幾何計數(shù)(一).教師版

1、2.熟記一些計數(shù)公式及其推導方法；3根據(jù)不同題目靈活運用計數(shù)方法進行計數(shù).本講主要介紹了計數(shù)的常用方法枚舉法、標數(shù)法、樹形圖法、插板法、對應法等，并滲透分類計數(shù)和用 容斥原理的計數(shù)思想.知識要點一、幾何計數(shù)在幾何圖形中，有許多有趣的計數(shù)問題，如計算線段的條數(shù)，滿足某種條件的三角形的個數(shù)，若干個圖 分平面所成的區(qū)域數(shù)等等這類問題看起來似乎沒有什么規(guī)律可循，但是通過認真分析，還是可以找到一些 處理方法的常用的方法有枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等.n條直線最多將平面分成1 22 2 3 n (n n 2)個部分；n個圓最多分平面的部分數(shù)為n(n-1)+2 ; n個三角形將平面最多分成23n

2、(n-1)+2部分；n個四邊形將平面最多分成 4n(n-1)+2部分在其它計數(shù)問題中，也經(jīng)常用到枚舉法、加法原理和乘法原理法以及遞推法等解題時需要仔細審題、 綜合所學知識點逐步求解.排列問題不僅與參加排列的事物有關(guān)，而且與各事物所在的先后順序有關(guān)；組合問題與各事物所在的先 后順序無關(guān)，只與這兩個組合中的元素有關(guān).二、幾何計數(shù)分類數(shù)線段：如果一條線段上有n+1個點(包括兩個端點)(或含有n個基本線段”)，那么這n+1個點把這條線段一共分成的線段總數(shù)為n+( n-1)+2+1條數(shù)角：數(shù)角與數(shù)線段相似，線段圖形中的點類似于角圖形中的邊.數(shù)三角形：可用數(shù)線段的方法數(shù)如右圖所示的三角形(對應法)，因為D

3、E上有15條線段，每條線段的兩端點與點A相連，可構(gòu)成一個三角形，共有15個三角形，同樣一邊在 BC上的三角形也有15個，所以圖中共有30個三角形.數(shù)長方形、平行四邊形和正方形：一般的，對于任意長方形(平行四邊形)，若其橫邊上共有 n條線段,縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形(平行四邊形)mn個.例題精講模塊一、簡單的幾何計數(shù)【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】1星【關(guān)鍵詞】迎春杯，六年級，初賽，試題【解析】如圖：6條.專業(yè)文檔【題型】填空【例2】下面的表情圖片中:沒有對稱軸的個數(shù)為()(A) 3(B)4(C) 5【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星(D) 6【題型】選擇【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 1

4、題【解析】 通過觀察可知，第1, 2, 5這三張圖片是有對稱軸的，其他的 稱軸的個數(shù)為5,正確答案是 Co【答案】C5張圖片都沒有對稱軸，所以沒有對【鞏固】中心對稱圖形是：繞某一點旋轉(zhuǎn) 對折后兩部分完全重合的圖形，180后能和原來的圖形重合的圖形，軸對稱圖形是：沿著一條直線 圖的4個圖形中，既是中心對稱圖形又是的軸對稱圖形的有【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第7題【解析】共有3個，除第二個外其余都是?！敬鸢浮?個【例3】兩條直線相交所成的銳角或直角稱為兩條直線的夾角”?，F(xiàn)平面上有若干條直線，它們兩兩相交,并且 夾角”只能是30 60或90問：至多有多少條直線？【考

5、點】簡單的幾何計數(shù)【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第12題【解析】至多有6條直線，如圖：【答案】6條【難度2星【答案】6條 【例4下圖是王超同學為”環(huán)境保護專欄”設(shè)計的一個報頭，用到基本的幾何圖形：線段、三角形、四邊形、圓、弧線，其中用得最多的一種圖形是 【考點簡單的幾何計數(shù)【關(guān)鍵詞希望杯，四年級，二試，第9題解析觀察圖形發(fā)現(xiàn)是：線段最多【答案線段最多【例5】 下面的5工5和6x4圖中共有 個正方形.【解析】在5 5的圖中，邊長為1的正方形52個；邊長為2的正方形42個；邊長為3的正方形32個；邊長2 2 2 2 2為4的正方形2個；邊長為5的正方形有1，總共有 5 4

