選修4-5不等式選講知識點(diǎn)詳解+例題+習(xí)題

1、最新考綱：1.理解絕對值的幾何意義，并了解下列不等式成立的幾何意義及取等號的條件：(1)| a+ b| | a| + |b|(a,b R).| a-b| | a-c| + |c - b|( a,b R).2.會利用絕對值的幾何意義求解以下類型的不等式：| ax+ b| c, |x-c| +1 x-b| . 了解柯西不等式的幾種不同形式，理解它們的幾何意義，并會證明4通過一些簡單問題了解證明不等式的基本方法：比較法、綜合 法、分析法、反證法、放縮法、數(shù)學(xué)歸納法.1 含有絕對值的不等式的解法(1) 1 f(x)| a(a0)? f(x)a或 f(x)v a；(2) | f(x)|0)? -af (

2、x)a；(3) 對形如|x a| +1 x b| w c, | x a| +1 x b|c的不等式，可利用絕對 值不等式的幾何意義求解.2 含有絕對值的不等式的性質(zhì)I a| | b| 0 且|a| | b|.3 基本不等式2 2定理1:設(shè)a, b R,則a + b 2ab.當(dāng)且僅當(dāng)a= b時，等號成立.a + b 定理2：如果a、b為正數(shù)，則 ab,當(dāng)且僅當(dāng)ab時，等號成立.定理3：如果a、b、c為正數(shù)，則a+ b+ c 3 abc,當(dāng)且僅當(dāng)a= b = c時，等號成立.定理4：(一般形式的算術(shù)一幾何平均值不等式)如果ai、an為n個正數(shù)，則ai + a2 + + annaan,當(dāng)且僅當(dāng)ai

3、= & = a時，等號成立.4. 柯西不等式 柯西不等式的代數(shù)形式：設(shè)a,b,c,d為實(shí)數(shù)，則(a(3)柯西不等式的向量形式：設(shè)a , B為平面上的兩個向量，則| a |aB |，當(dāng)且僅當(dāng)這兩個向量同向或反向時等號成立.1.判斷正誤(在括號內(nèi)打“V”或“ X”)(1) 對| a+ b| |a| - |b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時等號成立.()對| a-b| |a| + |b|當(dāng)且僅當(dāng)ab0時等號成立.()(3)| ax+ b| 0)的解等價于c ax+ b c.() 不等式|x 1| + |x+ 2|1, x + y 2,則x0, y0.()答案(1) x V (3) V V (5) V .不等式|2

4、x 1| x1的解集是()A. x|0x2B. x|1x2C. x|0x1D. x|1x3解析解法一：x二1時，滿足不等關(guān)系，排除 C、D B,故選A.解析利用數(shù)軸及不等式的幾何意義可得x到a與到1的距離和小于3,所以a的取值范圍為一2 a 4.2 a( ab)2，當(dāng)且僅當(dāng)bu0(ii = 1i = 1i = 1=1,2，n)或存在一個數(shù) k，使得ai = kbi(i = 1,2，n)時，等號成立.1則 f(x)1 的解集為x|0vx2, 解法二：令f(x)=11 3x, x2.答案A3. 設(shè)| a|1 , | b|2B. | a+ b| +1 a b|2C. | a+ b| +1 a b|

5、= 2D.不能比較大小解析| a+ b| +1 a b| |2 a|2.答案B4. 若 a,b, c (0 , +x)，且 a+ b+ c= 1,則，a+ b+ , c的最大值為()A. 1B.2D. 2解析(.a+ b+ c)2 = (1 x a+ 1x b+ 1x c)2w (1 2+ 12+ 12)( a + b+ c) = 3.1當(dāng)且僅當(dāng)a= b= c = 3時，等號成立.(*Ja+ , b +c) w3.故a+ , b+ c的最大值為，3.故應(yīng)選C.答案C5. 若存在實(shí)數(shù) x使|x a| + |x 1| c(或w c)型不等式，其一般步驟是：(1) 令每個絕對值符號里的代數(shù)式為零，并

