數(shù)值分析綜述報(bào)告

1、.淮 陰 工 學(xué) 院數(shù)值分析考試基于Matlab的方法綜合應(yīng)用報(bào)告班 級(jí)： 金融1121 姓 名： 姚婷婷 學(xué) 號(hào)： 1124104129 成 績(jī)： 數(shù) 理 學(xué) 院 2014年6月7日數(shù)值分析課程綜述報(bào)告前言：數(shù)值分析也稱(chēng)計(jì)算方法，它與計(jì)算工具的發(fā)展密切相關(guān)。數(shù)值分析是一門(mén)為科學(xué)計(jì)算提供必需的理論基礎(chǔ)和有效、實(shí)用方法的數(shù)學(xué)課程，它的任務(wù)是研究求解各類(lèi)數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)值方法和有關(guān)的理論。 正文：第一章 近似計(jì)算與誤差分析1、產(chǎn)生誤差的原因：模型誤差；觀測(cè)誤差；截?cái)嗾`差；舍入誤差。2、四則運(yùn)算的誤差：加減法運(yùn)算乘法運(yùn)算 除法運(yùn)算：3、科學(xué)表示法、有效數(shù)字、近似值的精度任何一個(gè)實(shí)數(shù)都可以表示成如下的形式

2、： 其中：是正整數(shù)，是整數(shù)，如果是數(shù)的近似值 并且 則稱(chēng)該近似值具有位有效數(shù)字（significant digit）。此時(shí)，該近似值的相對(duì)誤差為 另一方面，若已知 那么，即：至少有位有效數(shù)字。例：取其近似值如下：x*=3.14x* =3.14159x*=3.1415x*=3.141第二章 線性方程組在科學(xué)計(jì)算中，問(wèn)題的本身就是求解線性方程組，許多問(wèn)題的求解需要最后也歸結(jié)為線性方程組的求解，所以線性方程組的求解是科學(xué)計(jì)算中最常見(jiàn)的問(wèn)題。對(duì)于線性方程組的求解一般有兩種方法：（1) 直接法：高斯消去法；（2) 間接法：各種迭代法。(1) 高斯消去法：求解思路：先消元，即按一定的規(guī)律逐步消去未知量，將

3、方程組化為等價(jià)的上（或下）三角形方程組；然后進(jìn)行回代，即由上三角形方程組逐個(gè)求出；高斯（列、全）主元素消去法,及在消元的每一步選?。校┲髟亓兄薪^對(duì)值最大的元取做主元素，計(jì)算步驟：消元過(guò)程：按列選主元、行交換、消元計(jì)算；回代過(guò)程；高斯列主元素消去法的MATLAB 實(shí)現(xiàn)：。第三章 解線性方程組的迭代法通常逆矩陣不易求得，特別是對(duì)于大型的線性方程組，需要用迭代法求解。用迭代法求解線性方程組，要把線性方程組寫(xiě)成等價(jià)的形式，右邊寫(xiě)為迭代格式，如：2、關(guān)于迭代法收斂性的兩個(gè)重要結(jié)論：充分必要條件是：矩陣的譜半徑；充分條件是：矩陣的某個(gè)算子范數(shù)。3、線性方程組的迭代法主要有Jacobian迭代法，Gau

4、ss-Seidel迭代法。Jacobian 迭代法: Gauss-Seidel 迭代法: (3.7)Jacobian 迭代法與G-S迭代法比較： （3.8）式（3.7）和 (3.8) 表明：Gauss-Seidel 迭代法在計(jì)算第次迭代的第個(gè)分量時(shí)，及時(shí)地利用了在此步迭代中得到的新的迭代值：，由于第步的迭代值通常比第步的迭代值更接近方程組的精確解，所以，在Jacobian迭代法和GS迭代法都收斂的情況下，Gauss-Seidel迭代法的收斂速度比Jacobian迭代法的收斂速度高。例題：用MATLAB函數(shù)normrdn生成5階矩陣和向量分別構(gòu)造線性方程組的Jacobi迭代格式和G-S迭代格式，

