華北電力大學(xué)-崔翔教授-工程電磁場(chǎng)-ppt(2)

1、1,第2章 靜電場(chǎng),2,2.1 自由空間中場(chǎng)的基本方程和特性,1. 靜電場(chǎng)的基本方程,由 ，電場(chǎng)可以用一個(gè)標(biāo)量場(chǎng)的梯度表示,可見(jiàn)，靜電場(chǎng)是有散場(chǎng)、無(wú)旋場(chǎng),2. 電場(chǎng)強(qiáng)度與電位,電場(chǎng)力將點(diǎn)電荷q 沿任意路徑從P點(diǎn)移動(dòng)到Q點(diǎn)所作的功為,由此定義PQ兩點(diǎn)間的電位差（電壓）為,3,3. 電場(chǎng)的分布,點(diǎn)電荷的電場(chǎng)為,多個(gè)點(diǎn)電荷的電場(chǎng)為,線電荷的電場(chǎng)為,面電荷的電場(chǎng)為,體電荷的電場(chǎng)為,如果以Q點(diǎn)為零電位參考點(diǎn)，則P點(diǎn)電位為,如果以無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位參考點(diǎn)，則P點(diǎn)電位為,4,點(diǎn)電荷的電位為,多個(gè)點(diǎn)電荷的電位為,線電荷的電位,面電荷的電位,體電荷的電位,5,4. 電場(chǎng)線和等位面,E 線的定義:線上任一點(diǎn)的切線方

2、向與該點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度方向一致,等位面,6,5. 電偶極子,相距很小距離l 的一對(duì)等值異號(hào)的電荷，稱(chēng)為電偶極子,偶極子的電矩，簡(jiǎn)稱(chēng)電偶極矩,遠(yuǎn)離電偶極子的一點(diǎn)P(r,)的電位,其中,7,故得,偶極子的電場(chǎng),因?yàn)閞l，將r1、 r2用二項(xiàng)式定理展開(kāi)，略去高階項(xiàng)，得,8,2.2 導(dǎo)體和電介質(zhì),靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體處于靜電平衡狀態(tài)； 導(dǎo)體內(nèi)部電場(chǎng)處處為零； 所有電荷分布在導(dǎo)體表面上,1. 靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體,2. 靜電場(chǎng)中的介質(zhì),介質(zhì)極化現(xiàn)象(演示,極化強(qiáng)度：介質(zhì)極化后每單位體積內(nèi)電偶極矩的矢量和，即,導(dǎo)體內(nèi)部是等位體，導(dǎo)體表面是等位面； 導(dǎo)體表面的電場(chǎng)垂直于導(dǎo)體表面,9,大多數(shù)介質(zhì)在電場(chǎng)作用下產(chǎn)生極化時(shí)，其電極

3、化強(qiáng)度P與介質(zhì)中的合成電場(chǎng)強(qiáng)度E成正比，即,P = e0E,體積元dV內(nèi)的等效電偶極子的電偶極矩p = P(r)dV，它在遠(yuǎn)區(qū)P點(diǎn)處產(chǎn)生的電位應(yīng)為,10,體積V內(nèi)所有電偶極矩在P點(diǎn)產(chǎn)生的合成電位為,根據(jù)矢量恒等式,上式可表示為,由此定義極化電荷的面密度與體密度分別為,11,在引入極化電荷密度描述的基礎(chǔ)上，類(lèi)比于自由電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)，極化電荷在真空中所產(chǎn)生的電場(chǎng)，可分別通過(guò)電位 和場(chǎng)強(qiáng)E表示為,12,2.3 電介質(zhì)中的電場(chǎng),1. 電介質(zhì)中的高斯定律,電介質(zhì)中高斯定理的微分形式為,上式可以轉(zhuǎn)化為,由此定義電位移矢量,電介質(zhì)中高斯定理的積分形式為,13,2. 介電常數(shù) 擊穿場(chǎng)強(qiáng),對(duì)于均勻且各向同性的線

