高中數(shù)學(xué)矩陣與變換

1、高中數(shù)學(xué)矩陣與變換篇一：高中數(shù)學(xué)：變換與矩陣、極限試題與全解 2013高考試題解析分類匯編（理數(shù)）19：變換與矩陣、極限 一、選擇題 錯誤！未指定書簽。 （2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）展開式為ad-bc的行列式 是 （ ） abA dc B a B c C adb c D bad c bd 錯誤！未指定書簽。 在數(shù)列an中，an ?2n?1，若一個7行12列的矩陣的第i行第j j? (D)63 ）則該矩陣元素能取到的不同 列的元素ai,j?ai?aj?ai?aj，（i?,2,1;7,2,12,數(shù)值的個數(shù)為（ ） (A)18 (B)28 (C)48 ai,j?ai?aj?ai?a

2、j?2i?j?1，而i?j?2,3, 二、填空題 ,19，故不同數(shù)值個數(shù)為18個，選A 錯誤！未指定書簽。 （2013年高考上海卷（理）若 x2?1 y21 ? xx y?y ,則x?y?_ x?y?0. x2?y2?2xy?x?y?0 錯誤！未指定書簽。 （2013年高考上海卷（理）計算：lim n?20 ?_ n?3n?13 根據(jù)極限運算法則，lim n?201 ? n?3n?133 三、解答題（每題10分，共30分） 錯誤！未指定書簽。 （2013年普通高等學(xué)校招生統(tǒng)一考試福建數(shù)學(xué)（理）試題（純WORD版） 矩陣與變換 已知直線l:ax?y?1在矩陣A?()求實數(shù)a,b的值; ?12?

3、對應(yīng)的變換作用下變?yōu)橹本€l:x?by?1. ?01? ?x0?x0? ()若點p(x0,y0)在直線上,且A?,求點p的坐標(biāo). ?y0?y0? 解:()設(shè)直線l:ax?y?1上任意一點M(x,y)在矩陣A對應(yīng)的變換作用下的像是M?(x?,y?) 由? ?x?12?x?x?2y?x?x?2y ,得 ?y?01?y?y?y?y 又點M?(x?,y?)在l?上,所以x?by?1,即x?(b?2)y?1 依題意? ?a?1?a?1 ,解得? ?b?2?1?b?1 ()由A? ?x0?x0?x0?x0?2y0 ?,得解得y0?0 ?yyy?y00?0?0? 又點P(x0,y0)在直線上,所以x0?1 故

4、點P的坐標(biāo)為(1,0) 錯誤！未指定書簽。 （2013年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一招生考試江蘇卷（數(shù)學(xué)）（已校對純 WORD版含附加題）B. 選修4-2:矩陣與變換本小題滿分10分. ?10?12?1 已知矩陣A?,求矩陣AB. ,B? ?02?06? B 解:設(shè)矩陣A的逆矩陣為? ?a?b? ,則? ?c?d?1?0?a?b?1?0? ?0?2?c?d?=?0?1?,即 ? ?a?b?1?0? ?2c?2d?=?0?1?, ? ?1?0?1?, 故a=-1,b=0,c=0,d=矩陣A的逆矩陣為A?1?1?0?2 2?1?0? ?AB=?1?0?2? ?1 ?1?2?1?2?0?6?=?0?3?

5、 ? 錯誤！未指定書簽。 （2013年上海市春季高考數(shù)學(xué)試卷(含答案)）已知數(shù)列an的前n項和 a （b1?b2?為Sn?n2?n,數(shù)列bn滿足bn?2n,求lim n? ?bn）. 解當(dāng)n?2時,an?sn?sn?1?n2?n?(n?1)2?(n?1)?2n?2. 且a1?s1?0,所以an?2n?2.11 ?()n?1,所以數(shù)列bn是首項為1、公比為的無窮等比數(shù)列. 44 14 （b1?b2?bn）故lim?. n?13 1?4 因為bn?2 ?2n?2篇二：矩陣與變換 上海市各地區(qū)2013年高考數(shù)學(xué)最新聯(lián)考試題分類大匯編 第15部分:選修系列（選修4-2：矩陣與變換） 1.(閔行區(qū)201

