江西省南康中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理含解析

1、江西省南康中學(xué)2018-2019學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期期中試題理含解析數(shù)學(xué)（理科）試卷一、選擇題：本大題共12個小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設(shè)，則在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第 ()象限A. 一B. 二C. 三D. 四【答案】D【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)z,再求即得解.【詳解】由題得=所以.所以在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算和共軛復(fù)數(shù)的求法，考查復(fù)數(shù)的幾何意義，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理計算能力.2.“”是“”的( )A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要

2、條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)不等式的性質(zhì)解得，利用充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷.【詳解】ln（x+1）00x+111x0，1x0，但時，不一定有1x0，如x=-3，故“”是“”的必要不充分條件，故選B.【點(diǎn)睛】本題主要考查充分條件和必要條件的應(yīng)用，考查對數(shù)不等式的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題3.曲線在處的切線的傾斜角是 （ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】先求導(dǎo)，然后求出切線的斜率，繼而得到傾斜角【詳解】當(dāng)時，則傾斜角為故選【點(diǎn)睛】本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求導(dǎo)后先求出在某點(diǎn)處切線的斜率，然后求出傾斜角的大小，較為基礎(chǔ)。4.二項式的展開式的常數(shù)項為（ ）A. B. 5

3、C. D. 10【答案】B【解析】【分析】先寫出二項式展開式的通項,再化簡令x的指數(shù)為零即得r的值，再求出展開式的常數(shù)項.【詳解】由題得二項式展開式的通項為，令.所以二項式展開式的常數(shù)項為.故答案為：B【點(diǎn)睛】(1)本題主要考查二項式展開式的通項和指定項的求法，考查指數(shù)冪的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的掌握水平和計算推理能力.(2) 二項式通項公式： （）它表示的是二項式的展開式的第項，而不是第項；其中叫二項式展開式第項的二項式系數(shù)，而二項式展開式第項的系數(shù)是字母冪前的常數(shù)；注意.5.用0、1、2、3、4這五個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中偶數(shù)共有 （ ）A. 36個B. 72C. 48D.

4、 60【答案】D【解析】【分析】分兩種情況討論，一種是個位是0，一種情況是個位是2或4，即得解.【詳解】當(dāng)個位是0時，偶數(shù)有種，當(dāng)個位是2或4時，偶數(shù)有種，所以共有24+36=60種.故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的綜合應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.6.函數(shù)在的大致圖像為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分別令和，用排除法即可得出結(jié)果.【詳解】令，得，排除B、C選項；令，得，排除D.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)的圖像，特殊值法是選擇題中比較實用的一種方法，屬于基礎(chǔ)題型.7.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為 為橢圓上一動點(diǎn)，面積的最大值為，則橢圓

5、的離心率為（ ）A. B. 1C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題得當(dāng)M橢圓短軸端點(diǎn)時，面積取最大值，解方程=即得解.【詳解】由題得當(dāng)M在橢圓短軸端點(diǎn)時，面積取最大值，解方程=,所以a=2c,即.故選：A【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，考查離心率的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.8.已知中，則（ ）A. 等腰三角形B. 的三角形C. 等腰三角形或的三角形D. 等腰直角三角形【答案】C【解析】,，整理得,，或。當(dāng)時，則，三角形為等腰三角形；當(dāng)時，則，可得。綜上為等腰三角形或的三角形。選C。9. 某次聯(lián)歡會要安排3個歌舞類節(jié)目、2個小品類節(jié)目和1個相聲類節(jié)目的演

6、出順序，則同類節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是A. 72B. 120C. 144D. 168【答案】B【解析】分兩類，一類是歌舞類用兩個隔開共種，第二類是歌舞類用三個隔開共種，所以N=+=120.種。選B.10.某四棱錐的三視圖如圖所示，俯視圖是一個等腰直角三角形，則該四棱錐的體積為 （ ）A. 2B. C. D. 【答案】D【解析】由三視圖可知，原幾何體為一個水平放置的四棱錐，底面是邊長為2，的矩形，高是.由錐體的體積公式得，故選D.11.已知雙曲線 （，）的兩條漸近線與拋物線（）的準(zhǔn)線分別交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若雙曲線的離心率為，的面積為，則的外接圓半徑為( )A. B. C. 2D. 【答案】C