6、求出相應(yīng)的根.(2) 把這些根由小到大排序，它們把定義域分為若干個區(qū)間.(3) 在所分區(qū)間上，去掉絕對值符號組成若干個不等式，解這些不等式，求 出它們的解集.(4) 這些不等式解集的并集就是原不等式的解集.解絕對值不等式的關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)娜サ艚^對值符號.(1) (2015 山東卷)不等式|x 1| |x 5|2的解集是()A. ( X，4)B. ( X，1)C. (1,4)D. (1,5)51(2) (2014 湖南卷)若關(guān)于x的不等式|ax 2|3的解集為x x3，貝 U a =.解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：“脫掉”絕對值符號；關(guān)鍵點(diǎn)：利用絕對值的性質(zhì)進(jìn) 行分類討論.解析 當(dāng)x1時，不等式可化為一(x 1)

7、 + (x 5)2，即一42,顯然成立，所以此時不等式的解集為(一X, 1)；當(dāng) K x5時，不等式可化為x 1 + (x 5)2，即2x 62,解得x5時，不等式可化為(x 1) (x 5)2，即42,顯然不成立，所以此 時不等式無解.綜上，不等式的解集為(一x, 4).故選A.(2) v | ax 2|3 , 1ax0時，一-vxv-，與已知條件不符；a a當(dāng)a= 0時，x R,與已知條件不符；5151當(dāng)a0時，vxv，又不等式的解集為 x -x3的解集；(2) 若f(x) |x 4|的解集包含1,2，求a的取值范圍.2x + 5，x2，解當(dāng) a= 3 時，f(x) = 1, 2x3.當(dāng)

8、x3 得一2x + 53，解得 x 1；當(dāng) 2x3 無解；當(dāng) x3 時，由 f (x) 3 得 2x 53，解得 x4；所以f (x) 3的解集為x| x4.(2) f (x) |x + a|.當(dāng) x 1,2時，|x 4| |x 2| |x+ a|? 4 x (2 x) | x + a| ? 2 ax 2 a.由條件得一2 a2，即一3 ac或| x a| + | x b|vc的不等式，利用絕對值的 幾何意義或者畫出左、右兩邊函數(shù)的圖象去解不等式，更為直觀、簡捷，它體現(xiàn) 了數(shù)形結(jié)合思想方法的優(yōu)越性.| x a| +1 x b|的幾何意義是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)與點(diǎn)a和點(diǎn)b的距離之和， 應(yīng)注意x的系數(shù)

9、為1.2 1(1)(2014 重慶卷)若不等式| x 1| + |x + 2| a + qa+ 2對任意實(shí)數(shù)x恒 成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是. 不等式|x + 1| |x 2|k的解集為 R，則實(shí)數(shù) k的取值范 圍是解題指導(dǎo)切入點(diǎn)：絕對值的幾何意義；關(guān)鍵點(diǎn)：把恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題.解析(1) V |x 1| + |x + 2| |( x 1) (x 2)| = 3, a2+ 2a + 2 3,解得士衛(wèi) ak恒成立.v AB= 3,即|x + 1| | x 2| 3.故當(dāng)k 3時，原不等式恒成立.解法二：令 y=|x + 1| | x 2| ,3, xw 1,則 y= 2x 1， 1x2,要

10、使|x + 1| |x 2| k恒成立，從圖象中可以看出，只要kf(x)max，f(x)a恒成立 ? af ( x) min.對點(diǎn)訓(xùn)練(2015 唐山一模)已知函數(shù) f(x) = |2x a| + a，a R, g(x) = |2x 1|.(1) 若當(dāng)g(x) 5時，恒有f(x) 3，求a的取值范圍.解(1) g(x) 5? |2x 1| 5? 52x 15? 2 x3; f(x) 6? |2 x a| 6 a? a 62 x a 6 a? a 3 x 3.依題意有，a 3 2， a |2 x a 2x + 1| + a= | a 1| + a， 當(dāng)且僅當(dāng)(2x a)(2 x 1) 3,得a的