6、2學(xué)年第二學(xué)期高三年級質(zhì)量調(diào)研考試數(shù) 學(xué) 試 卷（文科）) 方程組? ?x?2y?5?0?1?25? 的增廣矩陣為? 3x?y?8318? 5(浦東新區(qū)2013年高考預(yù)測數(shù)學(xué)試卷（文科）) 2x 把三階行列式x 1 不等式 03 則關(guān)于x的40中第1行第3列元素的代數(shù)余子式記為f(x)， x?3?1 f(x)?0的解集為(?1,4) 10. (普陀區(qū)2012學(xué)年第二學(xué)期高三文科數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研) 若三條直線ax?y?3?0,x?y?2?0和2x?y?1?0相交于一點，則行列式 a13 112的值為. 0 2?11 14. (普陀區(qū)2012學(xué)年第二學(xué)期高三文科數(shù)學(xué)質(zhì)量調(diào)研) ?1111? ?2345

7、 若ai,j表示n?n階矩陣?358 ? ?n? 的 ? 1? ?中第i行、第j列的元素，其中第1行?an,n? 元素均為1，第1列的元素為1,2,3,?,n，且ai?1,j?1?ai?1,j?ai,j（i、 j?1,2,3,?,n?1）, 則lim n? a3,nn2 1 ?. 2 3(2012學(xué)年第二學(xué)期徐匯區(qū)高三年級數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)能力診斷卷 （文科試卷）) 若正整數(shù)n使得行列式 12?nn ?6，則P7n? 42 3n 1(2013閔行二模理)方程組? ?x?2y?5?0 的增廣矩陣為 ?3x?y?8?1?25? ?318? 2. (2013閔行二模理) 若Z1=a+2i,Z2= 12iz

8、 ，且1為實數(shù)，則實數(shù)a的值為 23z2 ? 3 2 ax 3（2013長寧嘉定二模文）設(shè)a?0,a?1，行列式D?2 2 13 01中第3行第2列的代數(shù)4?3 余子式記作y，函數(shù)y?f?x?的反函數(shù)圖像經(jīng)過點?2,1?，則a?_4_ ax 4（2013長寧嘉定二模理）設(shè)a?0,a?1，行列式D?2 2 13 01中第3行第2列的代數(shù)4?3 余子式記作y，函數(shù)y?f?x?的反函數(shù)圖像經(jīng)過點?2,1?，則a?_4_ 2x05x?2 5.（2013奉賢二模理）三階行列式D?0 1 b33x ，元素b?b?R?的代數(shù)余子式為 H?x?，P?xH?x?0?， (1) 求集合P； (2) （理）函數(shù)f?

9、x?log2ax?2x?2的定義域為Q,若P?Q?,求實數(shù)a的取值范 2 ? 圍； （文）函數(shù)f?x?log2ax?2x?2的定義域為Q,若P?Q,求實數(shù)a的取值范圍； 2 ? 解：（1）、H?x? 2x5x?22 =2x?5x?23分 1x P?x（2）、（理） ?1? ?x?2? 7分 ?2? ?1 ? ? 2 若P?Q?,則說明在?,2?上至少存在一個x值，使不等式ax?2x?2?0成立， 8 2分 即在?,2?上至少存在一個x值，使a?2成立， 9分 xx?2? ?1? 22令u? 22 ?,則只需a?umin即可。11分 xx2 2 22?11?1又u?2?2?. xx?x2?2 1

10、?1?1?1? 當(dāng)x?,2?時，?,2?,u?4,?,umin?4從而umin?4 13分 x?2?2?2? 由知， umin?4, ?a?4. 14分 2、(文) 若P?Q,，則說明不等式ax?2x?2?0在x?,2?上恒成立， 8分 2即不等式a?令u? 2 ?1? 22?1? ?2在x?,2?上恒成立， 9分 xx?2? 22 ?2,則只需a?umax即可。 11分 xx 2 22?11?1又u?2?2?. xx?x2?2 1?1?1?1?1? 當(dāng)x?,2?時，?,2?,從而u?4,?,umax?,13分 x?2?2?2?2? 1 ?a?. 14分 2 (2013虹口理)已知 cos?s

11、in?17 ?，則cos2(?)? ? 9sin?cos?3 sinx?cosxcos(?x) 的最小正周期T? 2sinxcosx?sinx (2013靜安、楊浦、青浦、寶山理)函數(shù)f(x)? ? cos?sin?17 （2013高考虹口區(qū)二模）已知?，則cos2(?)? ? 9sin?cos?3 三簡答題 21（14分）（2013?奉賢區(qū)二模）三階行列式，元素b（bR）的代數(shù)余子 式為H（x），P=x|H（x）0， （1）求集合P； （2）函數(shù)圍 的定義域為Q，若PQ?，求實數(shù)a的取值范 數(shù)余子式為H?x?，P?xH?x?0， (1) 求集合P； ? 2 (2) （理）函數(shù)f?x?log2