7、【解析】【分析】先求出雙曲線的漸近線方程為，再根據(jù)AOB的面積求出p=2,再利用正弦定理求的外接圓半徑.【詳解】由題得.所以雙曲線的漸近線方程為.聯(lián)立得|AB|=.所以在三角形OAB中，由正弦定理得.所以的外接圓半徑為2.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線和拋物線的簡單幾何性質(zhì)，考查正弦定理解三角形，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.12.已知函數(shù).若過點(diǎn)存在3條直線與曲線相切，則的取值范圍為( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】設(shè)函數(shù)上任意一點(diǎn)，得到切線方程為.再根據(jù)圖像過點(diǎn)，所以，令，等價于函數(shù)g(x)有三個零點(diǎn)，分析即得解.【詳解】設(shè)函數(shù)上任意一點(diǎn)，在

8、點(diǎn)處的切線方程為，即.若過點(diǎn)，則依題意，方程有三個不等實根. 令，得，.當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增.因此的極小值為，極大值為.若有三個不等實根，故.故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，滿分20分，將答案填在答題紙上）13.某興趣小組有2名男生和3名女生，現(xiàn)從中任選2名學(xué)生去參加活動，則至少選中一名男生的選法種數(shù)是_【答案】7.【解析】【分析】利用間接法解答. 先求出從5名學(xué)生中選2名學(xué)生去參加活動的種數(shù),再求出從3名女生中選2名女生去參加活動的

9、種數(shù)，把它們相減即得解.【詳解】從5名學(xué)生中選2名學(xué)生去參加活動，有,從3名女生中選2名女生去參加活動有,所以至少選中一名男生的選法種數(shù)是10-3=7.故答案為：7【點(diǎn)睛】本題主要考查排列組合的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.14.如圖所示，在正方形內(nèi)，隨機(jī)投入一個質(zhì)點(diǎn)，則所投質(zhì)點(diǎn)恰好落在與軸及拋物線所圍成的區(qū)域內(nèi)的概率是_ 【答案】.【解析】【分析】先求出陰影部分的面積，再利用古典概型的概率公式求解.【詳解】由題設(shè)正方形的邊長為2，則陰影部分的面積為，故所投質(zhì)點(diǎn)恰好落在與軸及拋物線所圍成的區(qū)域內(nèi)的概率是.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查定積分求面積，考查古典概型的概率

10、的計算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.15.已知，則與的值分別為_【答案】6，35.【解析】【分析】根據(jù)前面的式子可得a=6,即得解.【詳解】根據(jù)前面的式子可得a=6,.故答案為：6，35.【點(diǎn)睛】本題主要考查歸納推理，意在考查學(xué)生對該知識的理解掌握水平和分析推理能力.16.已知函數(shù)的定義域為，若在上為增函數(shù)，則稱為“一階比增函數(shù)”；若在上為增函數(shù)，則稱為“二階比增函數(shù)”。我們把所有“一階比增函數(shù)”組成的集合記為，所有“二階比增函數(shù)”組成的集合記為若函數(shù)，且，則實數(shù)的取值范圍是_【答案】.【解析】【分析】根據(jù)為“一階比增函數(shù)”不是“二階比增函數(shù)”可得，在是增函數(shù)，且在不是

11、增函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)及導(dǎo)數(shù)法，可求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為，且，即，在是增函數(shù)，所以. 而在不是增函數(shù)，又，且當(dāng)是增函數(shù)時，有，所以當(dāng)不是增函數(shù)時，綜上，得 故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生對新定義理解及應(yīng)用能力，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答題 （共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）17.已知函數(shù).（1）若，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在處取得極值，直線與的圖象有三個不同的交點(diǎn)，求的取值范圍【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間是和，的單調(diào)遞減區(qū)間是；（2）.【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)由函數(shù)

12、的極值得到a=1,再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性和極值，再結(jié)合函數(shù)的圖像和性質(zhì)分析得到的取值范圍【詳解】當(dāng)或時，當(dāng)時，所以的單調(diào)遞增區(qū)間是和，的單調(diào)遞減區(qū)間是.因為在處取得極值，所以，所以.所以.由，解得.由(1)中的單調(diào)性，可知在處取得極大值，在處取得極小值.因為直線與函數(shù)的圖象有三個不同的交點(diǎn)，又，結(jié)合的單調(diào)性，可知的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.18.在等差數(shù)列中，其前項和為，等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，公比為，且，.(1)求與；(2)證明：.【答案】（1）；（2）詳見解析【解析】

