概率 習題課3

1、第三章 習題課,主要內容,1. 二維隨機變量,設E一隨機試驗,樣本空間S=e, X、Y是定義在S上的隨機變量,(X,Y)叫做二維隨機變(向)量,2. 二維隨機向量(X,Y)的分布函數(shù),性質,1)F(x,y)是變量 x 和 y 的不減函數(shù),2) 0 F(x,y) 1, 且 F(-,y)=0, F(x, -)=0, F(-,-)=0, F(,)=1,3)F(x,y) x 和 y右連續(xù),4) 對于任意x1 x2 , y1 y2 ,有 F(x2, y2)- F(x2, y1)+ F(x1,y1)- F(x1,y2)0,3.邊緣分布,4. 隨機變量獨立性的定義,1.聯(lián)合分布律,離散型的二維隨機變量(X,

2、Y,性 質,分布函數(shù),Y,X,2.邊緣分布律,3. 條件分布律,4. 獨立性,連續(xù)型的二維隨機變量,1.聯(lián)合概率密度及性質,2.邊緣概率密度,X 的邊緣概率密度,Y 的邊緣概率密度,邊緣分布函數(shù),3.條件概率密度,4.獨立性,3)若,且X與Y相互獨立, 則,X+Y 仍服從正態(tài)分布, 且,且相互獨立, 則,推廣: 若,4)有限個相互獨立的正態(tài)隨機變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布,2) 若,X與Y相互獨立,則,1) 若,則,正態(tài)分布隨機變量的一些常用性質,1) Z=X+Y 的分布,分布函數(shù),概率密度,當X 和Y 相互獨立,兩個隨機變量的函數(shù)的分布,2) 當X 和Y 相互獨立時,M = max(X,Y

3、 ) 的分布函數(shù),N = min(X,Y ) 的分布函數(shù),第3章作業(yè)中的問題,作業(yè)1. 二、4. 已知X和Y的分布律為 X -1 0 1 Y 0 1 且 PXY=0=1. 求X與Y的聯(lián)合分布律,解,X,Y,1 0 1,0,1,由 PXY=0=1,得 PXY0=0,而 PXY0 = PX=-1,Y=1 + PX=1,Y=1 =d + f = 0,于是 d =0 ，f =0,a b c d e f,0,0,0,第3章作業(yè)中的問題,作業(yè)2. 2,解,設(X,Y)的概率密度為,求: (1)常數(shù)C ； (2)邊緣概率密度,3)條件概率密度,第3章作業(yè)中的問題,作業(yè)2. 5,解,設二維隨機變量(X,Y)在

4、矩形區(qū)域,上服從均勻分布. 記,1)求U與V的聯(lián)合分布； (2)U與V是否相互獨立,U與V的是離散型隨機變量,V,0 1,0,1,a b C d,0,U,y=x,x=2y,第3章作業(yè)中的問題,作業(yè)3. 一、填空題,設X與Y為兩個隨機變量, 則,2. 設X和Y相互獨立,且XN(0,1) ,Y N(1,1), 則( ) (A) (B) (C) (D,作業(yè)3. 二、選擇題,第3章作業(yè)中的問題,作業(yè)3. 三、 4,解,打靶，彈著點的坐標A(X,Y)相互獨立， 且都服從N(0,1).規(guī)定 點A落在區(qū)域 得2分； 點A落在區(qū)域 得1分； 點A落在區(qū)域 得0分. 以記打靶得分.寫出X,Y的聯(lián)合概率密度，求Z

5、的分布律,X,Y的聯(lián)合概率密度,Z 0 1 2,p1 p2 p3,填空題,1 . 設(X,Y)在由 x軸, y軸及直線 y=2x+1所圍成的域上服從均勻分布, 則,0.5,2.設(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為 F(x,y), 則,3. 設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為,則PY=1|X=2=_,Y 1 2 3 1 1/16 3/8 1/16 2 1/12 1/6 1/4,X,13/24,9/13,4. 設二維離散型隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為,Y 1 2 3 1 1/6 1/9 1/18 -1 1/3 a b,若X和Y獨立,則 a=_ , b=_,1/2 1/9+a 1/18+b,1

