數(shù)學(xué)建模-牙膏銷售量的研究

1、 牙膏銷售量的研究 摘要本文從收集有關(guān)牙膏銷售量數(shù)據(jù)開始，從牙膏銷售量和價(jià)格、廣告投入之間的關(guān)系出發(fā)，分別通過對這三個(gè)方面的深入研究從而制定出各自的最佳方案，最后再綜合考慮這三個(gè)主要因素，進(jìn)一步深入并細(xì)化，從而求得最優(yōu)解。模塊中，我們假設(shè)在和對y的影響?yīng)毩?，從而得到了方程： 在模塊中，我們假設(shè)和對y的影響有交互作用，進(jìn)一步得到新的方程：【關(guān)鍵字】線性回歸模型 相關(guān)系數(shù)一、 問題提出由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識程度的限制,無法分析實(shí)際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型，回歸模型是用統(tǒng)計(jì)分析方法建立的最常用的一類模型。建立牙膏銷

2、售量與價(jià)格、廣告投入之間的模型，預(yù)測在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的牙膏銷售量 二、 問題分析某大型牙膏制造企業(yè)為了更好地拓展產(chǎn)品市場，有效地管理庫存，公司董事會要求銷售部門根據(jù)市場調(diào)查，找出公司生產(chǎn)的牙膏銷售量與銷售價(jià)格、廣告投入等之間的關(guān)系，從而預(yù)測出在不同價(jià)格和廣告費(fèi)用下的銷售量。為此，銷售部的研究人員收集了過去30個(gè)銷售周期（每個(gè)銷售周期為4周）公司生產(chǎn)的牙膏的銷售量、銷售價(jià)格、投入的廣告費(fèi)用，以及同期其它廠家生產(chǎn)的同類牙膏的市場平均銷售價(jià)格，見表1-1（其中價(jià)格差指其它廠家平均價(jià)格與公司銷售價(jià)格之差）。試根據(jù)這些數(shù)據(jù)建立一個(gè)數(shù)學(xué)模型，分析牙膏銷售量與其它因素的關(guān)系，為制訂價(jià)格策略和廣告投入策

3、略提供數(shù)量依據(jù)。表1-1 牙膏銷售量與銷售價(jià)格、廣告費(fèi)用等數(shù)據(jù)銷售周期公司銷售價(jià)格(元)其他廠家平均價(jià)格(元)價(jià)格差(元)廣告費(fèi)用(百萬元)銷售量(百萬支)13.853.80-0.055.57.3823.754.000.256.758.5133.704.300.607.259.5243.603.700.005.507.5053.603.850.257.009.3363.63.800.206.508.2873.63.750.156.758.7583.83.850.055.257.8793.83.65-0.155.257.10103.854.000.156.008.00113.904.100.20

4、6.507.89123.904.000.106.258.15133.704.100.407.009.10143.754.200.456.908.86153.754.100.356.808.90163.804.100.306.808.87173.704.200.507.109.26183.804.300.507.009.00193.704.100.406.808.75203.803.75-0.056.507.95213.803.75-0.056.257.65223.753.65-0.106.007.27233.703.900.206.508.00243.553.650.107.008.50253

5、.604.100.506.808.75263.704.250.606.809.21273.753.65-0.056.508.27283.753.750.005.757.67293.803.850.055.807.93303.704.250.556.809.26MATLAB作圖得到2.1如下所示（相關(guān)程序代碼見附錄1）； 圖2.1 牙膏銷售量與銷售價(jià)格、廣告費(fèi)用的關(guān)系圖 三、 模型假設(shè)假設(shè)收集的數(shù)據(jù)均真實(shí)有效。四、 定義與符號說明y 公司牙膏銷售量 其它廠家與本公司價(jià)格差公司廣告費(fèi)用y被解釋變量（因變量） 解釋變量(回歸變量, 自變量) 回歸系數(shù) e隨機(jī)誤差（均值為零的正態(tài)分布隨機(jī)變量）五、 模

6、型的建立與求解（一）基于和對y的影響?yīng)毩?模型 1、作出圖形，如下圖：由數(shù)據(jù) y,x1,x2估計(jì)bb,bint,r,rint,stats=regress(y,x,alpha) 輸入yn維數(shù)據(jù)向量x=1 x1 x2 x22n4數(shù)據(jù)矩陣, 第1列為全1向量,alpha(置信水平,0.05) 輸出bb的估計(jì)值，bintb的置信區(qū)間 ，r 殘差向量y-xb ，rintr的置信區(qū)間 Stats檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量R2,F, p 參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間017.32445.7282 28.920611.30700.6829 1.93112-3.6956-7.4989 0.107730.34860.0379 0.659