5、并判斷收斂性。Jacobian迭代法和GS迭代法程序如下：clc;clear all;%1、生成M和bM=normrnd(1,2,5)b=normrnd(1,2,5,1)%Jacobian迭代法M1=D(L+U)f1=Dbrho=max(abs(eig(M1);R=1e-08; %設(shè)定的一個(gè)收斂標(biāo)準(zhǔn)switch sign(1-rho) case -1 disp(the Jocobian method is not applicable) otherwise x(:,1)=normrnd(0,9,5,1); k=1 while k=R k=k+1; else X=x(:,k+1); disp(J

6、acobian迭代法迭代次數(shù)為：) IterN=k %Jacobian迭代法迭代次數(shù) break end endend%Causs-Seidel迭代法 M2=(D-L)Uf2=(D-L)brho=max(abs(eig(M2);R=1e-08;switch sign(1-rho) case -1 disp(the auss-seidel method is not applicable) otherwise x(:,1)=normrnd(0,9,5,1); k=1 while k=R k=k+1; else X=x(:,k+1) disp(Causs-Seidel迭代法迭代次數(shù)為：) Iter

7、N=k break end endend第四章 非線性代數(shù)方程（組）的數(shù)值解法：一、二分法：首先要確定適當(dāng)?shù)陌膮^(qū)間，這可以依據(jù)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的介值定理來(lái)確定，例如該方程：對(duì)于該方程所以該方程至少有一個(gè)實(shí)根位于區(qū)間，圖像表明該區(qū)間中只含有一個(gè)實(shí)根；用表示方程在區(qū)間上的精確解，對(duì)于給定的精度要求，取區(qū)間的中點(diǎn)，并按下式進(jìn)行判斷： （1）以為例， 如果,沒(méi)有達(dá)到精度要求，令，并重復(fù)（1）的迭代過(guò)程；如果，那么，必有，因?yàn)?。即區(qū)間內(nèi)的任何一點(diǎn)都可以作為方程的近根，特別地，可取做為近似解。二、牛頓迭代法：任取初始值上過(guò)點(diǎn)（）的切線方程為：與軸交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的切線方程為與軸交于點(diǎn)， ， ，如此下去得

8、牛頓迭代公式：例題：考慮如下三階非線性方程組： 其中 取適當(dāng)?shù)牡踔?，用Newton迭代法求方程組的數(shù)值解程序：%Newton迭代法求解x=sym(x,clear);y=sym(y,clear);syms z; F=x2+y2+a2*z2/2-a2; x+y-a; (2*x-a)2+(2*y-a)2+a2*(z-b)/4; Fx=diff(F,x,1);Fy=diff(F,y,1);Fz=diff(F,z,1); DF=Fx Fy Fz; F=(x,y,z)x2+y2+a2*z2/2-a2;x+y-a; (2*x-a)2+(2*y-a)2+a2*(z-b)/4; %Newton迭代法求解過(guò)程

9、Fr=10-10; Er=10-10; x0=-a/4;-a;-a/2; x0=-a/4;-a;a/2;k=1; X(:,1)=x0;while norm(F(X(1,k),X(2,k),X(3,k)-0;0;0,2)=Fr tic; f(:,k)=F(X(1,k),X(2,k),X(3,k); J=subs(DF,x,X(1,k); J=subs(J,y,X(2,k);J=subs(J,z,X(3,k); X(:,k+1)=X(:,k)-Jf(:,k); t(k)=toc; if norm(X(:,k+1)-X(:,k),2)Er break end k=k+1;enddisp(Newton

