角平分線與垂直平分線專項(xiàng)講解

1、.專題3：角平分線與垂直平分線一、角平分線1、角平分線的定義：從一個(gè)角的頂點(diǎn)引出一條射線，把這個(gè)角分成兩個(gè)相等的角，這條射線叫做這個(gè)角的角平分線。三角形三個(gè)角平分線的交點(diǎn)叫做內(nèi)心（僅作了解）。 2、角平分線的性質(zhì)1）角平分線上的一點(diǎn)到角的兩邊距離相等。 2）角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。（逆運(yùn)用） 三角形頂點(diǎn)到其內(nèi)角的角平分線交對(duì)邊的點(diǎn)連的一條線段，叫三角形的角平分線。 三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，且內(nèi)心到三條邊的距離相等。 已知：如圖，OP是AOB的平分線，點(diǎn)P在OC上，PDOA，PEOB，垂足分別為D，E求證：PD=PE 證明: 1=2 , OP=O

2、PPDO=PEO=90PDOPEO (AAS)PD=PE (全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等) 結(jié)論：在角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等。 PDOA，PEOB，垂足分別是D，E，PD=PE. 求證：點(diǎn)P在AOB的平分線上證明: 在RtODP和RtOEP中,ODP=OEP=90又OP=OP, PD=PERtOPDRtOPE (HL) 1=2 即點(diǎn)P在AOB的平分線上結(jié)論：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上。3、角平分線做法在角AOB中，畫(huà)角平分線 3.1以點(diǎn)O為圓心，以任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交角AOB兩邊于點(diǎn)M，N 3.2分別以點(diǎn)M，N為圓心，以大于1/2MN的長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)

3、P 3.3作射線OP二、垂直平分線1.定義：經(jīng)過(guò)某一條線段的中點(diǎn)，并且垂直于這條線段的直線，叫做這條線段的垂直平分線（中垂線）。垂直平分線，簡(jiǎn)稱“中垂線”，是初中幾何學(xué)科中占有絕大部分的非常重要的一部分。 1）垂直平分線垂直且平分其所在線段。 2）垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等。 3）三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)，該點(diǎn)叫外心（僅作了解），并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等。2.垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。3.逆運(yùn)用：到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。 注意：要證明一條線為一個(gè)線段的垂直平分線，應(yīng)證明兩個(gè)點(diǎn)到這條線段的距離相等且這兩個(gè)點(diǎn)都在要求證的直線上才可以證明 通常來(lái)說(shuō)，垂直平分線會(huì)與全等三角形來(lái)使用。 可以通過(guò)全等三角形證明。 4.用圓規(guī)作垂直平分線 4.1在線段的中心找到這條線段的中點(diǎn)通過(guò)這個(gè)點(diǎn)做這條線段的垂線段。 4.2分別以線段的兩個(gè)端點(diǎn)為圓心，以大于線段的二分之一長(zhǎng)度為半徑畫(huà)弧線。得到一個(gè)交點(diǎn)。 4.3連接這兩個(gè)交點(diǎn)。 證明垂直平分線的性質(zhì)：已知：MNAB于C，AC=BC，點(diǎn)P在MN上。求證：PA=PB證明：MNAB（已知）PCA=PCB（垂直定義）在PCA和PCB中：AC=CB（已知）PCA=PCB（已證）PC=PC（公共邊）PCAPCB（SAS）PA=PB（全等