相交線,垂線(基礎(chǔ))知識(shí)講解

1、.相交線，垂線（基礎(chǔ)）知識(shí)講解撰稿：孫景艷 審稿： 趙煒【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1.了解兩直線相交所成的角的位置和大小關(guān)系，理解鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角概念，掌握對(duì)頂角的性質(zhì)；2.理解垂直作為兩條直線相交的特殊情形，掌握垂直的定義及性質(zhì)；3.理解點(diǎn)到直線的距離的概念，并會(huì)度量點(diǎn)到直線的距離；來(lái)源:4.能依據(jù)對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角及垂直的概念與性質(zhì)，進(jìn)行簡(jiǎn)單的計(jì)算.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1鄰補(bǔ)角：如果兩個(gè)角有一條公共邊，并且它們的另一邊互為反向延長(zhǎng)線，那么具有這種關(guān)系的兩個(gè)角叫做互為鄰補(bǔ)角要點(diǎn)詮釋：(1)鄰補(bǔ)角的定義既包含了位置關(guān)系，又包含了數(shù)量關(guān)系：“鄰”指的是位置相鄰，“補(bǔ)”指

2、的是兩個(gè)角的和為180(2)鄰補(bǔ)角是成對(duì)出現(xiàn)的，而且是“互為”鄰補(bǔ)角(3)互為鄰補(bǔ)角的兩個(gè)角一定互補(bǔ)，但互補(bǔ)的兩個(gè)角不一定互為鄰補(bǔ)角(4)鄰補(bǔ)角滿足的條件：有公共頂點(diǎn)；有一條公共邊，另一邊互為反向延長(zhǎng)線.2. 對(duì)頂角及性質(zhì)： （1）定義：由兩條直線相交構(gòu)成的四個(gè)角中，有公共頂點(diǎn)沒(méi)有公共邊(相對(duì))的兩個(gè)角，互為對(duì)頂角 （2）性質(zhì)：對(duì)頂角相等要點(diǎn)詮釋：(1)由定義可知只有兩條直線相交時(shí)，才能產(chǎn)生對(duì)頂角(2)對(duì)頂角滿足的條件：相等的兩個(gè)角；有公共頂點(diǎn)且一角的兩邊是另一角兩邊的反向延長(zhǎng)線.3. 鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角對(duì)比： 角的名稱特 征性 質(zhì)相 同 點(diǎn)不 同 點(diǎn)對(duì)頂角兩條直線相交形成的角； 有一個(gè)公共頂點(diǎn)；

3、來(lái)源:沒(méi)有公共邊. 對(duì)頂角相等.都是兩條直線相交而成的角；都有一個(gè)公共頂點(diǎn)；都是成對(duì)出現(xiàn)的. 有無(wú)公共邊；兩直線相交時(shí)，對(duì)頂角只有2對(duì)；鄰補(bǔ)角有4對(duì). 鄰補(bǔ)角兩條直線相交而成；有一個(gè)公共頂點(diǎn)；有一條公共邊. 鄰補(bǔ)角互補(bǔ). 【高清課堂：相交線 403101 兩條直線垂直】要點(diǎn)二、垂線1垂線的定義：兩條直線相交所成的四個(gè)角中，有一個(gè)角是直角時(shí)，就說(shuō)這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線，它們的交點(diǎn)叫垂足要點(diǎn)詮釋：(1)記法：直線a與b垂直，記作：； 直線AB和CD垂直于點(diǎn)O，記作：ABCD于點(diǎn)O.(2) 垂直的定義具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以

4、作垂直的性質(zhì)，即有：CDAB2垂線的畫(huà)法：過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知直線的垂線，可通過(guò)直角三角板來(lái)畫(huà)，具體方法是使直角三角板的一條直角邊和已知直線重合，沿直線左右移動(dòng)三角板，使另一條直角邊經(jīng)過(guò)已知點(diǎn)，沿此直角邊畫(huà)直線，則所畫(huà)直線就為已知直線的垂線(如圖所示)要點(diǎn)詮釋： (1)如果過(guò)一點(diǎn)畫(huà)已知射線或線段的垂線時(shí)，指的是它所在直線的垂線，垂足可能在射線的反向延長(zhǎng)線上，也可能在線段的延長(zhǎng)線上(2)過(guò)直線外一點(diǎn)作已知直線的垂線，這點(diǎn)與垂足間的線段為垂線段3垂線的性質(zhì)：（1）在同一平面內(nèi)，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直（2）連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短簡(jiǎn)單說(shuō)成：垂線段最短要點(diǎn)詮釋：（1）性

5、質(zhì)（1）成立的前提是在“同一平面內(nèi)”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”說(shuō)明了垂線的存在性和唯一性（2）性質(zhì)（2）是“連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的所有線段中，垂線段最短”實(shí)際上，連接直線外一點(diǎn)和直線上各點(diǎn)的線段有無(wú)數(shù)條，但只有一條最短，即垂線段最短在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常應(yīng)用其“最短性”解決問(wèn)題4點(diǎn)到直線的距離：定義：直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段的長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離要點(diǎn)詮釋：（1） 點(diǎn)到直線的距離是垂線段的長(zhǎng)度，是一個(gè)數(shù)量，不能說(shuō)垂線段是距離；（2）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，要從已知條件中找出垂線段或畫(huà)出垂線段，然后計(jì)算或度量垂線段的長(zhǎng)度來(lái)源:【典型例題】類