10、迭代法結(jié)果為：);disp(X(:,end);運(yùn)行結(jié)果：Newton迭代法結(jié)果為： 3.4291 0.46580.6535 第五章 插值一、插值：插值是離散函數(shù)逼近的重要方法，利用它可通過(guò)函數(shù)在有限個(gè)點(diǎn)處的取值狀況，估算出函數(shù)在其他點(diǎn)處的近似值。二、常用差值法：拉格朗日（Lagrange）插值法、牛頓（Newton）插值法1、拉格朗日（Lagrange）插值法：拉格朗日插值多項(xiàng)式簡(jiǎn)單的證明因?yàn)槔窭嗜詹逯刀囗?xiàng)式的基函數(shù)有如下的性質(zhì)： 所以拉格朗日插值多項(xiàng)式 滿足插值的條件。插值多項(xiàng)式拉格朗日插值法的不足在實(shí)際問(wèn)題中，觀測(cè)的數(shù)據(jù)可能會(huì)不斷增加，如果用拉格朗日插值公式構(gòu)造插值多項(xiàng)式，那么，每當(dāng)增加

11、數(shù)據(jù)就要重新計(jì)算多項(xiàng)式的系數(shù)，由此增加許多不必要的計(jì)算工作量。2、（三次）樣條（Spline）插值插值條件要求 要求所求的插值多項(xiàng)式（三次樣條函數(shù)） 在每個(gè)區(qū)間，是次數(shù)不超過(guò)三次的多項(xiàng)式；，； 在區(qū)間.上具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。例題：在夏季，較大湖泊的水體按深度被躍變層分為上部的變溫層和下部的均溫層。水體的分層化對(duì)環(huán)境工程中污染問(wèn)題的研究具有重要的意義，例如，有機(jī)物的分解將導(dǎo)致被躍變層隔離的底部水體中氧急劇減少。按溫度隨水深的變化曲線，躍變層位于水深處： 現(xiàn)有美國(guó)普拉特湖（Platte Lake） 的一組數(shù)據(jù)：深度(): 02.34.99.113.718.322.927.2溫度(): 22.822.

12、822.820.613.911.711.111.11. 試?yán)肔agrange差值方法求溫度隨水深（近似）變化函數(shù)表達(dá)式；2. 試?yán)萌螛訔l差值方法（應(yīng)用Matlab函數(shù)csape）求溫度隨水深（近似）變化函數(shù)表達(dá)式；3. 畫(huà)出插值函數(shù)和曲線，并與原始插值數(shù)據(jù)圖像作比較程序代碼：函數(shù)文件程序：function Ln = my_Fun(x, XI, YI)if isa(x, sym) = 1; n = length(XI) - 1; Ln = 0; Pn = sym(ones(n + 1, 1); for k = 1 : n + 1 for i = 1 : n + 1 if i = k Pn(

13、k) = Pn(k)*(x - XI(i)/(XI(k) - XI(i); else Pn(k) = Pn(k); end end Ln = Ln + Pn(k)*YI(k); endelse n = length(XI) - 1; L = ones(n + 1, length(x); Ln = zeros(size(x); for k = 1 : n + 1 for i = 1 : n + 1 if i = k L(k,:) = L(k,:).*(x - XI(i)./(XI(k) - XI(i); else L(k,:) = L(k,:); end end Ln = Ln + L(k, :

14、).*YI(k); endEnd主文件程序：clc;clear all;close all;%問(wèn)題1.用Lagrange差值方法求溫度隨水深（近似）變化圖像t = sym(t, real);x=0 2.3 4.9 9.1 13.7 18.3 22.9 27.2;T=22.8 22.8 22.8 20.6 13.9 11.7 11.1 11.1;X=linspace(0,27.2,275);Ln=my_Fun(X,x,T);figure(1)plot(x,T,r*,markersize,15) xlabel(深度x);ylabel(溫度T);title(原始的散點(diǎn)圖);pause(3)hold

15、on plot(X,Ln,b-,linewidth,3);xlabel(深度x);ylabel(溫度T);title(Lagrange差值圖);%求出溫度隨水深（近似）變化函數(shù)表達(dá)式I_poly = my_Fun(t, x, T);I_poly = simple(I_poly)I_poly = sym2poly(I_poly) %2.用三次樣條差值方法求溫度隨水深（近似）變化函數(shù) 表達(dá)式figure(2)hold on y=interp1(x,T,X,spline);plot(X,y,b-,linewidth,3); %用三次樣條插值方法畫(huà)出圖像xlabel(深度x);ylabel(溫度T);

