廈門(mén)大學(xué)概率統(tǒng)計(jì).ppt

1、2020/12/29,/ 36,1,4 等可能概型,一、古典概型 二、基本組合分析 三、計(jì)算例子 四、幾何概型,2020/12/29,/ 36,2,有些概率是無(wú)法精確推斷的(主觀概率),比如你對(duì)別人說(shuō)你下午4點(diǎn)去打球的概率是百分之八十。 但你無(wú)法精確說(shuō)出為什么是百分之八十而不是百分之八十四或者百分之七十八。 其實(shí)你想說(shuō)的是你很可能去，但又沒(méi)有完全肯定。 實(shí)際上，到了下午4點(diǎn)，你要么去打球，要么去做其它事情；你不可能有分身術(shù)，百分之八十的你去打球，百分之二十的你去做其它事情。,概率的公理化定義只給出概率必須滿足的三個(gè)基本性質(zhì)，并未對(duì)事件A的概率P(A)給定一個(gè)具體的數(shù),也未給出概率P(A)的含義

2、。,有些概率是可以估計(jì)的(頻率的穩(wěn)定值),2020/12/29,/ 36,3,有些概率是可以精確計(jì)算的,在有些實(shí)際問(wèn)題中，通?？捎善湮锢硖卣?、幾何對(duì)稱性或想像的完全隨機(jī)性，得出每個(gè)基本事件的發(fā)生是等可能的。 比如擲骰子。只要沒(méi)有人在骰子上做手腳，你得到6點(diǎn)的概率應(yīng)該是六分之一，得到其他點(diǎn)的概率也是六分之一。 得到6的概率或者機(jī)會(huì)是已知的，但擲骰子的結(jié)果還只可能是六個(gè)數(shù)目之一。 這個(gè)已知的概率就反映了規(guī)律性，而得到哪個(gè)結(jié)果則反映了隨機(jī)性。 如果你擲1000次骰子，那么，大約有六分之一的可能會(huì)得到6；這也是隨機(jī)性呈現(xiàn)有規(guī)律的一個(gè)體現(xiàn)。,2020/12/29,/ 36,4,比如：拋擲一枚均勻硬幣的試

3、驗(yàn)，拋擲一枚均勻骰子的試驗(yàn),從一副撲克牌中隨機(jī)抽取一張。,我們把這類(lèi)實(shí)驗(yàn)稱為等可能概型，考慮到它在概率論早期發(fā)展中的重要地位，又把它叫做古典概型。,一、古典概型,生活中有這樣一類(lèi)試驗(yàn)，它們的共同特點(diǎn)是： 樣本空間的元素只有有限個(gè)； 每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性相同。,2020/12/29,/ 36,5,由古典概型的等可能性，得,又由于基本事件兩兩互不相容；所以,古典概型中事件概率的計(jì)算,設(shè) S =e1, e2, en ,2020/12/29,/ 36,8, 事件 A2為“至少有一次出現(xiàn)正面”，,A2=HHH, HHT, HTH, THH, HTT, THT, TTH ,2020/12/29,/ 3

4、6,9,例 2 一口袋裝有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只。考 慮兩種取球方式： 放回抽樣 第一次取一只球，觀察其顏色后放 回袋中， 攪勻后再取一球。 不放回抽樣 第一次取一球不放回袋中，第二 次從剩余的球 中再取一球。 分別就上面兩種方式求：,1）取到的兩只都是白球的概率； 2）取到的兩只球顏色相同的概率； 3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。,2020/12/29,/ 36,10,二、基本組合分析,乘法原理若進(jìn)行A1過(guò)程有n1種方法，進(jìn)行A2過(guò)程有n2種方法，則進(jìn)行A1過(guò)程后再進(jìn)行A2過(guò)程共有n1n2種方法。,加法原理 若進(jìn)行A1過(guò)程有n1

5、種方法，進(jìn)行A2過(guò)程有n2種方法，假定A1過(guò)程與A2過(guò)程是并行的，則進(jìn)行過(guò)程A1或過(guò)程A2的方法共有n1n2種方法。,2020/12/29,/ 36,11,排列：從含有n個(gè)元素的總體中取出r個(gè)來(lái)進(jìn)行排列。這時(shí)既要考慮到取出的元素也要顧及其取出順序。,(不可重復(fù))排列數(shù)（無(wú)放回選?。?可重復(fù)排列數(shù)（有放回選?。?（r n 時(shí)稱為選排列；r n 時(shí)稱為全排列，記為Pn= n!）,2020/12/29,/ 36,12,組合：從含有n個(gè)元素的總體中取出r個(gè)而不考慮其取出順序。,(不可重復(fù))組合數(shù)(無(wú)放回選取)：,可重復(fù)組合數(shù)（有放回選?。?若 r1+r2+ + rk= n，把n個(gè)不同元素分成k類(lèi)

