2017-2018學(xué)年數(shù)學(xué)蘇教版必修3教學(xué)案第1部分 第3章 3.3 幾何概型含解析

1、 觀察下面兩個(gè)試驗(yàn)：(1)早上乘公交車去上學(xué)，公交車到站的時(shí)間可能是7：00至7：10分之間的任何一個(gè)時(shí)刻(2)“神七”返回大陸時(shí)著陸場(chǎng)為方圓200 km2的區(qū)域，而主著陸場(chǎng)為方圓120 km2的區(qū)域，飛船在著陸場(chǎng)的任何一個(gè)地方著陸的可能性是均等的問題1：上述兩個(gè)試驗(yàn)中的基本事件的結(jié)果有多少個(gè)？提示：無限個(gè)問題2：每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能機(jī)會(huì)均等嗎？提示：是均等的問題3：上述兩試驗(yàn)屬古典概型嗎？提示：不屬于古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)結(jié)果是無限個(gè)問題4：能否求兩試驗(yàn)發(fā)生的概率？提示：可以求出1幾何概型的定義對(duì)于一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)，將每個(gè)基本事件理解為從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)

2、都一樣；而一個(gè)隨機(jī)事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個(gè)指定區(qū)域中的點(diǎn)這里的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形等用這種方法處理隨機(jī)試驗(yàn)，稱為幾何概型2幾何概型的計(jì)算公式在幾何區(qū)域D中隨機(jī)地取一點(diǎn)，記事件“該點(diǎn)落在其內(nèi)部一個(gè)區(qū)域d內(nèi)”為事件A，則事件A發(fā)生的概率P(A)這里要求D的測(cè)度不為0，其中“測(cè)度”的意義依D確定，當(dāng)D分別是線段、平面圖形和立體圖形時(shí)，相應(yīng)的“測(cè)度”分別是長(zhǎng)度、面積和體積等1在幾何概型中，“等可能”應(yīng)理解為對(duì)應(yīng)于每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果的點(diǎn)落入某區(qū)域內(nèi)可能性大小，僅與該區(qū)域的度量成正比，而與區(qū)域的位置、形狀無關(guān)2判斷一試驗(yàn)是否是幾何概型的關(guān)鍵是看是否具備兩個(gè)特征：無限性和等可能性例

3、1在等腰直角三角形ABC中，在斜邊AB上任取一點(diǎn)M，求AM的長(zhǎng)大于AC的長(zhǎng)的概率思路點(diǎn)撥在AB上截取ACAC，結(jié)合圖形分析適合條件的區(qū)域可求概率精解詳析設(shè)ACBCa，則ABa，在AB上截取ACAC，于是P(AMAC)P(AMAC).即AM的長(zhǎng)大于AC的長(zhǎng)的概率為.一點(diǎn)通在求解與長(zhǎng)度有關(guān)的幾何概型時(shí)，首先找到幾何區(qū)域D，這時(shí)區(qū)域D可能是一條線段或幾條線段或曲線段，然后找到事件A發(fā)生對(duì)應(yīng)的區(qū)域d，在找d的過程中確認(rèn)邊界是問題的關(guān)鍵1在區(qū)間1，3上任取一數(shù)，則這個(gè)數(shù)大于等于1.5的概率為_解析：P0.75.答案：0.752已知函數(shù)f(x)log2x，x，2，在區(qū)間，2上任取一點(diǎn)x0，則使f(x0)0

4、的概率為_解析：欲使f(x)log2x0，則x1，而x0，2，x01，2，從而由幾何概型概率公式知所求概率P.答案：例2(湖南高考改編)如圖，EFGH是以O(shè)為圓心，半徑為1的圓的內(nèi)接正方形將一顆豆子隨機(jī)地扔到該圓內(nèi)， 用A表示事件“豆子落在正方形EFGH內(nèi)”，則P(A)_思路點(diǎn)撥可判斷為幾何概型，利用面積比求其概率精解詳析圓的半徑是1，則正方形的邊長(zhǎng)是，故正方形EFGH(區(qū)域d)的面積為()22.又圓(區(qū)域D)的面積為， 則由幾何概型的概率公式，得P(A).答案一點(diǎn)通解決此類問題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)題意確認(rèn)是否是與面積有關(guān)的幾何概型問題；(2)找出或構(gòu)造出隨機(jī)事件對(duì)應(yīng)的幾何圖形利用圖形的幾何特

5、征計(jì)算相關(guān)面積3射箭比賽的箭靶是涂有彩色的五個(gè)圓環(huán)，從外向內(nèi)分別為白色、黑色、藍(lán)色、紅色，靶心是金色，金色靶心叫“黃心”，奧運(yùn)會(huì)的比賽靶面直徑為122 cm, 靶心直徑為12.2 cm，運(yùn)動(dòng)員在70 m外射箭，假設(shè)每箭都能中靶，且射中靶面內(nèi)任意一點(diǎn)是等可能的，那么射中黃心的概率為_解析：記“射中黃心”為事件B，由于中靶點(diǎn)隨機(jī)地落在面積為1222 cm2的大圓內(nèi)，而當(dāng)中靶點(diǎn)落在面積為12.22 cm2的黃心內(nèi)時(shí)，事件B發(fā)生，所以事件B發(fā)生的概率P(B)0.01.答案：0.014如圖，平面上一長(zhǎng)12 cm，寬10 cm的矩形ABCD內(nèi)有一半徑為1 cm的圓O(圓心O在矩形對(duì)角線交點(diǎn)處)把一枚半徑為

6、1 cm的硬幣任意擲在矩形內(nèi)(硬幣完全落在矩形內(nèi))，求硬幣不與圓O相碰的概率解：由題意可知：只有硬幣中心投在陰影部分(區(qū)域d)時(shí)才符合要求，所以不與圓相碰的概率為1.例3(12分)用橡皮泥做成一個(gè)直徑為6 cm的小球，假設(shè)橡皮泥中混入一個(gè)很小的砂粒，試求這個(gè)砂粒距離球心不小于1 cm的概率思路點(diǎn)撥先判斷概型為幾何概型后利用體積比計(jì)算概率精解詳析設(shè)“砂粒距離球心不小于1 cm”為事件A，球心為O，砂粒位置為M，則事件A發(fā)生，即OM1 cm.(3分)設(shè)R3，r1，則區(qū)域D的體積為VR3，(5分)區(qū)域d的體積為V1R3r3.(7分)P(A)1()31.(10分)故砂粒距離球心不小于1 cm的概率為.