16、title(三次樣條法差值圖); PP=csape(x,T,2,2,0,0); Coefs = PP.coefs %3.兩種差值函數(shù)圖象比較figure(3)plot(X,Ln,-,color,1, 0, 0,LineWidth, 3)xlabel(深度x);ylabel(溫度T);title(Lagrange差值圖);hold on pause(3)fnplt(PP,b,3,0,28) %函數(shù)作圖xlabel(深度x);ylabel(溫度T);title(三次樣條法差值圖);pause(3)plot(x,T,-,linewidth,3,markersize,10)運(yùn)行結(jié)果:I_poly =(

17、1145000*t7 - 9426925174224450000*t6 + 298587739430003070000*t5 - 4337257490*t4 + 285404829250*t3 - 828595869805*t2 + 84778227428*t + 5126576329328)/224849838992170343605760I_poly = Columns 1 through 6 0.0000 -0.0000 0.0013 -0.0193 0.1268 -0.3685 Columns 7 through 8 0.3770 22.8000Coefs = 0.0022 -0.00

18、00 -0.0115 22.8000 -0.0092 0.0150 0.0230 22.8000 -0.0114 -0.0565 -0.0850 22.8000 0.0297 -0.2004 -1.1640 20.6000 -0.0153 0.2099 -1.1200 13.9000 0.0017 -0.0014 -0.1605 11.7000 -0.0017 0.0223 -0.0640 11.1000 圖示如下： 第六章 最小二乘擬合與最佳逼近一、最小二乘擬合加權(quán)最小二乘法逼近準(zhǔn)則：最小二乘逼近多項(xiàng)式必須滿足如下必要條件： 即滿足法方程組: 例題：下面是一處地質(zhì)巖層斷面高程（深度）的測(cè)量數(shù)

19、據(jù)。水平距離():00.201.002.103.505.006.807.509.0011.212.0高度():h 1.641.581.681.841.580.860.390.310.390.770.86試?yán)米钚《朔ㄇ鬂M足 即誤差不超過(guò)的最低次數(shù)的擬合多項(xiàng)式,寫(xiě)出該多項(xiàng)式的表達(dá)式;畫(huà)出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖和該多項(xiàng)式曲線.程序：clc;clear all;close all;x=linspace(0,12,12);x=0 200 1000 2100 3500 5000 6800 7500 9000 11200 12000;h=1.64 1.58 1.68 1.84 1.58 0.86 0.39 0.31

20、 0.39 0.77 0.86;plot(x,h,*,markersize,8) %畫(huà)出給出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖xlabel(水平距離x);ylabel(高度h);title(巖層斷面水平距離x和高度h的散點(diǎn)圖);figure(1) %1.最小二乘法擬合 n=3;P, S = polyfit(x, h, n)Pm = polyval(P, x)R = sqrt(sum(h - Pm).2) %誤差 t = linspace(x(1), x(end), 12);Poly = polyval(P, t);figure(2)plot(x, h, ro, t, Poly, LineWidth, 3, mark

21、ersize, 8)set(gca,FontSize,18)legend(The Data, The Fitting Curve, 1)title(Curve Fitting by Least Square Approximation, fontsize, 18)第七章 微積分的數(shù)值方法一、數(shù)值微分如果給定函數(shù) 的關(guān)系式比較復(fù)雜或者 未知，而僅僅知道在個(gè)相異點(diǎn)，處的函數(shù)值，那么，我們可以利用函數(shù)的插值多項(xiàng)式的導(dǎo)數(shù)作為函數(shù)導(dǎo)數(shù)的近似值 因而有 這里需要說(shuō)明一點(diǎn)的是，盡管和的函數(shù)值可能相差不多，但是它們的導(dǎo)數(shù)有可能相差很大。二、數(shù)值積分?jǐn)?shù)值積分方法最大的優(yōu)點(diǎn)是將復(fù)雜的函數(shù)積分轉(zhuǎn)化為相對(duì)簡(jiǎn)單的加、減