6、，第一類(lèi)r1個(gè)， ，,第k類(lèi)rk個(gè)，則不同的分法有：,（二項(xiàng)系數(shù)）,（多項(xiàng)系數(shù)）,(分類(lèi)數(shù)),2020/12/29,/ 36,13,例2 一口袋裝有 6 只球，其中 4 只白球、2 只 紅球。從袋中取球兩次，每次隨機(jī)的取一只?？?慮兩種取球方式： 放回抽樣 第一次取一只球，觀察其顏色后放 回袋中， 攪勻后再取一球。 不放回抽樣 第一次取一球不放回袋中，第二 次從剩余的球 中再取一球。 分別就上面兩種方式求：,1）取到的兩只都是白球的概率； 2）取到的兩只球顏色相同的概率； 3）取到的兩只球中至少有一只是白球的概率。,三、計(jì)算例子,2020/12/29,/ 36,14,解：設(shè) A= “取到的兩只

7、球都是白球 ”， B= “取到的兩只球顏色相同 ”， C= “取到的兩只球中至少有一只是白球”。 有放回抽取: 基本事件是可重復(fù)排列。,2020/12/29,/ 36,15,無(wú)放回抽取: 基本事件是不可重復(fù)排列。,無(wú)放回抽取: 基本事件是不可重復(fù)組合。,2020/12/29,/ 36,16,例 3 將 n 只球隨機(jī)的放入 N (N n) 個(gè)盒子中去， 求每個(gè)盒子至多有一只球的概率(設(shè)盒子的容量不限）。,解：將 n 只球放入 N 個(gè)盒子中去, 在盒子的容量不限的性況不，基本事件等價(jià)于從N個(gè)元素中有放回取n個(gè)的可重復(fù)排列，因此共有,而每個(gè)盒子中至多放一只球等價(jià)于不可重復(fù)排列 , 共有,2020/1

8、2/29,/ 36,17,此例可以作為許多問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型，比如每人的生日在在一年365天中的任一天是等可能的，那么隨機(jī)選取n(365)個(gè)人，他們的生日各不相同的概率是： (365364(365-n+1)/365n 因而，n個(gè)人中至少有兩人生日相同的概率是： p=1-(365364(365-n+1)/365n,經(jīng)計(jì)算可得下述結(jié)果：,2020/12/29,/ 36,18,例4 設(shè)有 N 件產(chǎn)品，其中有 D 件次品，今從中任 取 n 件，問(wèn)其中恰有 k ( k D ) 件次品的概率是多少?,在 D 件次品中取 k 件，所有可能的取法有,在 N-D 件正品中取 n-k 件, 所有可能的取法有,在 N

9、件產(chǎn)品中抽取 n 件，取法共有,解：,2020/12/29,/ 36,19,于是所求的概率為：,此式即為超幾何分布的概率公式。,由乘法原理知：在 N 件產(chǎn)品 中取 n 件，其中恰有 k 件次品的取法共有,2020/12/29,/ 36,20,2）有放回抽樣(基本事件為排列),而在 N 件產(chǎn)品中取 n 件，其中恰有 k件次品的取法共有,于是所求的概率為：,從N件產(chǎn)品中有放回地抽取n件產(chǎn)品進(jìn)行排列，可能的排列數(shù)為 個(gè)，將每一排列看作基本事件，總數(shù)為 。,此式即為二項(xiàng)分布的概率公式。,2020/12/29,/ 36,21,例5 袋中有 a 只白球，b 只紅球k個(gè)人依次在袋中取 一只球，(1)作放回抽

10、樣；(2)作不放回抽樣，求第i(i=1, 2,k)人取到白球(記為事件B)的概率(ka+b),解: (1)放回抽樣的情況，顯然有： P(B)=a/(a+b),(2)不放回抽樣的情況，基本事件為k個(gè)球的不重復(fù)排列，共有 種。第i人取到白球的排列共有 。,2020/12/29,/ 36,22,例6 在 12000 的整數(shù)中隨機(jī)的取一個(gè)數(shù)，問(wèn)取到的整數(shù)既不能被 6 整除，又不能被 8 整除的概率是多少？,解：設(shè) A 為事件“取到的整數(shù)能被 6 整除”， B 為,“取到的整數(shù)能被 8 整除”，則所求的概率為：,AB 為“既被 6 整除又被 8 整除”或“能被 24 整除”,2020/12/29,/ 3

