

1、數(shù)字電子技術第1秦便霧代敵基礎范立南代紅艷恩莉 劉明丹中國水利水電出版社第1秦便銹代敵基礎1 -2邏輯代數(shù)1-1概述1.1.1數(shù)字電路和模擬電路物理量的分類：數(shù)字量和模擬量。數(shù)字量：是指變化無論在時間上還是數(shù)值上都是離散的物理量。模擬量：是指變化無論在時間上還是數(shù)值上都是連續(xù)的物理量。數(shù)字信號：用于表示數(shù)字量的信號。 模擬信號：用于表示模擬量的信號。數(shù)字電路：工作在數(shù)字信號下的電子電路。模擬電路：工作在模擬信號下的電子電路。專書主要研究數(shù)字電路的分析方法、設計方法及其應用1-1-2數(shù)制和碼制1 數(shù)制數(shù)制：是指多位數(shù)碼中每一位的構成方法及低位向相鄰 高位的進位規(guī)則。(1)常用進制十進制：由0、1

2、 .9十個數(shù)碼組成，進位規(guī)則是逢十進 一，計數(shù)基數(shù)為10,其按權展開式D = 2kixl()i熱(27.125)十例如:2 x I?！? 7 x 10 +1 x io1 + 2x io-2 + 5x io-3二進制：由0、 計數(shù)基數(shù)為2,1兩個數(shù)碼組成，進位規(guī)則是逢二進一， 其按權展開式為。例如:D = Yki16i例如:(1B.2)i6 = 1x161 + Bx16 + 2x161(2)常用進制之間的轉換十進制轉換成二進制的方法：整數(shù)部分除以2,取余數(shù)，讀 數(shù)順序從下往上；小數(shù)部分乘以2,取整數(shù)，讀數(shù)順序從上 至下。例如:(27.125) =(11011.001)余余余余余2 2 2 2 2

3、0. 125x20. 250. 25x2整數(shù)0 =K-i0. 50. 5x2整數(shù)o =K-2整數(shù)1 =K-3十進制轉換成八進制的方法：整數(shù)部分除以&取余數(shù)，讀 數(shù)順序從下往上；小數(shù)部分乘以8,取整數(shù)，讀數(shù)順序從上 至下。例如:余 3 =K00. 125y8整數(shù)1二K余阿十進制轉換成十六進制的方法：整數(shù)部分除以16,取余數(shù)， 讀數(shù)順序從下往上；小數(shù)部分乘以8,取整數(shù)，讀數(shù)順序從上 至下。(27.125)io1ZA-1BB“人慣用符號z A+Z A1B B1Z國外符號ABZZ圖12與、或、非的邏輯符號5.復合邏輯運算：與非、或非、與或非、異或、同或 與非的邏輯運算符號：aTbab表1一5與非的真值

4、表標準符號 A oZAEZ001011101110慣用符號 A 0zB國外符號圖13與非的邏輯符號或非的邏輯運算符號：a + B表16或非的真值表ABZ001010100110標準符號慣用符號+ P- z國外符號圖1-4或非的邏輯符號第7章邏猶代敷基舷與或非的邏輯運算符號是標準符號慣用符號A n&21ISC D AYD國外符號圖15與或非的邏輯符號:AB + CD-y表17與或非的真值表ABcDY00001000110010100110010010101101101011101000110011101011011011000110101110011110異或運算的定義是輸入相異，輸出為1；輸入

5、相同，輸出為Oo其邏輯運算符號是表18異或的真值表ABZ000011101110A= J標準符號Y4 _|慣用符號:國外符號；二丫圖16異或的邏輯符號同或運算的定義是輸入相同，輸出為1；輸入相異，輸出為標準符號ABz001010100111Oo其邏輯運算符號是O 表1-9同或的真值表慣用符號-ABAYY國外符號b-圖17同或的邏輯符號1.22邏輯函數(shù)的表示方法邏輯函數(shù)：當輸入變量取值確定之后，輸出變量取值便隨之 而定，輸出變量和輸入變量之間是一種函數(shù)關系。邏輯函數(shù)的表示方法：邏輯真值表、邏輯函數(shù)式、邏輯圖和 卡諾圖1邏輯函數(shù)的表示方法（1）邏輯真值表：是由輸出變量取值與對應的輸入變量取值所構成