6、/3 1/3+a+b,2/9,1/9,X,5. 設X和Y是兩個獨立的隨機變量,其分布密度分別為,則(X,Y)的聯(lián)合分布密度是_,6. 設X和Y是兩個隨機變量, 且,則,答: Pmax(X,Y)0=1-Pmax(X,Y)0,1- PX0,Y0,PX 0+PY 0 -PX 0,Y 0,5/7,7. 設X和Y是都服從正態(tài)分布N(0,2), 且,則,1/3,答: PX0,Y0,1- PX0 Y0,1- PX0-PY0 +PX0,Y0,二、選擇題,1. 設(X,Y)的聯(lián)合概率密度是 則X與Y為( )的隨機變量 (A)獨立同分布 (B)獨立不同分布 (C )不獨立同分布 (D)不獨立也不同分布,2.設 X

7、, Y 是相互獨立的隨機變量, 其分布函數(shù)分別為 , 則 的分布函數(shù)是(,A) (B,3. 設 X, Y 是相互獨立的隨機變量,且都服從0,1上的均勻分布,則服從區(qū)間或區(qū)域上的均勻分布隨機變量是(,C ) (D,4. 隨機變量X與Y相互獨立且同分布 則下列各式中成立的是(,5.隨機變量X與Y相互獨立, 且 則Z=X+Y仍服從正態(tài)分布, 且有(,6. 設XN(0,1),Y N(1,1),且相互獨立,則,1. 設某種商品一周的需求量是一個隨機變量，其 概率密度為,若各周的需求量相互獨立, 求兩周需求量的概率密度,解 設X, Y分別表示第一、二周的需求量,則兩周的需求量為 Z=X+Y,三 計算題,z

8、,o,x,2.一射手進行射擊，擊中目標的概率為p，射擊到擊中目標兩次為止. 以X表示首次擊中目標所進行的射擊次數(shù)，Y表示射擊的總次數(shù)，試求X與Y的聯(lián)合分布律和邊緣分布律,解,依題意, X=m, Y=n表示:前m-1次不中, 第m擊中, 第m+1, n-1次不中, 第n次擊中.又每次射擊是獨立的,3. 設(X,Y)的密度函數(shù)為,y=x,1)求X,Y的邊緣分布密度,并判斷其獨立性; (2)求(X,Y)的條件分布密度,4.設隨機變量X關于Y的條件密度函數(shù)為,當0y 1時,而Y 的密度函數(shù)為,求,答：47/64,5 .設X與Y相互獨立,且X與Y分別服從區(qū)間(-1,1), (0,1)內的均勻分布, 求方

9、程 無實根的概率,t2+2Xt+Y=0無實根 X2 Y0,PX2 Y0=2/3,解,6. 已知隨機變量X與Y相互獨立,XN(0,1),Y服從0,2上的均勻分布,求PXY,y=x,答案,7.設某種雞下蛋的個數(shù)X ()，而每一個蛋能孵化成小雞的概率為p，記Y表示此雞的下一代的個數(shù). 試求X與Y的聯(lián)合分布律，并證明 Y (p,解,即Y (p,練習題 1,在元旦茶話會上，每人發(fā)給一袋水果，內裝3只桔子，2只蘋果，3只香蕉.今從袋中隨機抽出4只，以X記桔子數(shù)，Y蘋果數(shù)，求X與 Y聯(lián)合分布律,答,X,Y,0 1 2 3,0 1 2,0 3/70 9/70 3/70,2/70 18/70 18/70 2/7

10、0,3/70 9/70 3/70 0,練習題 2,某旅客到達火車站的時間X均勻分布在早上7：558：00，而火車這段時間開出的時間Y的密度函數(shù)為 求此人能及時上火車的概率,答,1/3,自 測 題,1.設隨機變量(X,Y)的密度為,1)系數(shù)A; (2) (X,Y)的分布函數(shù); (3) (X,Y)的邊緣分密度; (4) (X,Y)的條件密度; (5) 概率PX+Y1, PYX, PY1/2|X1/2,試求,2. 設(X,Y)的聯(lián)合分布為,求: (1) X 和Y 的邊緣分布律 及條件分布律,2) PX+Y2, PYX,3 .把4個球隨機地放入3個盒子中.設隨機變量X,Y分別表示放入第一個， 第二個盒子中的球的個數(shù),求二維隨機變量(X,Y)的邊緣分布,0 1 2 3 4 0 1/91 4/91 6/91 4/91 1/91 1 4/91 12/91 12/91 4/91 0 2 6/91 12/91 6/91 0 0 3 4/91 4/91 0 0 0 4 1/91 0 0 0 0,X,Y,16/91 32/91 24/91 8/91 1/91,16/91 32/91 24/91 8/91 1/91,0 1 2 3 4,0 1 2 3 4,X,Y,1/91 4/91 6/91