大學(xué)線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合

1、第9章 線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間分析與綜合 重點(diǎn)與難點(diǎn)一、基本概念1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述 （1）狀態(tài)空間概念狀態(tài) 反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀況，并可用以確定系統(tǒng)未來行為的信息集合。狀態(tài)變量 確定系統(tǒng)狀態(tài)的一組獨(dú)立（數(shù)目最少）變量，它對(duì)于確定系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)是必需的，也是充分的。狀態(tài)向量 以狀態(tài)變量為元素構(gòu)成的向量。狀態(tài)空間 以狀態(tài)變量為坐標(biāo)所張成的空間。系統(tǒng)某時(shí)刻的狀態(tài)可用狀態(tài)空間上的點(diǎn)來表示。狀態(tài)方程 狀態(tài)變量的一階導(dǎo)數(shù)與狀態(tài)變量、輸入變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，一般是關(guān)于系統(tǒng)的一階微分（或差分）方程組。輸出方程 輸出變量與狀態(tài)變量、輸入變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。狀態(tài)方程與輸出方程合稱為狀態(tài)空間描述或狀態(tài)空間表達(dá)式。線性定

2、常系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式一般用矩陣形式表示： (9.1)（2）狀態(tài)空間表達(dá)式的建立。系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式可以由系統(tǒng)微分方程、結(jié)構(gòu)圖、傳遞函數(shù)等其他形式的數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出。（3）狀態(tài)空間表達(dá)式的線性變換及規(guī)范化。描述某一系統(tǒng)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)（維數(shù)）是確定的，但狀態(tài)變量的選擇并不唯一。某一狀態(tài)向量經(jīng)任意滿秩線性變換后，仍可作為狀態(tài)向量來描述系統(tǒng)。狀態(tài)變量選擇不同，狀態(tài)空間表達(dá)式形式也不一樣。利用線性變換的目的在于使系統(tǒng)矩陣規(guī)范化，以便于揭示系統(tǒng)特性，利于分析計(jì)算。滿秩線性變換不改變系統(tǒng)的固有特性。根據(jù)矩陣的特征根及相應(yīng)的獨(dú)立特征向量情況，可將矩陣化為三種規(guī)范形式：對(duì)角形、約當(dāng)形和模式矩陣。（4）線性定常系統(tǒng)狀

3、態(tài)方程解。狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣（即矩陣指數(shù)）及其性質(zhì)：i iiiii.iv.v.vi.vii.求狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的常用方法：拉氏變換法L1 （9.2）級(jí)數(shù)展開法 （9.3）齊次狀態(tài)方程求解 （9.4）非齊次狀態(tài)方程式（9.1）求解 （9.5）（5）傳遞函數(shù)矩陣及其實(shí)現(xiàn)傳遞函數(shù)矩陣：輸出向量拉氏變換式與輸入向量拉氏變換式之間的傳遞關(guān)系 (9.6)傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)：已知傳遞函數(shù)矩陣，找一個(gè)系統(tǒng)使式（9.6）成立，則將系統(tǒng)稱為的一個(gè)實(shí)現(xiàn)。當(dāng)系統(tǒng)階數(shù)等于傳遞函數(shù)矩陣階數(shù)時(shí)，稱該系統(tǒng)為的最小實(shí)現(xiàn)。傳遞函數(shù)矩陣的實(shí)現(xiàn)并不唯一。實(shí)現(xiàn)的常用標(biāo)準(zhǔn)形式有可控標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形實(shí)現(xiàn)、對(duì)角形實(shí)現(xiàn)和約當(dāng)形實(shí)現(xiàn)等。（6）線性

4、定常連續(xù)系統(tǒng)的離散化及其求解對(duì)式（9.1）表示的線性定常數(shù)連續(xù)系統(tǒng)進(jìn)行離散化，導(dǎo)出的系統(tǒng)離散狀態(tài)空間描述為(9.8)其中 離散狀態(tài)方程式（9.1）的解為 (9.9)2. 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測(cè)性（1）系統(tǒng)的（狀態(tài)）可控性。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，若在有限時(shí)間間隔內(nèi)存在無約束的分段連續(xù)控制函數(shù)，能使系統(tǒng)從任意初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意的終止?fàn)顟B(tài)，則稱系統(tǒng)是狀態(tài)完全可控的，簡稱可控。線性定常連續(xù)系統(tǒng)可控性常用判據(jù)：1） rank (9.10)2）當(dāng)A為對(duì)角矩陣且特征根互異時(shí)，輸入矩陣B中無全零行（當(dāng)矩陣A有相同特征根時(shí)不適用）。當(dāng)A為約當(dāng)矩陣且相同特征根分布在一個(gè)約當(dāng)塊內(nèi)時(shí)，輸入矩陣中與約當(dāng)塊最后一行對(duì)應(yīng)的行