7、4 R2=0.9054 F=82.9409 p=0.0000y的90.54%可由模型確定p遠(yuǎn)小于a=0.05，b2的置信區(qū)間包含零點(diǎn)(右端點(diǎn)距零點(diǎn)很近)， x22項(xiàng)顯著。 F遠(yuǎn)超過F檢驗(yàn)的臨界值，模型從整體上看成立，x2對因變量y 的影響不太顯著，可將x2保留在模型中。銷售量預(yù)測 價(jià)格差x1=其它廠家價(jià)格x3-本公司價(jià)格x4。 估計(jì)x3控制x1通過x1、x2預(yù)測y。 控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=650萬元。（百萬支）銷售量預(yù)測區(qū)間為 7.8230，8.7636（置信度95%）。上限用作庫存管理的目標(biāo)值，下限用來把握公司的現(xiàn)金流 。若估計(jì)x3=3.9，設(shè)定x4=3.7，則可以95%

8、的把握知道銷售額在 7.83203.7 29（百萬元）以上。（二）基于和對y的影響有交互作用-模型參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間029.113313.7013 44.5252111.13421.9778 20.29062-7.6080-12.6932 -2.522830.67120.2538 1.08874-1.4777-2.8518 -0.1037R2=0.9209 F=72.777 p=0.0000交互作用影響的討論 價(jià)格差 x1=0.1 價(jià)格差 x1=0.3 價(jià)格優(yōu)勢會使銷售量增加加大廣告投入使銷售量增加（x2大于6百萬元）價(jià)格差較小時(shí)增加的速率更大 價(jià)格差較小時(shí)更需要靠廣告來吸引顧客的眼球 六

9、、 模型的評價(jià)兩模型銷售量預(yù)測比較 控制價(jià)格差x1=0.2元，投入廣告費(fèi)x2=6.5百萬元。，（百萬支），區(qū)間 7.8230，8.7636，（百萬支），區(qū)間 7.8953，8.7592 略有增加，預(yù)測區(qū)間長度更短七、 附錄 附錄：“圖2. 1 各年度學(xué)費(fèi)占教育經(jīng)費(fèi)的比例的情況”的程序代碼x1=-0.05 0.25 0.60 0.00 0.25 0.20 0.15 0.05 -0.15 0.15 0.20 0.10 0.40 0.45 0.35 0.30 0.50 0.50 0.40 -0.05 -0.05 -0.01 0.20 0.10 0.50 0.60 -0.05 0.00 0.05 0.

10、55;x2=5.5 6.75 7.25 5.50 7.00 6.50 6.75 5.25 5.25 6.00 6.50 6.25 7.00 6.90 6.80 6.80 7.10 7.00 6.80 6.50 6.25 6.00 6.50 7.00 6.80 6.80 6.50 5.75 5.80 6.80;y=7.38 8.51 9.52 7.50 9.33 8.28 8.75 7.87 7.10 8.00 7.89 8.15 9.10 8.86 8.90 8.87 9.26 9.00 8.75 7.95 7.65 7.27 8.00 8.50 8.75 9.21 8.27 7.67 7.9

11、3 9.26;X=ones(30,1) x1 x2 (x2.2);b,bint,r,rint,stats=regress(y,X);rcoplot(r,rint) 軟件開發(fā)人員的薪金的研究摘要 本文從收集有關(guān)軟件開發(fā)人員薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系的數(shù)據(jù)開始，分析軟件開發(fā)人員薪金和資歷、管理責(zé)任、教育程度之間的關(guān)系出發(fā)，分別通過對這四個(gè)方面的深入研究從而制定出各自的最佳方案，最后在綜合考慮這三個(gè)主要因素，進(jìn)一步深入并細(xì)化，從而求得最優(yōu)解。 模塊中，我們假設(shè)x1、x2、x3、x4對y的影響?yīng)毩?，從而得到了方程?模塊二中，我們假設(shè)x1、x2、x3、x4對y的影響有交互作用，進(jìn)一步得到新方

12、程：【關(guān)鍵字】線性回歸模型 相關(guān)系數(shù)一、 問題提出由于客觀事物內(nèi)部規(guī)律的復(fù)雜及人們認(rèn)識程度的限制,無法分析實(shí)際對象內(nèi)在的因果關(guān)系，建立合乎機(jī)理規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。通過對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)分析，找出與數(shù)據(jù)擬合最好的模型，回歸模型是用統(tǒng)計(jì)分析方法建立的最常用的一類模型。建立軟件開發(fā)人員的薪金與資歷、管理責(zé)任和教育程度之間的模型 ，認(rèn)識策略的合理性。二、 問題分析一家技術(shù)公司人事部門欲建立模型研究薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系，分析人事策略的合理性，作為新聘用人員薪金的參考。為此，研究人員收集了46名軟件開發(fā)人員的檔案資料，如表1-2，其中資歷一列指從事專業(yè)工作的年數(shù)，管理一列中1表示管理人員，0表示非管

