實(shí)驗(yàn)四 線性系統(tǒng)的根軌跡

1、1 / 8 實(shí)驗(yàn)四實(shí)驗(yàn)四 線性系統(tǒng)的根軌跡線性系統(tǒng)的根軌跡 一、實(shí)驗(yàn)?zāi)康囊?、?shí)驗(yàn)?zāi)康?1. 熟悉 MATLAB 用于控制系統(tǒng)中的一些基本編程語(yǔ)句和格式。 2. 利用 MATLAB 語(yǔ)句繪制系統(tǒng)的根軌跡。 3. 掌握用根軌跡分析系統(tǒng)性能的圖解方法。 4. 掌握系統(tǒng)參數(shù)變化對(duì)特征根位置的影響。 基礎(chǔ)知識(shí)及基礎(chǔ)知識(shí)及 MATLABMATLAB 函數(shù)函數(shù) 根軌跡是指系統(tǒng)的某一參數(shù)從零變到無(wú)窮大時(shí)，特征方程的根在 s 平面上 的變化軌跡。這個(gè)參數(shù)一般選為開環(huán)系統(tǒng)的增益 K。課本中介紹的手工繪制根 軌跡的方法，只能繪制根軌跡草圖。而用 MATLAB 可以方便地繪制精確的根 軌跡圖，并可觀測(cè)參數(shù)變化對(duì)特征根

2、位置的影響。 假設(shè)系統(tǒng)的對(duì)象模型可以表示為 nn nn mm mm asbsas bsbsbsb KsKGsG 1 1 1 1 1 21 0 )()( 系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程可以寫成： 0)(1 0 sKG 對(duì)每一個(gè) K 的取值，我們可以得到一組系統(tǒng)的閉環(huán)極點(diǎn)。如果我們改變 K 的數(shù) 值，則可以得到一系列這樣的極點(diǎn)集合。若將這些 K 的取值下得出的極點(diǎn)位置 按照各個(gè)分支連接起來(lái)，則可以得到一些描述系統(tǒng)閉環(huán)位置的曲線，這些曲線 又稱為系統(tǒng)的根軌跡。 1）繪制系統(tǒng)的根軌跡 rlocus（） MATLAB 中繪制根軌跡的函數(shù)調(diào)用格式為： rlocus(num,den) 開環(huán)增益 k 的范圍自動(dòng)設(shè)定。 r

3、locus(num,den,k) 開環(huán)增益 k 的范圍人工設(shè)定。 rlocus(p,z) 依據(jù)開環(huán)零極點(diǎn)繪制根軌跡。 r=rlocus(num,den) 不作圖，返回閉環(huán)根矩陣。 r,k=rlocus(num,den) 不作圖，返回閉環(huán)根矩陣 r 和對(duì)應(yīng)的開環(huán)增 益向量 k。 其中，num,den 分別為系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的分子、分母多項(xiàng)式系數(shù)，按 s 的降冪排列。K 為根軌跡增益，可設(shè)定增益范圍。 . 2 / 8 例 3-1：已知系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)，繪制系統(tǒng)的 924 ) 1( )( 23 sss s KsG 根軌跡的 MATLAB 的調(diào)用語(yǔ)句如下： num=1 1; %定義分子多項(xiàng)式 den

4、=1 4 2 9; %定義分母多項(xiàng)式 rlocus (num,den) %繪制系統(tǒng)的根軌跡 grid %畫網(wǎng)格標(biāo)度線 xlabel(Real Axis),ylabel(Imaginary Axis) %給坐標(biāo)軸加上說(shuō)明 title(Root Locus) %給圖形加上標(biāo)題名 則該系統(tǒng)的根軌跡如圖 3-1 所示： 若上例要繪制 K 在（1，10）的根軌跡圖，則此時(shí)的 MATLAB 的調(diào)用格式 如下，對(duì)應(yīng)的根軌跡如圖 3-2 所示。 num=1 1; den=1 4 2 9; k=1:0.5:10; rlocus (num,den,k) 2）確定閉環(huán)根位置對(duì)應(yīng)增益值 K 的函數(shù) rlocfind（

5、） 在 MATLAB 中，提供了 rlocfind 函數(shù)獲取與特定的復(fù)根對(duì)應(yīng)的增益 K 的 值。在求出的根軌跡圖上，可確定選定點(diǎn)的增益值 K 和閉環(huán)根 r（向量）的值。 該函數(shù)的調(diào)用格式為：k,r=rlocfind(num,den) 執(zhí)行前，先執(zhí)行繪制根軌跡命令 rlocus（num,den） ，作出根軌跡圖。執(zhí)行 rlocfind 命令時(shí)，出現(xiàn)提示語(yǔ)句“Select a point in the graphics window” ， 即要求在根軌跡圖上選定閉環(huán)極點(diǎn)。將鼠標(biāo)移至根軌跡圖選定的位置，單擊左 鍵確定，根軌跡圖上出現(xiàn)“+”標(biāo)記，即得到該點(diǎn)的增益 K 和閉環(huán)根 r 的返回變 圖 3-1

6、 系統(tǒng)的完整根軌跡圖形圖 3-2 特定增益范圍內(nèi)的根軌跡圖形 . 3 / 8 量值。 例 3-2：系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為，試求：（1） 2538 65 )( 23 2 sss ss KsG 系統(tǒng)的根軌跡；（2）系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 的范圍；（3）K=1 時(shí)閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲 線。則此時(shí)的 MATLAB 的調(diào)用格式為： G=tf(1,5,6,1,8,3,25); rlocus (G); %繪制系統(tǒng)的根軌跡 k,r=rlocfind(G) %確定臨界穩(wěn)定時(shí)的增益值 k 和對(duì)應(yīng) 的極點(diǎn) r G_c=feedback(G,1); %形成單位負(fù)反饋閉環(huán)系統(tǒng) step(G_c) %繪制閉環(huán)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)曲線 則系