5、中不全為零，且輸入矩陣中與相異特征根對(duì)應(yīng)的行不全為零（當(dāng)相同特征根分布在兩個(gè)或兩個(gè)以上約當(dāng)塊時(shí)不適用）。3）的行向量線性無關(guān)。4）單輸入系統(tǒng)為可控標(biāo)準(zhǔn)形。5）單輸入單輸出系統(tǒng)，當(dāng)由狀態(tài)空間表達(dá)式導(dǎo)出的傳遞函數(shù)沒有零極點(diǎn)對(duì)消時(shí)，系統(tǒng)可控、可觀測(cè)（對(duì)多輸入多輸出系統(tǒng)不適用）。連續(xù)系統(tǒng)狀態(tài)方程離散化后的可控性：連續(xù)系統(tǒng)不可控，離散化的系統(tǒng)一定不可控；連續(xù)系統(tǒng)可控，離散化后的系統(tǒng)不一定可控（與采樣周期的選擇有關(guān)）。（2）系統(tǒng)輸出可控性。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式為式（9.1）,若在有限時(shí)間間隔內(nèi)，存在無約束的分段連續(xù)控制函數(shù)，能使系統(tǒng)從任意初始輸出轉(zhuǎn)移到最終內(nèi)測(cè)量到的輸出，則稱系統(tǒng)是輸出完全可控的，簡稱輸出

6、可控。輸出可控性判據(jù)為rank狀態(tài)可控性與輸出可控性是兩個(gè)不同的概念，其間沒有必然聯(lián)系。單輸入單輸出系統(tǒng)，若輸出不可控，則系統(tǒng)或不可控或不可觀測(cè)。（3）系統(tǒng)狀態(tài)可觀測(cè)性。已知輸出及有限時(shí)間間隔內(nèi)測(cè)量到的輸出，若能唯一確定初始狀態(tài)，則稱系統(tǒng)是完全可觀測(cè)的，簡稱可觀測(cè)。常用可觀測(cè)性判據(jù)：1） rank (9.11)2）當(dāng)為對(duì)角矩陣且有相異特征值時(shí)，輸出矩陣無全零列（陣有相同特征值時(shí)不適用）。當(dāng)為約當(dāng)陣且相同特征值分布在一個(gè)約當(dāng)塊時(shí)，輸出矩陣中與約當(dāng)塊最前一列對(duì)應(yīng)的列不全為零，輸出矩陣中與相異特征值對(duì)應(yīng)的列不全為零（相同特征值分布在兩個(gè)或更多個(gè)約當(dāng)塊時(shí)不適用）。3）的列向量線性無關(guān)。4）單輸出系統(tǒng)為

7、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形。連續(xù)系統(tǒng)離散化后的可觀測(cè)性：連續(xù)系統(tǒng)不可觀測(cè)，離散化后一定不可觀測(cè)；連續(xù)系統(tǒng)可觀測(cè)，離散化后不一定可觀測(cè)（與采樣周期的選擇有關(guān)）。對(duì)偶原理：線性系統(tǒng)與互為對(duì)偶系統(tǒng)。若系統(tǒng)可控，則可觀測(cè)；若系統(tǒng)可觀測(cè)，則可控。（4）線性定常系統(tǒng)的規(guī)范分解。從可控性、可觀測(cè)性出發(fā)，狀態(tài)變量可分解為可控可觀測(cè)、可控不可觀測(cè)、不可控可觀測(cè)和不可控不可觀測(cè)四類。以此對(duì)應(yīng)將狀態(tài)空間劃分為四個(gè)子空間，系統(tǒng)也對(duì)應(yīng)分解為四個(gè)子系統(tǒng)，這稱為系統(tǒng)的規(guī)范分解。研究規(guī)范分解能更明顯地提示系統(tǒng)結(jié)構(gòu)特性和傳遞特性。3. 線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器（1）狀態(tài)反饋與極點(diǎn)配置。用狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是被控

8、系統(tǒng)可控。狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)，只改變系統(tǒng)的極點(diǎn)。在引入狀態(tài)反饋后，系統(tǒng)可控性不變，但其可觀測(cè)性不一定與原系統(tǒng)一致。單輸入無零點(diǎn)系統(tǒng)在引入狀態(tài)反饋后不會(huì)出現(xiàn)零極點(diǎn)對(duì)消，故其可觀測(cè)性與原系統(tǒng)保持一致。（2）輸出反饋（到狀態(tài)微分處）與極點(diǎn)配置。用輸出反饋實(shí)現(xiàn)閉環(huán)極點(diǎn)任意配置的充要條件是被控系統(tǒng)可觀測(cè)。輸出反饋不改變系統(tǒng)的零點(diǎn)。在引入輸出反饋后不改變系統(tǒng)的可觀測(cè)性，但其可控性不一定與原系統(tǒng)保持一致。（3）輸出到輸入?yún)⒖键c(diǎn)的常值增益反饋可以配置的閉環(huán)極點(diǎn)數(shù)為，式中，故一般情況下不能像輸出到狀態(tài)微分處反饋那樣任意配置系統(tǒng)閉環(huán)極點(diǎn)。（4）狀態(tài)觀測(cè)器及其設(shè)計(jì)。若被控系統(tǒng)可觀測(cè)，則其狀態(tài)可用形如 (9.1