6、3 2 1 個）正方形.在6 4 的圖中邊長為1的正方形6 4個；邊長為2的正方形5 3個；邊長為3的正方形4 2個；邊長為4的正方形3匯1個；總共有 6漢4十5匯3十4疋2+3x1 =42（個）.【答案】42個 【鞏固】請看下圖，共有多少個正方形?【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】【解析】 假設(shè)最小的正方形邊長為 1，則面積為1的正方形有9個；面積為4的正方形有4個；面積為16的 正方形有1個.因此共有9+4+1=14個.【答案】14個【鞏固】如下圖是一個圍棋盤， 它由橫豎各19條線組成.問：圍棋盤上有多少個右圖中的小正方形一樣的正 方形？【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】

7、3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題，第15題【解析】我們先在右圖小正方形中找一個代表點，例如右下角的點E作為代表點.然后將小正方形按題意放在圍棋盤上，仔細觀察點 E應在什么地方.通過觀察，不難發(fā)現(xiàn)：（1）點E只能在棋盤右下角的正方形 ABCD （包括邊界）的格子點上.（2） 反過來，右下角正方形 ABCD中的每一個格子點都可以作為小正方形的點E,也只能作為-個小正方形的點E.這樣一來，就將小正方形的個數(shù)”化為正方形ABCD中的格子點個數(shù)”了.很容易看出正方形 ABCD 中的格子點為 10X10= 100個.嚴DC右團答：共有100個?！敬鸢浮?00個【例6】 下圖中共有 個正方形.【

8、題型】解答【答案】13個.共27個.27【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】解答【解析】每個4 4正方形中有：邊長為1的正方形有42個；邊長為2的正方形有32個；邊長為3的正方形 有22個；邊長為4的正方形有12個；總共有42，32，22，1230 （個）正方形.現(xiàn)有5個4 4的正方形，它們重疊部分是 4個2沆2的正方形.因此，圖中正方形的個數(shù)是30x5-5匯4=130 .【答案】130【例7】圖中有個正方形.【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星 【解析】5 5的正方形1個；4 4的正方形4個；3 3的正方形5個；2 2的正方形4個；1 1的正方形【鞏固】數(shù)一數(shù)：圖中共有 個正方形。【考點

9、】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級，二試，第10題【解析】 按面積從小到大4+17+9+4+仁35個【答案】35個【鞏固】圖中共有個正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【關(guān)鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第7題 【解析】設(shè)最小正方形的邊長為 1，那么邊長為1的正方形有2個，邊長為2的正方形有6個，邊長為4的正方形有5個，邊長為8的正方形有2個，邊長為12的正方形有1個，邊長為16的正方形有1個，所以 總共有2 6 5 2 1 17 （個）?！敬鸢浮?7個【例8】 下圖中共有 個正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，中年級，初試，

10、 4題【解析】分類計算邊長為1的正方形有12個；長為2的正方形有1個；邊長為3的正方形有4個；邊長為4 的有1個；邊長為1個對角線的有1個；邊長為2個對角線的有1個；所以一共有：12+1+4+1+1+1=20 （個）【答案】20個【鞏固】圖1中共有 個正方形?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，一試，第【解析】5+4+1+5+4+1=20【答案】20個12題【例9】 圖中共有多少個長方形?【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【解析】利用長方形的計數(shù)公式：橫邊上共有【題型】解答n條線段，縱邊上共有m條線段，則圖中共有長方形（平行四邊形)mn 個.所以有(4+3+

11、2+1) X (4+3+2+1 ) =100 . 【答案】100【例10】數(shù)一數(shù)，下邊圖形中有個平行四邊形.【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，四年級，初試， 4題【解析】本題是一道幾何計數(shù)問題，應不漏不重地按規(guī)律去數(shù) ，每相鄰兩個三角形可組成一個平行四邊形，共計6個.【答案】6個【例11】圖5中有個平行四邊形?！绢}型】填空【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】12+8+3=23【答案】23【例12】如右圖中共有7層小三角形，求白色小三角形的個數(shù)與黑色小三角形的個數(shù)之比?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，試題