6、型一、鄰補(bǔ)角與對(duì)頂角1如圖所示，M、N是直線AB上兩點(diǎn)，12，問(wèn)1與2，3與4是對(duì)頂角嗎? 1與5，3與6是鄰補(bǔ)角嗎？【答案與解析】解：1和2，3和4都不是對(duì)頂角1與5，3與6也都不是鄰補(bǔ)角【總結(jié)升華】牢記兩條直線相交，才能產(chǎn)生對(duì)頂角或鄰補(bǔ)角舉一反三：【變式】判斷正誤：（1）如果兩個(gè)角有公共頂點(diǎn)且沒(méi)有公共邊，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角. （ ）（2）如果兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角是對(duì)頂角.（ ）(3)有一條公共邊的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角. （ ）(4)如果兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角，那么它們一定互補(bǔ). （ ）(5)有一條公共邊和公共頂點(diǎn)，且互為補(bǔ)角的兩個(gè)角是鄰補(bǔ)角.（ ）【答案】(1) （2） （3） （4） （5），反

7、例：AOC為120，射線OB為AOC的角平分線，AOB與AOC互補(bǔ)，且有邊公共為AO，公共頂點(diǎn)為O，但它們不是鄰補(bǔ)角. 2.如圖所示，直線AB、CD相交于點(diǎn)O，165，求2、3、4的度數(shù)【答案與解析】解： 1是2的鄰補(bǔ)角，165， 218065115又 1和3是對(duì)頂角，2與4是對(duì)頂角 3165， 42115【總結(jié)升華】 (1)兩條直線相交所成的四個(gè)角中，只要已知其中一個(gè)角，就可以求出另外三角；(2)求出2后用 “對(duì)頂角相等”，求3和4舉一反三：【變式】如圖所示，兩直線相交，已知l與2的度數(shù)之比為3:2，求1與2的度數(shù)【答案】解：設(shè)1與2的度數(shù)分別為3x和2x根據(jù)題意，得3x+2x180解這個(gè)方

8、程得x36，所以3x108，2x72答：這兩個(gè)角的度數(shù)分別是108，723. 任意畫(huà)兩條相交的直線，在形成的四個(gè)角中，兩兩相配共能組成幾對(duì)角?各對(duì)角存在怎樣的位置關(guān)系？根據(jù)這種位置關(guān)系將它們分類【答案與解析】解：如圖，任意兩條相交直線，兩兩相配共組成6對(duì)角，在這6對(duì)角中，它們的位置關(guān)系有兩種：有公共頂點(diǎn)，一邊重合，另一邊互為反向延長(zhǎng)線；有公共頂點(diǎn)，角的兩邊互為反向延長(zhǎng)線這6對(duì)角為1與2，1與3，1與4，2與3，2與4，3與4，其中13，24，1+2180，3+4180，1+4180，2+3180在位置上1與3，2與4是對(duì)頂角，1與2，3與4，l與4，2與3是鄰補(bǔ)角【總結(jié)升華】?jī)蓷l相交的直線，兩

9、兩相配共組成6對(duì)角，這6對(duì)角中有：4對(duì)鄰補(bǔ)角，2對(duì)對(duì)頂角類型二、垂線4下列語(yǔ)句中，正確的有 ( ) 一條直線的垂線只有一條；在同一平面內(nèi)，過(guò)直線上一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂直； 兩直線相交，則交點(diǎn)叫垂足； 互相垂直的兩條直線形成的四個(gè)角一定都是直角 A0個(gè) B1個(gè) C2個(gè) D3個(gè)【答案】C【解析】正確的是：【總結(jié)升華】充分理解垂直的定義與性質(zhì).舉一反三：【變式1】直線外有一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到直線的距離是( ).A點(diǎn)P到直線的垂線的長(zhǎng)度.B點(diǎn)P到直線的垂線段.來(lái)源:C點(diǎn)P到直線的垂線段的長(zhǎng)度.D點(diǎn)P到直線的垂線.【答案】C 5. (山東濟(jì)寧)如圖所示，直線AB、

10、CD相交于點(diǎn)O，EOAB于點(diǎn)O，COE55則BOD的度數(shù)為 ( ). A40 B45 C30 D35【答案】D【解析】要求BOD，只要求出其對(duì)頂角AOC的度數(shù)即可為此要尋找AOC與COE的數(shù)量關(guān)系因?yàn)镋OAB，所以AOE90，所以AOCAOECOE905535，所以BODAOC35【總結(jié)升華】圖形的定義既可以作為判定圖形的依據(jù)，也可以作為該圖形具備的性質(zhì).【高清課堂：相交線 403101 經(jīng)典例題3】舉一反三：【變式】如圖, 直線AB和CD交于O點(diǎn), OD平分BOF, OE CD于點(diǎn)O, AOC=40,則EOF=_.【答案】1306. 如圖所示，要把水渠中的水引到水池C，在渠岸AB的什么地方開(kāi)溝，才能使溝最短?畫(huà)出圖來(lái)，并說(shuō)明原因【答案與解析】解：過(guò)點(diǎn)C作CDAB，垂足為D所以在點(diǎn)D沿CD開(kāi)溝，才能使溝最短，原因是從直線外一點(diǎn)到直線上所有各點(diǎn)的連線中，垂線段最短【總結(jié)升華】 “如何開(kāi)溝、使溝最短”，