6、的表格。列寫方法是:a）找出輸入、輸出變量，并用相應的字母表示;b）邏輯賦值。c）列真值表。例如三人表決電路，當輸入變量A、B、C中有兩個或兩個以 上取值為1時，輸岀為1;否則，輸岀為0。表110三人表決電路的真值表ABCY0 0 000 0 100 1 000 1 111 0 001 0 111 1 011 1 11(2) 邏輯函數(shù)式邏輯函數(shù)式：是將邏輯函數(shù)中輸出變量與輸入變量之間的邏 輯關系用與、或、非等邏輯運算符號連接起來的式子，又稱 函數(shù)式或邏輯式。例如：三人表決電路的邏輯函數(shù)式：Y = ABC + ABC + ABC + ABC(3) 邏輯圖邏輯圖:是將邏輯函數(shù)中輸出變量與輸入變量之

7、間的邏輯關系用與、或、非等邏輯符號表示出來的圖形。三人表決電路的邏輯圖:圖18三人表決電路的邏輯圖2邏輯函數(shù)表示方法之間的相互轉換（1）真值表一數(shù)式a）找出真值表中使函數(shù)值為1的輸入變量取值；b）每個輸入變量取值都對應一個乘積項，變量取值為1,用 原變量表示，變量取值為0,用反變量表示。c）將這些乘積項相加即可。第7章逼轎代敷塞舷(2) 函數(shù)式一真值表首先在表格左側將個不同輸入變量取值依次按遞增順序列出 來，然后將每組輸入變量取值代入函數(shù)式，并將得到的函數(shù) 值對應地填在表格右側即可。(3) 函數(shù)式一邏輯圖將函數(shù)式轉換成邏輯圖的方法：從輸入到輸出分別用相應的 邏輯符號取代函數(shù)式中的邏輯運算符號即

8、可。(4) 邏輯圖一函數(shù)式將邏輯圖轉換成函數(shù)式的方法：從輸入到輸出分別用相應的 邏輯運算符號取代邏輯圖中的邏輯符號即可。3.邏輯函數(shù)的兩種標準形式(1)最小項和的形式最小項：設m為包含n個因子的乘積項，且這n個因子以原變 量形式或者反變量形式在m中岀現(xiàn)且只岀現(xiàn)一次，稱m為n變 量的一個最小項。n變量共有個M最小項。最小項的編號規(guī)則：使最小項m值為1的輸入變量取值所對 應的十進制數(shù)既為該最小項的編號，記作mi o表三變量的最小項編號表最小項使最小項值曲1的輸入變量取値ABC對應的十進制數(shù)編號ABC0000mgABC0011miABC0102m2ABC0113叱.ABC1004ABC1015皿5A

9、BC1106mgABC1117my最小項的性質(zhì)：a）對應任意一組輸入變量取值，有且只有一個最小項值為1 ；b）任意兩個最小項之積為0；c）全體最小項之和為1 ；d）具有邏輯相鄰性的兩個最小項相加，可合并為一項，并消去一 個不同因子。將函數(shù)式化成最小項和的形式的方法為: 該函數(shù)式中的每個乘積項缺哪個因子，就乘以該因子加上其反 變量，展開即可。例1-1將函數(shù)式化成最小項和的形式。解：Y = ABC + AC 萬=ABC（D + 萬）+（A + A）B（C + C）D + A 萬C 萬=ABCD + ABC 萬 + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD=mg + ms +

10、 ms + mi + m5 + mo=工（皿，mi, , mg，mio，mm mJ=工加（5,7,&9,10,13,15）(2)最大項積的形式最大項：設M為包含n個因子的和，且這n個因子以原變量形 式或者反變量形式在M中出現(xiàn)且只出現(xiàn)一次，稱M為n變量的 一個最大項。n變量共有M個最大項。最大項的編號規(guī)則：使最大項M值為0的輸入變量取值所對 應的十進制數(shù)既是最大項的編號，記作M. 1-12三變量的最大項編號表最大項使最大項值為0的輸入變量取值ABC對應的十 進制數(shù)編號A-B+C0000A+B+C0011曲+頁+(70102m2A+B+C0113A+3+C1004A+B+C1015Z+J+C110