4、性電介質(zhì),令,則有,其中， 為相對(duì)介電常數(shù)，為介電常數(shù),某種介質(zhì)材料所能承受的最大場(chǎng)強(qiáng)就稱(chēng)為該電介質(zhì)的擊穿場(chǎng)強(qiáng)，或稱(chēng)為該材料的電介質(zhì)強(qiáng)度,14,3. 不同媒質(zhì)分界面上的邊界條件,1)兩種不同介質(zhì)分界面上的邊界條件,E 的切向分量滿足的邊界條件,或,15,D 的法向分量滿足的邊界條件,或,16,若兩種介質(zhì)均為線性且各向同性，即D1=1E1，D2=2E2，應(yīng)有1=1，2=2。兩種介質(zhì)分界面上通常不可能存在面分布形式的自由電荷( = 0,兩式相除，即得,介質(zhì)分界面上的極化電荷,結(jié)合,折射率,17,2) 導(dǎo)體和介質(zhì)分界面上的邊界條件,E2,設(shè)導(dǎo)體為媒質(zhì)1，介質(zhì)為媒質(zhì)2。在導(dǎo)體中，E1=D1= 0；分界

5、面上的邊界條件,3) 由電位表示的邊界條件,對(duì)應(yīng),有,對(duì)應(yīng),有,對(duì)應(yīng)導(dǎo)體和介質(zhì)分界面上的邊界條件,18,2.4 邊值問(wèn)題,1. 邊值問(wèn)題的分類(lèi),泊松方程和拉普拉斯方程,把,代入,得,對(duì)于均勻介質(zhì)， 為常數(shù)。再代入,得,對(duì)于場(chǎng)中無(wú)自由電荷分布( = 0)的區(qū)域,在直角坐標(biāo)系中,定解條件,1)給定的是場(chǎng)域邊界S上的電位值，邊界條件稱(chēng)為第一類(lèi)邊界條件，它與泛定方程組合成第一類(lèi)邊值問(wèn)題,19,2)給定的是場(chǎng)域邊界S上電位的法向?qū)?shù)值，邊界條件稱(chēng)為第二類(lèi)邊界條件，它與泛定方程組合成第二類(lèi)邊值問(wèn)題,3)給定的是場(chǎng)域邊界S上電位及其法向?qū)?shù)的線性組合，邊界條件稱(chēng)為第三類(lèi)邊界條件，它與泛定方程組合成第三類(lèi)邊值

6、問(wèn)題,如果場(chǎng)域擴(kuò)展至無(wú)界空間，則還必須給出無(wú)限遠(yuǎn)處的邊界條件。對(duì)于電荷分布在有限區(qū)域的無(wú)界電場(chǎng)問(wèn)題，根據(jù)物理問(wèn)題的本質(zhì)，在無(wú)限遠(yuǎn)處(r)應(yīng)有,這表明r 在無(wú)限遠(yuǎn)處是有界的，即電位 在無(wú)限遠(yuǎn)處為零(r)| r= 0,20,2. 靜電場(chǎng)解的唯一性,設(shè)V 中存在兩個(gè)電位函數(shù) 1和2 ，在給定第一類(lèi)或第二類(lèi)邊值時(shí)，均滿足泊松方程，即,令 1-2 = d，顯然,對(duì)已知的任意兩個(gè)連續(xù)可導(dǎo)的標(biāo)量函數(shù) 和 ，應(yīng)有,令 = = d ，代入上式得,無(wú)論對(duì)于第一類(lèi)邊界還是第二類(lèi)邊界，均有,在整個(gè)場(chǎng)域內(nèi)必有 d = 0。由此得證 1 = 2 ，即只有唯一可能的解答,21,3. 直接積分法,例： 二塊半無(wú)限大的導(dǎo)電平板

