信號(hào)與系統(tǒng)：系統(tǒng)的時(shí)域分析 (3)

1、系統(tǒng)的時(shí)域分析,線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)的描述及特點(diǎn) 連續(xù)時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng) 沖激響應(yīng)表示的系統(tǒng)特性,離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng),離散時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng) 離散時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng) 單位脈沖響應(yīng) 序列卷積和,離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng),迭代法求系統(tǒng)響應(yīng) 經(jīng)典時(shí)域法求系統(tǒng)響應(yīng) 卷積法求系統(tǒng)響應(yīng) 零輸入響應(yīng)求解 零狀態(tài)響應(yīng)求解,離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng),離散時(shí)間LTI系統(tǒng) 的數(shù)學(xué)模型為,2. 經(jīng)典時(shí)域分析方法,求解差分方程,3. 卷積法,系統(tǒng)完全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),求解齊次差分方程得到零輸入響應(yīng),利用卷積和可求出零狀態(tài)響應(yīng),系統(tǒng)響應(yīng)求解方法,1. 迭代法,離散時(shí)間LTI

2、系統(tǒng)的響應(yīng),離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型為,2. 經(jīng)典時(shí)域分析方法,3. 卷積法,系統(tǒng)響應(yīng)求解方法,1. 迭代法,離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng),已知 n 個(gè)初始狀態(tài) y-1, y-2, y-2, y-n 和輸入，由差分方程迭代出系統(tǒng)的輸出,1. 迭代法,例 一階線(xiàn)性常系數(shù)差分方程 yk-0.5yk-1=uk, y-1 = 1，用迭代法求解差分方程,解： 將差分方程寫(xiě)成,代入初始狀態(tài)，可求得,依此類(lèi)推,缺點(diǎn)：很難得到閉合形式的解,離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng),差分方程的全解即系統(tǒng)的完全響應(yīng), 由齊次解yhk和特解ypk組成,齊次解yhk的形式由齊次方程的特征根確定,特解ypk的形式由方程右邊激勵(lì)信號(hào)的形

3、式確定,2. 經(jīng)典時(shí)域分析方法,例已知某二階線(xiàn)性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = x k 初始條件y0 = 0，y1 = -1，輸入信號(hào) xk = 2k uk，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk,特征根為,齊次解yhk,解 ： (1) 求齊次方程yk-5yk-1+6yk-2 = 0的齊次解yhk,特征方程為,解,2) 求非齊次方程yk-5yk-1+6yk-2 =xk的特解ypk,由輸入xk的形式，設(shè)方程的特解為,將特解帶入原差分方程即可求得常數(shù)A= -2,例已知某二階線(xiàn)性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = xk 初始條件y0 = 0，y1 = -1，

4、輸入信號(hào) xk = 2k uk，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk,解,3) 求方程的全解，即系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk,解得 C1= -1，C2= 1,例已知某二階線(xiàn)性時(shí)不變離散時(shí)間系統(tǒng)的差分方程 yk-5yk-1+6yk-2 = xk 初始條件y0 = 0，y1 = -1，輸入信號(hào) xk = 2k uk，求系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk,討論,1) 若初始條件不變，輸入信號(hào) xk = sin0 k uk，則系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk=,2) 若輸入信號(hào)不變，初始條件y0=1, y1=1, 則系統(tǒng)的完全響應(yīng)yk=,經(jīng)典法不足之處,若差分方程右邊激勵(lì)項(xiàng)較復(fù)雜，則難以處理。 若激勵(lì)信號(hào)發(fā)生變化，則須全部重新求解。 若初始條件發(fā)生變化，則