12、，第10題【解析】白色小三角形個數(shù)=1 + 2 + 6= (1 6)6 = 21,黑色小三角形個數(shù)=1十2 + 7 =2(17)72=28,所以它們的比= 里=3，白色與黑色小三角形個數(shù)之比是-.2844【答案】34【例13】如圖，由小正方形構(gòu)成的長方形網(wǎng)格中共有線段 條?！究键c】簡單的幾何計數(shù)【難度】2 【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，六年級，一試，第8題【解析】 橫的有501+2+3+4+5)=75條，豎的有6*1+2+3+4)=60條，一共135條【答案】135條【例14】圖中線段的條數(shù)比三角形的個數(shù)多【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【關(guān)鍵詞】學而思杯，2年級，第6題【解析】 通過比較發(fā)

13、現(xiàn)，線段的條數(shù)比三角形的個數(shù)多的正好是6條斜邊。【答案】6【關(guān)鍵詞】華杯賽，五年級，決賽，第6題【解析】由1個，2個，3個，4個，6個，8個小三角形組成的三角形分別有：8, 7, 4, 3, 1, 1個，也即一共有 8+7+4+3+2=24 個?！敬鸢浮?4【例16】如圖AB , CD , EF , MN互相平行，則圖中梯形個數(shù)與三角形個數(shù)的差是多少【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】3星 【題型】解答【解析】 圖中共有三角形（1+2+3+4 ） M=40個.梯形（1+2+3+4 ） X（ 2+4） =60 ;所以梯形比三角形多 60-40=20 個.【答案】20個.個；在圖B中，有個；中圖C中,【

14、例17】右邊三個圖中，都有一些三角形，在圖A中，有有個。C【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】圖A 5個； 圖B 8個； 圖C 5個【例18】請看下圖，共有多少個三角形?【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星【題型】填空【解析】獨立的三角形有7個，由4個三角形組成的三角形有 1個，加上最大的三角形，因此共有7+1+1=9個三角形.【答案】9【例19】右圖中共有個三角形.【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】2星 【題型】填空【關(guān)鍵詞】迎春杯，三年級，初賽， 2題【解析】分類枚舉得到：邊長是1個單位長度的有12個三角形;邊長是2個單位長度的有6個三角形邊長是3

15、個單位長度的有2個三角形共有 12 6 2=20 （個）【答案】20個【例20】右圖中三角形共有個.【難度】4星【考點】簡單的幾何計數(shù) 【關(guān)鍵詞】迎春杯，五年級，初賽， 4題 【解析】不可分割的三角形有7個.由2個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 6個. 由3個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 4個. 由5個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 2個. 由7個不可分割的三角形構(gòu)成的三角形有 1個.一共有三角形7 6 4 2 20 個.【答案】20個【鞏固】數(shù)一數(shù)圖中有個三角形.【難度】4星【考點】簡單的幾何計數(shù) 【關(guān)鍵詞】走美杯，3年級，初賽，第14題解析】分類枚舉，只由一個三角形構(gòu)成的有6個，由兩個小

16、三角形組合而成的三角形有3個。由三個小三角形組合而成的三角形有 3個，所以一共有6+3+3=12 （個）?！敬鸢浮?2個【鞏固】數(shù)一數(shù)，圖中有【題型】填空【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】4星【關(guān)鍵詞】希望杯，五年級，二試，第9題【解析】10個【例21】圖中共有個三角形?！敬鸢浮?0個【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】【關(guān)鍵詞】希望杯，4年級，1試【解析】 從圖形所包含的小塊數(shù)的個數(shù)來數(shù)，包含一塊的三角形有10個，包含兩塊的三角形有10個，包含三塊的三角形有 10個，包含五塊三角形有 5個，所以共有35個。【答案】35個【例22】在圖中，一共有 10個三角形，40 條線段.【考點】簡單的幾何計數(shù)【難度】4星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學而思杯，2年級，第3題【解析】一共有10個三角形.五角星的每個角上分別有 1個小三角形，總共有 5個；另外還有5個較大的 三角形，所以共有5+5=10 （個）三角形.一共有40條線段