11、6J+J+C1117最大項的性質(zhì)：a）對應任意一組輸入變量取值，有且只有一個最大項值為0；b）任意兩個最大項之和為1 ；c）全體最大項之積為0；d）具有邏輯相鄰性的兩個最大項相乘，可合并為一項，并消去 一個不同因子。將函數(shù)式化成最大項積的形式的方法為：首先化成最小項和的 形式，然后直接寫成除了這些最小項編號以外的最大項積的形 式。例12將函數(shù)式化成最大項積的形式。 解：Y = ABC + BD + aEc 初=ABC(D + 萬)+(A + A)B(C + C)D + ABCD=ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD + ABCD1719 + 7718

12、+ 加5 + mi + mi 3 + /7115 + 加 10= J7M(O,1,2,3,4,6,11,12,14)=(A + B + C + D)e(A + 5 + C + 萬)(A +3+ + )( +B + + 萬)(A+ + (? + ) (A + 5 + C + D)e(A + 5 + C + 萬卜(A + B + C + D)e(A + B + C + D)1.2.3邏輯代數(shù)的基本公式、常用公式和基本定理1. 18個基本公式A 0 = 0Al = A4 + 1 = 1A + 0 = AAA = A4 + 4 = 4A = 0A + A=lB = BA A + B = B + A4

13、（B C）=（4 B） CA +（B + C）=（A + B）+CAe（B + C）= AB + ACA + BeC =（A + B）e（A + C）A B = A + B A + B = A B2. 5個常用公式AB + AB = AA +AB = AA + AB = A + BAB + AC + BC = AB + ACAB + AC + BCD = AB + AC33個基本定理代入定理：在任何一個含有變量A的邏輯等式中，若以一函 數(shù)式取代該等式中所有A的位置，該等式仍然成立。反演定理：在一個邏輯式丫中，若將其中所有的“+”變成 變成“ + ” ,“0”變成“T , “T變成“0” ,原變

14、量變戒權變量，反變量變成原變量，所得函數(shù)式即為原函數(shù)式的反邏輯式，記 作：O 注意：a）嚴運算的優(yōu)先順序。b）不是單個變量上的非號應保留不變。例1 -3試用反演定理求函數(shù)式y(tǒng) = AB + (C +萬恒的反邏輯 式。解：y =(A + B)(C + )對偶式：在一個邏輯式丫中，若將其中所有的“+”變成“” , “”變成“+” ,“ 0”變成“1” , “T 變成“0” ,所得函數(shù)式即為原廠函數(shù)式的對偶式，記作：。對偶定理：若兩個函趣涵等那乘們的對偶式也相等。 例1-4試平函敎吾 _的對偶式。解歹廠+可上萬+可124邏輯函數(shù)的公式化簡法1.邏輯函數(shù)式的八種類型與-或式、與非-與非式、或-與非式、

15、或非-或式、與或非 式、與非-與式、或-與式、或非-或非式。與或式與非-與非式：將與或式兩次求反，并用一次 德摩根定理即可。_ _例1-5試將函數(shù)式y(tǒng) = acd + bd + ab轉換成與非一與非 式。解： Y = ACD + BDAB= ACD + BD + AB 與或式一與或非式：先將與或式化成最小項和的形式，然 后直接寫成除了這些最小項編號以外的那些編號的最小項的 或非形式。= ACDBDAB例1-6試將函數(shù)式Y = AC + BC + AB轉換成與或非式。解： Y = AC + BCAB= A（B + 5）C +（A + A）BC + AB（C + C）=ABC ABC ABC AB