7、構(gòu)成夾角為 的電極系統(tǒng)，設(shè)板間電壓為U0，如圖所示。試求導(dǎo)板間電場(chǎng)，并繪出場(chǎng)圖,解 可以判定，(r)=()僅為一個(gè)坐標(biāo)變量 的函數(shù)，因而可以寫(xiě)出如下的第一類(lèi)邊值問(wèn)題,將泛定方程直接積分二次，即得通解為,由給定的二個(gè)邊界條件，可以確定式中待定的積分常數(shù)C1和C2為,22,因此，電位的解為,電場(chǎng)強(qiáng)度的解為,4. 分離變量法,1)直角坐標(biāo)系中的平行平面場(chǎng)問(wèn)題,平行平面場(chǎng)中位函數(shù)U(x，y) 在場(chǎng)域內(nèi)滿足拉普拉斯方程,設(shè)定分離變量形式的試探解，即令U(x，y) =X(x)Y(y)，代入方程得,23,在x和y取任意值時(shí)等式恒成立，這要求兩邊恒為同一常數(shù)?，F(xiàn)記該常數(shù)為 (稱(chēng)為分離常數(shù)),取不同值時(shí)，兩個(gè)常

8、微分方程得到不同形式的解,=0 時(shí),時(shí),時(shí),24,位函數(shù)U的一般解可記作,例：一長(zhǎng)直接地金屬槽的橫截面如圖所示，其側(cè)壁與底面電位均為零，而頂蓋電位 =0，求槽內(nèi)電位分布,25,解：槽內(nèi)電位滿足的基本方程和邊界條件為,在x方向只能選擇正弦函數(shù)，在y方向只能選擇雙曲正弦函數(shù),且,因此,帶入最后一個(gè)邊界條件，得,26,為確定En的值，可對(duì)上式兩邊同乘以 ，其中K為整數(shù)，然后從x = 0到x = a 進(jìn)行積分，得,上式左邊結(jié)果為,K為奇數(shù)) (K為偶數(shù),上式右邊結(jié)果為,nK) (n = K,因此,n為奇數(shù)) (n為偶數(shù),最終得待求電位 (x，y)的解答是,27,2)圓柱坐標(biāo)系中的平行平面場(chǎng)問(wèn)題,設(shè)位函

9、數(shù)與z坐標(biāo)無(wú)關(guān)，U(r) = U(，)，滿足拉普拉斯方程,令試探解U(，) = R()Q()，代入方程，經(jīng)整理得,其中，n2為分離常數(shù)，偏微分方程轉(zhuǎn)化為下列兩個(gè)常微分方程,和,當(dāng)n0時(shí), R()=A10+A20ln； Q()=B10+B20,當(dāng)n 0時(shí), R()=A1nn+A2n-n； Q()=B1ncosn+ B2nsinn,28,例：一橫截面半徑為a，介電常數(shù)為 1的長(zhǎng)直介質(zhì)圓柱體放置在均勻的外電場(chǎng)E0中(場(chǎng)強(qiáng)值為E0，方向與介質(zhì)圓柱的軸線相垂直)，均勻場(chǎng)中介質(zhì)的介電常數(shù)為2，如圖所示。求圓柱體放入后，場(chǎng)中的電位和電場(chǎng)強(qiáng)度,均勻外電場(chǎng)中的介質(zhì)圓柱體,解圓柱體內(nèi)外的介質(zhì)不同，故應(yīng)分別以1和2表示圓柱體內(nèi)外的電位函數(shù)，它們都滿足拉普拉斯方程，即,位函數(shù)U的一般解可記作,29,0 a,a,在圓柱坐標(biāo)系中x=cos，取坐標(biāo)原點(diǎn)為電位參考點(diǎn)，則與均勻外電場(chǎng) E0= E0i 相應(yīng)的電位函數(shù)可表示為：0= -E0 x = -E0cos 。由于 時(shí)介質(zhì)圓柱體產(chǎn)生的極化電場(chǎng)影響應(yīng)當(dāng)消失，故該處給定的電位值應(yīng)與由均勻外電場(chǎng)引起的電位0相一致，即有,對(duì)于圓柱表面( = a)處，不同介質(zhì)分界面上的邊界條件應(yīng)為,30,本例中應(yīng)取A10=