13、試題分析：（1）求等差數(shù)列及等比數(shù)列通項公式，基本方法為待定系數(shù)法，即根據(jù)條件列出公差與公比的方程組：，解得（2）數(shù)列不等式證明得方法一般為以算代證：先求前項和，所以，因此利用裂項相消法求得，再根據(jù)項數(shù)為正整數(shù)條件，確定其取值范圍試題解析：解：（1）由于，可得解得：或（舍去）（2）證明：由，得，1故考點(diǎn)：等差數(shù)列及等比數(shù)列通項公式，裂項相消法求和【方法點(diǎn)睛】將數(shù)列通項分成兩個式子的代數(shù)和的形式，然后通過累加抵消中間若干項的方法，裂項相消法適用于形如(其中an是各項均不為零的等差數(shù)列，c為常數(shù))的數(shù)列. 裂項相消法求和，常見的有相鄰兩項的裂項求和(如本例)，還有一類隔一項的裂項求和，如(n2)或

14、.19.的內(nèi)角的對邊分別為，已知（1）求；（2）若，面積為2，求【答案】（）；（）2【解析】試題分析：（1）利用三角形的內(nèi)角和定理可知，再利用誘導(dǎo)公式化簡，利用降冪公式化簡，結(jié)合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面積公式求出，再利用余弦定理即可求出.試題解析：（1），；（2）由（1）可知，20.如圖，在梯形中，.，且平面，點(diǎn)為上任意一點(diǎn).（1）求證：；（2）點(diǎn)在線段上運(yùn)動（包括兩端點(diǎn)），若平面與平面所成的銳二面角為60，試確定點(diǎn)的位置【答案】（1）見解析;（2）點(diǎn)與點(diǎn)重合【解析】【分析】.根據(jù)余弦定理，求得AC長度，再根據(jù)勾股定理逆定理判定；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)，得到；進(jìn)而通過判定線面垂直得

15、到線線垂直。.以C為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出M的坐標(biāo)，求得平面的法向量和平面的法向量，利用兩個法向量的夾角求得FM與FE的關(guān)系?！驹斀狻?證明：，連接，在中，平面，又，平面，平面，.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線，為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，故，設(shè)平面的法向量為，則即令，可得，.易知平面的一個法向量為，.點(diǎn)與點(diǎn)重合.【點(diǎn)睛】本題考查了空間幾何中線面垂直的判定與性質(zhì)，利用空間直角坐標(biāo)系解決空間幾何體面面夾角問題，屬于中檔題。21.已知橢圓的兩焦點(diǎn)在軸上，且短軸的兩個頂點(diǎn)與其中一個焦點(diǎn)的連線構(gòu)成斜邊為2的等腰直角三角形.(1)求橢圓的方程；(2)動直線(不全為零)交橢圓于兩點(diǎn)，試問：

16、在坐標(biāo)平面上是否存在一個定點(diǎn)，使得以線段為直徑的圓恒過點(diǎn)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。【答案】（1）； （2）線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn)Q(0,1).【解析】【分析】(1)根據(jù)橢圓的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，以及斜邊長為，可求出，進(jìn)而可求出橢圓方程；(2)先由直線可得求過定點(diǎn)；根據(jù)與軸平行時或與軸平行時，先求出定點(diǎn)，再由證明即可.【詳解】(1)橢圓的一個焦點(diǎn)與短軸的兩個頂點(diǎn)的連線構(gòu)成等腰直角三角形，.又斜邊長為，即，故， ， 橢圓方程為. (2)由題意可知該動直線過定點(diǎn),當(dāng)與軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為；當(dāng)與軸平行時，以線段AB為直徑的圓的方程為.由 得，故若存在定點(diǎn)，則的坐標(biāo)只可能為.下面證明為所求：若直線的斜率不存在，上述已經(jīng)證明.若直線的斜率存在，設(shè)直線：，由 得， ，=，即以線段AB為直徑的圓恒過點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓方程，以及橢圓中存在定點(diǎn)滿足某條件的問題，通常需要聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理求解，屬于常考題型，計算量較大.22.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對于任意，恒有成立，試