13、理人員，教育一列中1表示中學(xué)程度，2表示大學(xué)程度，3表示更高程度（研究生）表1-2 軟件開發(fā)人員的薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系編號薪金資歷管理教育0113876111021160810303187011130411283102051176710306208722120711772202081053520109121952031012313302111497531112213713121319800313141141740115202634131613231403171288440218132455021913677503201596551121123666012221352613231

14、38396022422884612251697871126148038022717404811282218481329135488013014467100131159421002322317410133323780101234254101112351486111013616882120237241701213381599013013926330131240179491402412568515134227837161243188381602441748316014519207170246193642001MATLAB作圖得到 圖2.1 牙膏銷售量與銷售價(jià)格、廣告費(fèi)用的關(guān)系圖 圖2. 1 軟件開發(fā)

15、人員的薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系圖三、 模型假設(shè)1.、假設(shè)資歷每加一年薪金的增長是常數(shù)；2、假設(shè)管理、教育、資歷之間無交互作用。四、 定義與符號說明y薪金x1資歷（年）x2x3x4a0，a1，a2，a3，a4是待估計(jì)的回歸系數(shù)e是隨機(jī)誤差五、 模型的建立與求解（一）基于x1、x2、x3和x4對y的影響?yīng)毩?，得到模型參?shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a01103210258 11807a1546484 608a268836248 7517a3-2994-3826 -2162a4148636 931 R2=0.957 F=226 p=0.000R2,F, p 模型整體上可用資歷增加1年薪金增長546

16、，管理人員薪金多6883，中學(xué)程度薪金比更高的少2994，大學(xué)程度薪金比更高的多148，a4置信區(qū)間包含零點(diǎn)，解釋不可靠!殘差分析方法管理與教育的組合組合123456管理010101教育112233e 與資歷x1的關(guān)系 e 與資歷x1的關(guān)系 殘差大概分成3個(gè)水平，6種管理駕馭組合混合在一起，為正確反映。e與管理教育組合的關(guān)系 e與管理教育組合的關(guān)系 殘差為正，或全為負(fù)，管理教育組合處理不當(dāng)，應(yīng)在模型中增加管理x2與教育x3，x4的交互項(xiàng)（二）基于x1、x2、x3和x4對y的影響有交互作用，進(jìn)一步得到新的方程：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a01120411044 11363a1497486 508a2

17、70486841 7255a3-1727-1939 -1514a4-348-545 -152a5-3071-3372 -2769a618361571 2101 R2=0.999 F=554 p=0.000R2,F有改進(jìn)，所有回歸系數(shù)置信區(qū)間都不含零點(diǎn)，模型完全可用e x1 e 組合出現(xiàn)了異常數(shù)據(jù)（33號），為了消除不正常現(xiàn)象，應(yīng)該去掉異常數(shù)據(jù)。去掉異常數(shù)據(jù)后的結(jié)果：參數(shù)參數(shù)估計(jì)值置信區(qū)間a01120011139 11261a1497494 503a270416862 7120a3-1737-1818 -1656a4-356-431 -281a5-3056-3171 -2942a61997189

18、4 2100 R2=0.9998 F=36701 p=0.0000R2： 0.957 0.999 0.9998，F(xiàn)： 226 554 36701，置信區(qū)間長度e x1 e 組合殘插圖十分正常。最終模型的結(jié)果可以應(yīng)用。六、 模型的評價(jià)制訂6種管理教育組合人員的“基礎(chǔ)” 薪金（資歷為0）x1= 0； x2 = 1 管理，x2 = 0 非管理，中學(xué)：x3=1, x4=0 ；大學(xué)：x3=0, x4=1； 更高：x3=0, x4=0 組合管理教育系數(shù)“基礎(chǔ)” 薪金101a0+a39436211a0+a2+a3+a513448302a0+a410844412a0+a2+a4+a619882503a0112

19、00613a0+a218241 大學(xué)程度管理人員比更高程度管理人員的薪金高,大學(xué)程度非管理人員比更高程度非管理人員的薪金略低。對定性因素(如管理、教育)，可以引入0-1變量處理，0-1變量的個(gè)數(shù)應(yīng)比定性因素的水平少1。剔除異常數(shù)據(jù)，有助于得到更好的結(jié)果。可以直接對6種管理教育組合引入5個(gè)0-1變量。七、 附錄附錄：“圖2. 1 軟件開發(fā)人員的薪金與資歷、管理責(zé)任、教育程度的關(guān)系圖”的程序代碼：x1=1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4 5 5 5 6 6 6 6 7 8 8 8 8 10 10 10 10 11 11 12 12 13 13 14 15 16 16 16 17 20;x