9、2)的全維狀態(tài)觀測(cè)器給出估值。矩陣按任意配置極點(diǎn)的需要來選擇，以決定狀態(tài)誤差衰減的速率。分離定理：若被控系統(tǒng)可控可觀測(cè)，當(dāng)用狀態(tài)觀測(cè)器估值形成狀態(tài)反饋時(shí)，其系統(tǒng)的極點(diǎn)配置和觀測(cè)器設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行。即矩陣與的設(shè)計(jì)可分別獨(dú)立進(jìn)行。4. 李雅普諾夫穩(wěn)定性分析（1）李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性：平衡狀態(tài)：在無外部激勵(lì)的條件下，系統(tǒng)能維持在某個(gè)狀態(tài)而不變化，即則稱為一個(gè)平衡狀態(tài)。零狀態(tài)是線性系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，且當(dāng)系統(tǒng)矩陣非奇異時(shí)，零狀態(tài)是唯一的平衡狀態(tài)。李雅普諾夫穩(wěn)定性：若要求，存在，只要，上述條件更可滿足，則稱系統(tǒng)在處穩(wěn)定。（2）李雅普諾夫第二法（直接法）：標(biāo)量函數(shù)（如二次型函數(shù)）的定號(hào)性：正定、正半定、

10、負(fù)定、負(fù)半定、不定。李雅普諾夫穩(wěn)定性定理：設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為，其平衡狀態(tài)滿足，并設(shè)在原點(diǎn)鄰域存在對(duì)的連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)，則有定理1：若正定，負(fù)定，則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。定理2：若正定，負(fù)半定，在非零狀態(tài)不恒為零，則原點(diǎn)是漸近穩(wěn)定的。定理3：若正定，負(fù)半定，在非零狀態(tài)存在恒為零，則原點(diǎn)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的。定理4：若正定，正定，則原點(diǎn)是不穩(wěn)定的。當(dāng)平衡狀態(tài)不在原點(diǎn)時(shí)，可通過坐標(biāo)變換將其置于原點(diǎn)上，坐標(biāo)變換不改變系統(tǒng)的固有性質(zhì)。（3）線性定常連續(xù)系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性分析。設(shè)系統(tǒng)狀態(tài)方程為為非奇異矩陣，故原點(diǎn)是唯一平衡狀態(tài)。取二次型函數(shù)作為可能的李雅普諾夫函數(shù)，即則 系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充要條件是：給定一正

11、定實(shí)對(duì)稱矩陣，有唯一的正定實(shí)對(duì)稱矩陣，成立。是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。線性定常離散系統(tǒng)，零平衡狀態(tài)漸近穩(wěn)定的充要條件是：任意給定一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣，存在一個(gè)正定實(shí)對(duì)稱矩陣，滿足李雅普諾夫方程。純量函數(shù)是該離散系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。如果沿系統(tǒng)任一狀態(tài)軌跡運(yùn)動(dòng)（除外），其0，則可取正半定矩陣。二、基本要求1線性系統(tǒng)的狀態(tài)空間描述（1）正確理解狀態(tài)空間有關(guān)概念。（2）熟練掌握建立元件、系統(tǒng)狀態(tài)空間表達(dá)式的方法。（3）掌握狀態(tài)空間表達(dá)式向可控、可觀測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形、對(duì)角形、約當(dāng)形等規(guī)范形式變換的基本方法。（4）熟練掌握系統(tǒng)實(shí)現(xiàn)的常用方法。（5）熟練掌握依狀態(tài)空間表達(dá)式求系統(tǒng)傳遞矩陣的方法。（6）熟練掌握

12、線性系統(tǒng)狀態(tài)方程求解方法。特別要掌握狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)及求取方法。2線性系統(tǒng)的可控性和可觀測(cè)性（1）正確理解可控性、可觀測(cè)性的基本概念。（2）熟練掌握判定系統(tǒng)可控、可觀測(cè)性的充要條件及有關(guān)方法。（3）理解可控性、可觀測(cè)性與系統(tǒng)傳遞函數(shù)的關(guān)系。（4）理解線性系統(tǒng)規(guī)范分解的作用和意義，了解規(guī)范分解的一般方法。3線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)反饋與狀態(tài)觀測(cè)器（1）正確理解利用狀態(tài)反饋任意配置系統(tǒng)極點(diǎn)的有關(guān)概念，熟練掌握按系統(tǒng)指標(biāo)要求確定狀態(tài)反饋矩陣的方法。（2）正確理解利用輸出反饋任意配置系統(tǒng)極點(diǎn)的有關(guān)概念，熟練掌握指標(biāo)要求確定輸出反饋矩陣的方法。（3）正確理解分離定理，熟練掌握依狀態(tài)觀測(cè)器要求設(shè)計(jì)觀測(cè)器的方法，并會(huì)用之構(gòu)成狀態(tài)反饋控制系統(tǒng)。4李雅普諾夫穩(wěn)定性分析（1）正確理解李雅普諾夫穩(wěn)定性的有關(guān)