22、、乘、除運(yùn)算。對(duì)于給定的函數(shù)，如果 的函數(shù)關(guān)系式比較復(fù)雜或.未知，而僅僅知道該函數(shù)在個(gè)點(diǎn)處的函數(shù)值，那么可以利用函數(shù)的插值多項(xiàng)式的積分作為函數(shù)在上的定積分的近似值。1、Newton-Cotes求積公式根據(jù)Lagrange插值多項(xiàng)式有 令 得Newton-Cotes求積公式特別地，當(dāng)取插值節(jié)點(diǎn)為時(shí)有兩點(diǎn)公式（梯形公式）： 三點(diǎn)公式（Simpson公式）： 例題：下面是一處地質(zhì)巖層斷面上部邊緣的深度測(cè)量數(shù)據(jù)。水平距離():00.201.002.103.505.006.807.509.0011.212.0深度(): 1.641.581.681.841.580.860.390.310.390.770.

23、86表1試?yán)脧?fù)化的梯形求積法求該組數(shù)據(jù)所在曲線與基準(zhǔn)線（軸）在范圍內(nèi)所圍成圖形面積.畫(huà)出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖和圖形的示意圖.試?yán)脧?fù)化的Simpson求積法求該組數(shù)據(jù)所在曲線與基準(zhǔn)線（軸）在范圍內(nèi)所圍成圖形面積.畫(huà)出數(shù)據(jù)散點(diǎn)圖和圖形的示意圖.解答如下：程序：% 題目給出的數(shù)據(jù)XI = 0 0.20 1.00 2.10 3.50 5.00 6.80 7.50 9.00 11.2 12.00;YI = -1.64 1.58 1.68 1.84 1.58 0.86 0.39 0.31 0.39 0.77 0.86;n = length(XI) - 1; %此時(shí)n=10M = 60;x = linspace(

24、XI(1), XI(end), M +1); %設(shè)置線性空間% 問(wèn)題1.1 T1 = 0; %初值%將圖像分成若干個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)區(qū)間內(nèi)，求小梯形的面積，并累加起來(lái)，就是題目所要求的面積for k = 2 : n + 1 T1 = T1 + (YI(k) + YI(k-1)*(XI(k) - XI(k-1)/2;enddisp(復(fù)化的梯形求積法求得的圖形面積：)T_Trape = T1 %累加后的圖形面積figure(1) %畫(huà)出函數(shù)圖像set(gca,FontSize, 20)patch(XI(1), XI, XI(end), 0, YI, 0, 0.5 1 0.5) %顏色的填充hold

25、onplot(XI, YI, o-, XI, 0*XI, k, LineWidth, 3, markersize, 8)title(復(fù)化的梯形求積法求圍成圖形面積)xlabel(水平距離x)ylabel(深度y)運(yùn)行結(jié)果：復(fù)化的梯形求積法求得的圖形面積：T_Trape = -11.6090圖像：程序：函數(shù)M文件：function Ln = Lagrange_Fun_01(x, XI, YI)if isa(x, sym) = 1; n = length(XI) - 1; Ln = 0; Pn = sym(ones(n + 1, 1); for k = 1 : n + 1 for i = 1 :

26、n + 1 if i = k Pn(k) = Pn(k)*(x - XI(i)/(XI(k) - XI(i); else Pn(k) = Pn(k); end end Ln = Ln + Pn(k)*YI(k); endelse n = length(XI) - 1; L = ones(n + 1, length(x); Ln = zeros(size(x); for k = 1 : n + 1 for i = 1 : n + 1 if i = k L(k,:) = L(k,:).*(x - XI(i)./(XI(k) - XI(i); else L(k,:) = L(k,:); end en