11、取值范圍是2，).考點(diǎn)三不等式的證明與應(yīng)用不等式的證明方法很多，解題時既要充分利用已知條件，又要時刻瞄準(zhǔn)解題 目標(biāo)，既不僅要搞清是什么，還要搞清干什么，只有兼顧條件與結(jié)論，才能找到 正確的解題途徑.應(yīng)用基本不等式時要注意不等式中等號成立的條件.(2015 新課標(biāo)全國卷U )設(shè)a, b, c, d均為正數(shù)，且a+ b= c + d,證明:若 abcd，貝U a+ b c+ d；(2) a+ b c + d是| a b|2ab, b2+ c22bc, c2+ a22ca 得 a2 + b2 + c2ab+ bc + ca.= a+ b + 2 ab, ( c + d)2= c + d + 2 cd

12、,由題設(shè) a+ b= c + d, abcd 得(a+ b)2( c+ d)2.因此 a+ b c + d.(2)若| a b|v| c d|，則(a b) cd.由(1)得.a+ , b c + d.若 a+ b c + d,則(a+ b)2( c + d)2,g卩a+ b + 2 abc+ d + 2 cd.因?yàn)?a+ b= c+ d,所以 abcd.于是(a b) = (a+ b) 4ab(c + d) 4cd = (c d)2.因此 | a b|：-Jc + d是| a b|v| c d| 的充要條件.分析法是證明不等式的重要方法，當(dāng)所證不等式不能使用比較法且與重要不 等式、基本不等式

13、沒有直接聯(lián)系，較難發(fā)現(xiàn)條件和結(jié)論之間的關(guān)系時，可用分析法來尋找證明途徑，使用分析法證明的關(guān)鍵是推理的每一步必須可逆.對點(diǎn)訓(xùn)練(2014 新課標(biāo)全國卷U )設(shè)a、b、c均為正數(shù)，且a+ b+ c = 1.證明：1(1) ab+ bc+ ac 3；由題設(shè)得(a+ b+ c)2= 1, 即卩 a2 + b2 + c2+ 2ab+ 2bc+ 2ca = 1.1 所以 3(ab+ bc+ ca) 2c,bca2 - 2 2a b c故b + c + 石 +(a+ b+ c) 2( a+ b+ c),2 - 2 2陽abc即匸+ 一 + 一a+ b+ c.bca2 2 2abc所以 + + 1.bca方法

14、規(guī)律總結(jié)方法技巧1. 絕對值不等式求解的根本方向是去除絕對值符號.2 絕對值不等式在求與絕對值運(yùn)算有關(guān)的最值問題時需靈活運(yùn)用，同時還 要注意等號成立的條件.3.在證明不等式時，應(yīng)根據(jù)命題提供的信息選擇合適的方法與技巧.如在 使用柯西不等式時，要注意右邊為常數(shù).易錯點(diǎn)睛1. 對含有參數(shù)的不等式求解時，分類要完整.2. 應(yīng)用基本不等式和柯西不等式證明時要注意等號成立的條件.課時跟蹤訓(xùn)練（七十）一、填空題1 .不等式|2x 1|3的解集為.解析|2x 1|3? 32x 13? 1xv2.答案(1,2)2. 若不等式|kx 4| 2的解集為x|1 wxw3，則實(shí)數(shù)k =解析/ | kx 4| 2,：一

15、2 kx 4 2,二 2 kx 6.不等式的解集為x|1 x3，二k = 2.答案23. 不等式|2x + 1| + |x 1|2的解集為.1解析當(dāng)x 時，原不等式等價為(2x + 1) (x 1)2，即3x 3，此時一3xw 2.當(dāng)2x1 時，原不等式等價為(2x + 1) (x 1)2 ,1即x0，此時一2x1時，原不等式等價為(2x + 1) + (x 1)2，即3x2,2 2x3,此時不等式無解，綜上，原不等式的解為-3x| x 1 x| = 1,A 當(dāng) k1 時，不等式 |x 1| +| x| w k 無解，故 k1.答案(%, 1)5. (2015 西安統(tǒng)考)若關(guān)于實(shí)數(shù)x的不等式|