7、統(tǒng)的根軌跡圖和閉環(huán)系統(tǒng)階躍響應(yīng)曲線如圖 3-2 所示。 其中，調(diào)用 rlocfind（）函數(shù)，求出系統(tǒng)與虛軸交點(diǎn)的 K 值，可得與虛軸 交點(diǎn)的 K 值為 0.0264，故系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 的范圍為。),0264 . 0 (K 二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容二、實(shí)驗(yàn)內(nèi)容 請(qǐng)繪制下面系統(tǒng)的根軌跡曲線 )136)(22( )( 22 sssss K sG )10)(10012)(1( )12( )( 2 ssss sK sG ) 11 . 0012 . 0 )(10714 . 0 ( ) 105 . 0 ( )( 2 ssss sK sG （a）根軌跡圖形 （b）K=1 時(shí)的階躍響應(yīng)曲線 圖 3-2 系統(tǒng)的根軌跡和階躍

8、響應(yīng)曲線 . 4 / 8 同時(shí)得出在單位階躍負(fù)反饋下使得閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 值的范圍。 1.11.1，程序代碼，程序代碼 num=0,0,0,0,0,1; %定義分子多項(xiàng)式 den=1,8,27,38,26,0; %定義分母多項(xiàng) rlocus(num,den); %繪制系統(tǒng)的根軌跡 grid %畫網(wǎng)格標(biāo)度線 k,r=rlocfind(num,den) xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis) title(Root Locus); 1 12 2，截屏圖，截屏圖 k = 0.6981 r =-2.9946 + 2.0027i;-2.9946 - 2.0027

9、i; -0.9914 + 0.9696i; -0.9914 - 0.9696i; - 0.0280 k =0.8946 . 5 / 8 r = -2.9931 + 2.0035i;-2.9931 - 2.0035i; -0.9887 + 0.9607i;-0.9887 - 0.9607i;- 0.0363 k = 31.4829 r =-2.8088 + 2.1856i;-2.8088 - 2.1856i ;-2.4150 ; 0.0163 + 1.0144i; 0.0163 - 1.0144i k =40.4848 r =-2.7794 + 2.2469i； -2.7794 - 2.2469

10、i； -2.6459 ； 0.1024 + 1.0897i；0.1024 - 1.0897i 1.31.3，分析可知，分析可知 k k 的范圍是的范圍是(0.698140.4848)(0.698140.4848) 2.12.1，程序代碼，程序代碼 num=0,0,0,1,12; %定義分子多項(xiàng)式 den=1,23,121,1220,1000; %定義分母多項(xiàng) rlocus(num,den); grid %繪制系統(tǒng)的根軌跡 k,r=rlocfind(num,den) xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis); title(Root Locus) ; 2 2

11、2 2，截屏圖，截屏圖 . 6 / 8 k =18.4941 r = -19.8919 -1.0151 + 7.4803i-1.0151-7.4803i-1.0780 k =110.5021 r =-19.9853 -0.5160 + 7.6445i-0.5160 - 7.6445i -1.9826 k =194.8401 r =-20.0707 -0.1144 + 7.8470i-0.1144 - 7.8470i-2.7005 k =273.5006 r =-20.1500 0.2109 + 8.0566i0.2109 - 8.0566i-3.2717 2.32.3，分析可知：，分析可知：k

12、 k 的范圍是的范圍是(18.4941273.5006)(18.4941273.5006) 3.13.1，程序代碼，程序代碼 num=0,0,0,0.05,1; %定義分子多項(xiàng)式 den=0.0008568,0.01914,0.1714,1,0; %定義分母多項(xiàng) rlocus(num,den); grid %繪制系統(tǒng)的根軌跡 k,r=rlocfind(num,den) . 7 / 8 xlabel(Real Axis);ylabel(Imaginary Axis); title(Root Locus) ; 3 32 2，截屏圖，截屏圖 k =0.5225 r =-13.9230 -3.9290

13、 + 7.9404i-3.9290 - 7.9404i-0.5580 k =3.3944 r =-13.3489 -2.0233 + 7.4794i-2.0233 - 7.4794i-4.9434 k =7.6385 r =-0.0916+8.4713i-0.0916-8.4713i -11.0779 + 1.2238i-11.0779 - 1.2238i k =8.4866 r = -11.3214+1.8886i-11.3214-1.8886i0.1519+8.6696i0.1519-8.6696i 3.33.3，分析可知：，分析可知：k k 的范圍是的范圍是(0.5225,8.4866)(0.5225,8.4866) 三，實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)：三，實(shí)驗(yàn)體會(huì)與總結(jié)： 通過自動(dòng)控制原理實(shí)驗(yàn)的學(xué)習(xí)與調(diào)試，使我學(xué)習(xí)和了解了許多知識(shí)。 . 8 / 8 首先是對(duì)關(guān)自動(dòng)控制原理相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)有了更深刻的理解，原本課本上不 是很懂得知識(shí)點(diǎn)許多都得到了相應(yīng)的解答；其次是對(duì)這門課有了新的認(rèn)識(shí) 和理解，原本不知道學(xué)習(xí)這門課有什么作用，覺得無(wú)聊，不過現(xiàn)在才發(fā)現(xiàn)， 學(xué)習(xí)、掌握好這門課不僅可以使我們隊(duì)信號(hào)處理的過程與原理有了根本的 理解和應(yīng)用，而且可以方便的利用相關(guān)知識(shí)去理解和解答相關(guān)疑難問題； 更重要的事學(xué)習(xí)和掌握了許多相關(guān) matlab 軟件的應(yīng)用方法和知識(shí)，在