27、d Ln = Ln + L(k, :).*YI(k); endend主程序：% 問(wèn)題1.2 和 1.3%問(wèn)題3是問(wèn)題2的延伸S2 = 0;%Simpson復(fù)化求積法，應(yīng)用同樣的面積累加，得到最終的圖形面積for k = 1: 2: n - 1 S2 = S2 + (XI(k+2) - XI(k)*(YI(k) + 4*YI(k+1) + YI(k+2)/6; X(k, :) = linspace(XI(k), XI(k+2), 20); Y(k, :) = Lagrange_Fun_01(X(k,:), XI(k : k+2), YI(k : k+2);enddisp(Simpson復(fù)化求積法

28、求得的圖形面積：)S_Simpson = S2 %Simpson復(fù)化求積法求得的面積figure(2)set(gca,FontSize, 20)hold onfor k = 1: 2 : n-1 patch(XI(k), X(k,:), XI(k +2), 0, Y(k, :), 0, 0.5 1 0.5) plot(X(k, :), Y(k, :), LineWidth, 3)endplot(XI, YI, o, XI, 0*XI, k, LineWidth, 3, markersize, 8)title(復(fù)化的Simpson求積法求圍成圖形面積)xlabel(水平距離x)ylabel(深度

29、y)運(yùn)行結(jié)果：Simpson復(fù)化求積法求得的圖形面積：S_Simpson = -11.9128圖像：第八章 微分方程（組）初值問(wèn)題數(shù)值方法引言：微分方程（組）是科學(xué)研究和工程應(yīng)用中最常用的數(shù)學(xué)模型之一。但是基絕大多數(shù)的常微分方程和常微分方程組得不到解析解和實(shí)際應(yīng)用中往往只需要知道常微分方程（組）的解在某些點(diǎn)處的函數(shù)值這兩點(diǎn)原因，絕大多數(shù)在實(shí)際中遇到的常微分方程和常微分方程組得不到“解析解”，我們可以采用下面將介紹的常微分方程（組）的初值問(wèn)題的數(shù)值解法，就可以達(dá)到這一目的。一、 Euler 方法最簡(jiǎn)單的數(shù)值解法1、Euler 法假設(shè)要求在點(diǎn),， 處初值問(wèn)題（4）的解的近似值。首先對(duì)式（4）的兩端

30、積分，得 對(duì)于該式的右邊，如果被積函數(shù)用積分下限處的函數(shù)值代替被積函數(shù)作積分，則有進(jìn)而得到下式給出的遞推算法Euler 方法2、Euler 方法的改進(jìn)改進(jìn)的Euler 方法Euler 方法的精度高，其原因在于：在推導(dǎo)Euler 方法時(shí)，我們是用待求解函數(shù)在一點(diǎn)處的變化率 （1）代替在區(qū)間上的平均變化率；而在推導(dǎo)改進(jìn)的Euler 方法時(shí)，我們是用待求解函數(shù)在兩點(diǎn)處變化率的平均值（2）代替在區(qū)間上的平均變化率；顯然，通常式（2）比式（1）更接近于在區(qū)間上的平均變化率。由此，人們受到啟發(fā)：適當(dāng)?shù)剡x取區(qū)間上函數(shù)多個(gè)點(diǎn)處的變化率，用它們加權(quán)平均值代替在區(qū)間上的平均變化率，近似解的精度應(yīng)更高。二、 RungeKutta法：二階的RungeKutta法三階的RungeKutta法四階的RungeKutta法RungeKutta法是按選取區(qū)間上函數(shù)變化率數(shù)目的多少和截?cái)嗾`差的階數(shù)來(lái)區(qū)分的一系列方法。例題：給定如下常微分方程Cauchy 問(wèn)題： 分別取參數(shù)，初值和步長(zhǎng)： ，。 取，在區(qū)間上分別利用Euler 法，4階R-K公式和matlab的ode45求問(wèn)題（1）的數(shù)值解；程序：clcclear alla=1;b=1;F = (t, y) -a*y-t2*exp(-0.5*t)*sin(t)+b;%歐拉法、matlab的ode45方法求解及畫(huà)圖