16、x 5| + |x + 3| |( x 5) (x + 3)| = 8,故 aw 8.答案(%, 86. (2015 重慶卷)若函數(shù)f (x) = |x+ 1| + 2|x a|的最小值為5,則實(shí)數(shù)a解析當(dāng)a= 1時，f(x) = 3|x+ 1| 0,不滿足題意；當(dāng)a 1時,f(x)3x 1 + 2a, x w a,=x 1 2a, a 1,3x 1 + 2a, x w 1,當(dāng) a 1 時，f(x) = x + 1 + 2a, 1a,=5,解得 a= 4.答案6或47. 若關(guān)于x的不等式|a| |x + 1| + |x 2|存在實(shí)數(shù)解，貝U實(shí)數(shù)a的取值范圍是.解析 f(x) = |x + 1|

17、 + |x 2| =2x + 1 xw 1,3 1x3.要使 | a| | x + 1| + |x 2| 有解，| a| 3,即 aw 3 或 a 3.答案(%, 3 U 3 ,+*)8 .已知關(guān)于x的不等式| x a| + 1 x0的解集為R,則實(shí)數(shù)a的取值范圍 是.解析 若 x 10,則(x a)2(x 1)2對任意的 x 1 ,+x)恒成立，即(a 1)( a+ 1) 2x0 對任意的 x 1 , +)恒成立，a 10,a12x,a+ 12x,得a1.綜上，a(an+ bn),即 5(m+ n2) 25, m+ n2 5,當(dāng)且僅當(dāng)an = bm時，等號成立. . m+ n2的最小值為，5

18、.答案一 511. 對任意 x ,y R, |x 1| + |x| + | y 1| + | y+ 1| 的最小值為.解析t |x 1| + |x| + |y 1| + |y + 1|二(|1 x| + |x|) + (|1 y| +11 + y|) |(1 x) + x| + 1(1 y) + (1 + y)| = 1 + 2= 3,當(dāng)且僅當(dāng)(1 x) - x 0, (1 y) - (1 + y) 0,即 0w x 1, K ya+，對任意的x R恒成立，則實(shí)數(shù)a的a取值范圍是.4解析只要函數(shù)f(x) = |x + 1| | x 4|的最小值不小于a +-即可.由于a| x+ 1| |x 4

19、| |( x + 1) (x 4)| = 5,所以一5|x + 1| |x 4| a + -即可當(dāng)a0時，將不等式5a+-整理，得a2+ 5a+ 40,無 aa42解；當(dāng)a a+ 整理，得a2+ 5a+ 40,則有a 4或一K a0. a綜上可知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是(一, 4 U 1,0).答案(%， 4 U 1,0)二、解答題13. 已知不等式 2| x 3| + | x 4|2 a.(1) 若a= 1,求不等式的解集；(2) 若已知不等式的解集不是空集，求 a的取值范圍.解 當(dāng)a= 1時，不等式即為2|x 3| + |x 4|4,貝U 3x 102, XV4,：舍去；若 3x4，貝U x

20、22,二 3x4;8若 x 3,貝U 10 3x2,.3x 3.38綜上，不等式的解集為x 3x4,f (x) = x 2, 3x4,10 3x, x 1,1 1 2a1, a2，即a的取值范圍為?,+ .14. (2015 新課標(biāo)全國卷I )已知函數(shù) f(x) = |x + 1| 2|x a| , a0.(1) 當(dāng)a= 1時，求不等式f(x)1的解集；(2) 若f(x)的圖象與x軸圍成的三角形面積大于6,求a的取值范圍.解當(dāng) a= 1 時，f(x)l 化為|x+ 1| 2|x 1| 10.當(dāng)x0,無解；2當(dāng)一1x0,解得3x1時，不等式化為一x + 20,解得Kx1的解集為x 3x2.x 1 2a，x 1， 由題設(shè)可得，f(x) = 3x + 1 2a， K xa.2a 1象與x軸圍成的三角形的三個頂點(diǎn)分別為 A亍，0，B(2a+ 1,0)，C(a，a+2 21)， ABC的面積為 3(a+ 1).由題設(shè)得3( a+ 1)26,故a2.所以a的取值范圍為(2，+*).15. 設(shè)函數(shù) f(x) = |x 1| + |x a|.(1)若a= 1,解不等式f(x) 3;如果？x R, f(x) 2,求a的取值范圍.解當(dāng) a= 1 時，f(x) = |x 1| + |x + 1| ,2x, x 1,f