16、C ABC ABC=mi + ms + mi + m3 + m2-mo + tri4 + m6=ABC + ABC + ABC3. 邏輯函數(shù)的公式化簡法：是指熟練運用所學基本公式和 常用公式，將一個函數(shù)式化成最簡形式。與或式最簡形式的標準是：該與或式中包含的乘積項的個數(shù) 不能再減少，且每個乘積項所包含的因子數(shù)也不能再減少。常用公式化簡法：并項法、吸收法、消因子法、消項法、配項法。并項法：AB + AB = A例如：Yx = ABC + AB + ABC =（ABC+ ABC）+ AB = AB + AB = By2 = ABC + ABC + ABC + ABC =（AB + AB卜 C +（

17、AB + AB）C =AB C +（A B）C = CY3 = AB + BC + ABC =（A + C）B + ABC = ACB + ABC = B吸收法：A + AB = A 例如：可4 +而+ B）二 AB + CYl = AB + ABC + ABCD = ABy2 = AB + C + AB cf A + C5 += AB + C +（AB +消因子法：A + AB = A + B例如:匕=AB + ABC + ABDE = AB + C + DEy2 = AB 4- BC + AC = AB 4-（B + A）C = AB + ABC = AB + CY3 = AB + ABC

18、 + ACD = AB + C + ACD = AB + C + AD代 + 咚 + OICQ, (伐 + 2a+ 2心二 + PICQ+ oa$ I+ 21+ Q9V + O + 2唱 +U唱 n 優(yōu) + 2g(u + 二 + o +(2 + o)唱 Hl+ 心g + o + 唱“匚“呂凰g E+ug ph BQU+ Q (0 E+U;SU+旦哩+a+丄焉+ 8V) H so + Gap + Q 伐 +uu +U0V HHG8V + ogp n S3 + HGPQV +ugy n 匚“ s亙op + g; 8m +UP + gp 口故 op + 嘎 Hug n g5坦邏y 9 = ABC +

19、 ABC + ABC + ABC=(ABC + ABC)+(ABC + ABC)+ aBC + ABC)= BC + AC + ABY = BD + AD + AC + CD + B(A + D)+ABCD + ABCE= BD + AD + AC + CD + AB + BD + ABCD + ABCE= B + AD + AC + CD + AB + ABCD + ABCE= B + AD + AC + CD=B+AD+AC1.2.5邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡法1.變量的卡諾圖：用個小方塊表示n變量的全部最小項，并 使具有邏輯相鄰性的最小項在幾何位置上也相鄰地排列起 來，所得圖形稱為n變量的卡諾

20、圖。0AB nil0mo1,機3W21ABAB1圖19二變量卡諾圖圖110三變量卡諾圖圖1門四變量卡諾圖圖五變量卡諾圖2邏輯函數(shù)式和卡諾圖之間的相互轉換函數(shù)式轉換成卡諾圖：首先將該函數(shù)式化成最小項和的形 式；然后將該函數(shù)式中包含的最小項在卡諾圖相應位置 處填仁 其余位置處填0。例1-7試畫出邏輯函數(shù)Y = ABCD + BCD + ABD + CD 的卡諾圖。解:11 10010011001110011圖113例112的卡諾圖00 01 11 1000解：01由卡諾圖寫函數(shù)式的方法：將卡諾圖中所有填1的小方塊所表示的最小項相加即可得到相應的函數(shù)式。 例8卡諾圖如圖13所示，要求寫出其函數(shù)式。解計Y BC萬 + ABCD + 亦乙萬 + 亦C萬 + ABC萬 + ABC萬 + ABC萬 + ABCD3. 一般邏輯函數(shù)的卡諾圖化簡卡諾圖化簡法：是指利用卡諾圖對邏輯函數(shù)進行化簡。（1）合并最小項規(guī)則a）具有邏輯相鄰性的2個最小項相加，可合并為1項，消去1 對不同因子，保留公共因子。b）具有邏輯相鄰性的4個最小項相加，且組成矩形組，可合 并為1項，消去2對不同因子，保留公共因子。c）具有邏輯相鄰性的8個最小項相加，且組成矩形組，可合并 為1項，消去3對不同因子，保留公共因子。d）曇有邏輯相鄰性的個最小項相加，且組成矩形組，可合并 込為一項，消去n對不同因子，保