5、須全部重新求解。 這種方法是一種純數(shù)學(xué)方法，無(wú)法突出系統(tǒng)響 應(yīng)的物理概念,離散時(shí)間LTI系統(tǒng)的響應(yīng),3. 卷積法,系統(tǒng)完全響應(yīng) = 零輸入響應(yīng)+零狀態(tài)響應(yīng),求解齊次差分方程得到零輸入響應(yīng),利用信號(hào)分解和線(xiàn)性非時(shí)變特性可求出零狀態(tài)響應(yīng),一、零輸入響應(yīng),定義：系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)是輸入信號(hào)為零，僅由系統(tǒng)的初始狀態(tài)單獨(dú)作用而產(chǎn)生的輸出響應(yīng),數(shù)學(xué)模型,求解方法： 根據(jù)差分方程的特征根確定零輸入響應(yīng)的形式,再由初始狀態(tài)確定待定系數(shù),一、零輸入響應(yīng),1) 特征根是不等實(shí)根 r1, r2, , rn,2) 特征根是等實(shí)根 r1=r2=rn,3) 特征根是成對(duì)共軛復(fù)根,齊次解的形式,例 已知某線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)

6、方程式為: yk+3yk-1+2yk-2=xk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1=0， y-2= 1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzik 。（初始狀態(tài)vs初始條件,解： 系統(tǒng)的特征方程為,系統(tǒng)的特征根為,解得 C1=1，C2= -2,例 已知某線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為: yk+4yk-1+4yk-2=xk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1=0， y-2= 1/2，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzik,解： 系統(tǒng)的特征方程為,系統(tǒng)的特征根為,兩相等實(shí)根,解得 C1 = 4, C2= 4,例 已知某線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)方程式為: yk-0.5yk-1+yk-2 -0.5yk-3 =xk 系統(tǒng)的初始狀態(tài)為y-1 = 2， y-2

7、= -1， y-3= 8，求系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)yzik,解： 系統(tǒng)的特征方程為,系統(tǒng)的特征根為,解得 C1= 1，C2= 0 ，C5= 5,二、零狀態(tài)響應(yīng),求解系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzsk方法： 1) 直接求解初始狀態(tài)為零的差分方程。 2) 卷積法： 利用信號(hào)分解和線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)的特性求解,定義：當(dāng)系統(tǒng)的初始狀態(tài)為零時(shí)，由系統(tǒng)的外部激勵(lì)xk產(chǎn)生的響應(yīng)稱(chēng)為系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)，用yzsk表示,卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs k的思路,1) 將任意信號(hào)分解為單位脈沖序列的線(xiàn)性組合 2) 求出單位脈沖序列作用在系統(tǒng)上的響應(yīng) 單位脈沖響應(yīng) 3) 利用線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)的特性，即可求出任意序列xk激勵(lì)下系統(tǒng)的零狀態(tài)響

8、應(yīng)yzsk,卷積法求解系統(tǒng)零狀態(tài)響應(yīng)yzs k推導(dǎo),由非時(shí)變特性,由均勻特性,由疊加特性,例 若描述某離散系統(tǒng)的差分方程為,已知,求系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)yzs k,解,離散時(shí)間系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng),單位脈沖響應(yīng)hk定義 hk的求解 迭代法 等效初始條件法 階躍響應(yīng)gk的求解,三、單位脈沖響應(yīng),定義,單位脈沖序列 k作用于離散時(shí)間LTI系統(tǒng)所產(chǎn)生的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為單位脈沖響應(yīng), 用符號(hào)hk表示,對(duì) N 階LTI離散時(shí)間系統(tǒng)， hk滿(mǎn)足方程,三、單位脈沖響應(yīng),求解方法,2) 等效初始條件法,將d k-j對(duì)系統(tǒng)的瞬時(shí)作用轉(zhuǎn)化為系統(tǒng)的等效初始條件,等效初始條件由差分方程和h-1 = h-2 = = h-n = 0 遞推求出,1) 迭代法,例1 描述某離散因果LTI系統(tǒng)的差分方程為 求系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)hk,解：hk滿(mǎn)足方程,1) 求等效初始條件,對(duì)于因果系統(tǒng)有h-1 = h-2 = 0，代入上面方程可推出,注意：選擇初始條件的基本原則是必須將dk的作用