11、6,23,于是所求的概率為：,其中 B =8, 16, 2000 , AB = 24, 48 1992 ，,為：6，12，181998 共 333 個(gè)，,所以能被 6 整除的整數(shù),2020/12/29,/ 36,24,例7 將 15 名新生隨機(jī)地平均分配到 3 個(gè)班中去，這 15 名新生中有 3 名是優(yōu)秀生。問(wèn)： (1) 每個(gè)班各分配到一 名優(yōu)秀生的概率是多少？ (2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率是多少？,解：15名新生平均分配到 3 個(gè)班級(jí)中去的分法總數(shù)為：,以每一種分配法為一基本事件。,2020/12/29,/ 36,25,(1) 將 3 名優(yōu)秀生分配到 3 個(gè)班級(jí)，使每個(gè)班級(jí)都有

12、一名優(yōu)秀生的分法共有 3! 種。其余 12 名新生平均分配到 3 個(gè)班級(jí)中的分法共有,每個(gè)班各分配到一 名優(yōu)秀生的分法總數(shù)為：,于是所求的概率為：,2020/12/29,/ 36,26,(2) 3 名優(yōu)秀生分配到同一個(gè)班級(jí)的概率為：,2020/12/29,/ 36,27,例8 某接待站在某一周曾接待過(guò) 12 次來(lái)訪，已 知所有這 12 次接待都是在周二和周四進(jìn)行的。問(wèn) 是否可以推斷接待時(shí)間是有規(guī)定的？,解：假設(shè)接待站的接待時(shí)間沒(méi)有規(guī)定，各來(lái)訪者在一 周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12 次 接待來(lái)訪者都在周二、周四的概率為: 212/712=0.0000003， 即千萬(wàn)分之三。,2020

13、/12/29,/ 36,28,人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中總結(jié)得到“概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中幾乎是不發(fā)生的”（稱之為實(shí)際推斷原理）?，F(xiàn)在概率很小的事件在一次實(shí)驗(yàn)中竟然發(fā)生了，從而推斷接待站不是每天都接待來(lái)訪者，即認(rèn)為其接待時(shí)間是有規(guī)定的。,2020/12/29,/ 36,29,幾何概型考慮的是有無(wú)窮多個(gè)等可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn)。首先看下面的例子。,例 1 (會(huì)面問(wèn)題）甲、乙二人約定在 12 點(diǎn)到 5 點(diǎn)之間在某地會(huì)面，先到者等一個(gè)小時(shí)后即離去 設(shè)二人在這段時(shí)間內(nèi)的各時(shí)刻到達(dá)是等可能的， 且二人互不影響。求二人能會(huì)面的概率。,四、幾何概型,2020/12/29,/ 36,30,解： 以 X , Y 分別表示

14、甲乙二人到達(dá)的時(shí)刻，于是,即 點(diǎn) M 落在圖中的陰影部 分。所有的點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正 方形，即有無(wú)窮多個(gè)結(jié)果。 由于每人在任一時(shí)刻到達(dá) 都是等可能的，所以落在正 方形內(nèi)各點(diǎn)是等可能的。,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,.M(X,Y),2020/12/29,/ 36,31,二人會(huì)面的條件是：,0 1 2 3 4 5,y,x,5 4 3 2 1,y-x =1,y-x = -1,2020/12/29,/ 36,32,一般，設(shè)某個(gè)區(qū)域 D (線段，平面區(qū)域，空間區(qū)域），具有測(cè) 度 mD(長(zhǎng)度，面積，體積)。如果隨機(jī)實(shí)驗(yàn) E 相當(dāng)于向區(qū)域內(nèi)任意地取點(diǎn)，且取到每一點(diǎn)都是等可能的，則稱此類(lèi)試驗(yàn)

15、為 幾何概型。 如果試驗(yàn) E 是向區(qū)域內(nèi)任意取點(diǎn)，事件 A 對(duì)應(yīng)于點(diǎn)落在 D 內(nèi)的某區(qū)域 A，則,2020/12/29,/ 36,33,例 2 (蒲豐投針問(wèn)題）平面上有一族平行線。其中任何相鄰的兩線距離都是 a (a0) 。向平面任意投一長(zhǎng)為 l (la) 的針，試求針與一條平行線相交的概率。,l,M,x,解 ：設(shè) x 是針的中點(diǎn) M 到最近的平行線的距離， 是針與此平行線的交角，投針問(wèn)題就相當(dāng)于向平面區(qū)域 D 取點(diǎn)的幾何概型。,M,2020/12/29,/ 36,34,x,D,A,0,2020/12/29,/ 36,35,思考題 1) 某人午覺(jué)醒來(lái)，發(fā)覺(jué)表停了，他打開(kāi)收音機(jī)，想聽(tīng)電臺(tái)報(bào)時(shí)，求他等待的時(shí)間不超過(guò) 10 分鐘的概率。(1/6) 2) 在線段 AD 上任意取兩個(gè)點(diǎn) B、C，在 B、C 處折斷此線段 而得三折線，求此三折線能構(gòu)成三角形的概率。(1/