7、(12分)一點(diǎn)通如果試驗(yàn)的結(jié)果所成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出基本事件所占的總的體積及事件A所分布的體積其概率的計(jì)算P(A).5一只小蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為30的正方體玻璃容器內(nèi)隨機(jī)飛行，若蜜蜂在飛行過程中與正方體玻璃容器6個(gè)表面中至少有一個(gè)的距離不大于10，則就有可能撞到玻璃上而不安全；若始終保持與正方體玻璃容器6個(gè)表面的距離均大于10，則飛行是安全的，假設(shè)蜜蜂在正方體玻璃容器內(nèi)飛行到每一位置可能性相同，那么蜜蜂飛行是安全的概率是_解析：記“蜜蜂能夠安全飛行”為事件A，則它位于與正方體玻璃容器6個(gè)表面的距離均大于10的區(qū)域飛行時(shí)是安全的，故區(qū)域d為棱長(zhǎng)為10

8、的正方體，P(A).答案：6在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐M- ABCD的體積小于的概率為_解析：設(shè)M到平面ABCD的距離為h，則VM-ABCDS底ABCDh，S底ABCD1，h.只要點(diǎn)M到平面ABCD的距離小于.所有滿足點(diǎn)M到平面ABCD的距離小于的點(diǎn)組成以ABCD為底面，高為h(h)的長(zhǎng)方體，又正方體棱長(zhǎng)為1.使棱錐M-ABCD的體積小于的概率P.答案：利用幾何概型計(jì)算事件概率分以下幾步：(1)判斷是否為幾何概型，此步關(guān)鍵是把事件看成一次試驗(yàn)，然后看試驗(yàn)是否是等可能試驗(yàn)，并且試驗(yàn)次數(shù)是否是無限的. (2)計(jì)算基本事件與事件A所含的基本事件對(duì)

9、應(yīng)的區(qū)域的測(cè)度(長(zhǎng)度、面積或體積)(3)利用概率公式計(jì)算課下能力提升(十七)一、填空題1在區(qū)間1，2上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則x0，1的概率為 _解析：1，2的長(zhǎng)度為3，0，1的長(zhǎng)度為1，所以概率是.答案：2如圖，半徑為10 cm的圓形紙板內(nèi)有一個(gè)相同圓心的半徑為1 cm的小圓現(xiàn)將半徑為1 cm的一枚硬幣拋到此紙板上，使硬幣整體隨機(jī)落在紙板內(nèi)，則硬幣落下后與小圓無公共點(diǎn)的概率為_解析：由題意，硬幣的中心應(yīng)落在距圓心29 cm的圓環(huán)上，圓環(huán)的面積為922277 cm2，故所求概率為.答案：3.如圖所示，邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則

10、陰影區(qū)域的面積為_解析：由幾何概型知，故S陰22.答案：4一只螞蟻在三邊邊長(zhǎng)分別為3，4，5的三角形的邊上爬行，某時(shí)刻該螞蟻距離三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離均超過1的概率為_解析：邊長(zhǎng)為3，4，5三邊構(gòu)成直角三角形，P.答案：5.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，xOT60，以O(shè)為端點(diǎn)任作一射線，則射線落在銳角xOT內(nèi)的概率是_解析：以O(shè)為起點(diǎn)作射線，設(shè)為OA，則射線OA落在任何位置都是等可能的，落在xOT內(nèi)的概率只與xOT的大小有關(guān)，符合幾何概型的條件記“射線OA落在銳角xOT內(nèi)”為事件A，其幾何度量是60，全體基本事件的度量是360，由幾何概型概率計(jì)算公式，可得P(A).答案：二、解答題6點(diǎn)A為周長(zhǎng)等于

11、3的圓周上一個(gè)定點(diǎn)，若在該圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)B，求劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率解：如圖，圓周上使的長(zhǎng)度等于1的點(diǎn)M有兩個(gè)，設(shè)為M1，M2，則過A的圓弧的長(zhǎng)度為2，B點(diǎn)落在優(yōu)弧上就能使劣弧的長(zhǎng)度小于1，所以劣弧的長(zhǎng)度小于1的概率為.7有一個(gè)底面半徑為1，高為2的圓柱，點(diǎn)O為底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，求點(diǎn)P到點(diǎn)O距離大于1的概率解：區(qū)域D的體積V1222，當(dāng)P到點(diǎn)O的距離小于1時(shí)，點(diǎn)P落在以O(shè)為球心，1為半徑的半球內(nèi)，所以滿足P到O距離大于1的點(diǎn)P所在區(qū)域d的體積為V1VV半球2.所求的概率為.8兩人約定在2000到2100之間相見，并且先到者必須等遲到者40分鐘方可離去，如果兩人出發(fā)是各自獨(dú)立的，在2000至2100各時(shí)刻相見的可能性是相等的，求兩人在約定時(shí)間相見的概率解：設(shè)兩人分別于x時(shí)和y時(shí)到達(dá)約見