12、ax?2x?2的定義域為Q,若P?Q?,求實數(shù)a的取值范 ? 圍； 2 （文）函數(shù)f?x?log2ax?2x?2的定義域為Q,若P?Q,求實數(shù)a的取值范圍； ?解：（1）、H?x? 2x5x?2 =2x2?5x?23分 1x P?x（2）、（理） ?1? ?x?2? 7分 ?2? ?1 ? ? 若P?Q?,則說明在?,2?上至少存在一個x值，使不等式ax2?2x?2?0成立， 8 2分 即在?,2?上至少存在一個x值，使a?2成立， 9分 xx?2?令u? ?1? 22 22 ?,則只需a?umin即可。11分 xx2 2 22?11?1又u?2?2?. xx?x2?2 1?1?1?1? 當(dāng)x

13、?,2?時，?,2?,u?4,?,umin?4從而umin?4 13分 x?2?2?2? 由知， umin?4, ?a?4. 2、(文) 2 若P?Q,，則說明不等式ax?2x?2?0在x?,2?上恒成立， 8分 2 ?1? 即不等式a?令u? 22?1? ?2在x?,2?上恒成立， 9分 xx?2? 22 ?2,則只需a?umax即可。 11分 xx 2 22?11?1又u?2?2?. xx?x2?2 1?1?1?1?1? 當(dāng)x?,2?時，?,2?,從而u?4,?,umax?,13分 x?2?2?2?2? 1 ?a?. 14分 2 2x （浦東新區(qū)2013年高考預(yù)測）把三階行列式x 1 03

14、40中第1行第3列元素的代數(shù)x?3?1 余子式記為f(x)，則關(guān)于x的不等式f(x)?0的解集為 . (?1,4) 10. (普陀區(qū)2012學(xué)年第二學(xué)期高三理科) 若三條直線ax?y?3?0,x?y?2?0和篇三：矩陣與變換基礎(chǔ) 加試內(nèi)容5-選修4-2 矩陣與變換 高考考試說明對本章內(nèi)容的考試要求見右邊。 一 矩陣的有關(guān)概念（P2) 1 定義在數(shù)學(xué)中，把形如?1?， ?3? ? ?23m?，?8090?這樣的矩形數(shù)字?3?24?6585? ? （或字母）陣列稱做矩陣， 一般地，我們用大寫黑體拉丁字母，或者 (aij)來表示矩陣， 其中i,j分別表示元素所在的行和列。 同一橫排中按原來次序排列的

15、一行數(shù)（或字母）叫做矩陣的行，同一豎排中按原來次序排列的一列數(shù)（或字母）叫做矩陣的列，組成矩陣的每一個數(shù)（或字母）稱為矩陣的元素， 2 零矩陣.所有元素都為0的矩陣稱為零矩陣，記為0。 3 矩陣的相等 對于兩個矩陣A,B，只有當(dāng)A,B的行數(shù)與列數(shù)分別相等，并且對應(yīng)位置的元素也分別相等時，才有A和B相等，此時記著A?B。 4 行矩陣與列矩陣（行向量與列向量） ?a? a12?這樣只有一行的矩陣稱為行矩陣(行向量)， 像?11?這樣只有一列 ?a21? ,，.來表示列矩陣。 的矩陣稱為列矩陣(列向量)，并用希臘字母, 二 矩陣與變換 一般地，我們把像?a11 1、平面變換 (P7) 一般地，對于平

16、面上的任意一個點（向量）(x,y),若按照對應(yīng)法則T，總能對應(yīng)惟一的一個點（向量）(x?,y?)，則稱T為一個變換， ?x?x? ?(x,y)?(x,y)?簡記為：T：或T：?y? y? 2、二階矩陣與平面列向量的乘法與平面變換的關(guān)系(P8） x?x?=?ax?by?， ?一般地，對于平面向量變換T，如果變換規(guī)則為T：?y?cx?dy?y? ? 那么根據(jù)二階矩陣與平面列向量在乘法規(guī)則下可以改寫為T： ?x?ab?x?x? ?y?y?=?cd?y?的矩陣形式，反之亦然(a,b,c,d?R)。 ? 3 平面中常見的幾何變換 （P12-32） 1）恒等變換 10? 由變換矩陣M?確定的變換TM稱為恒

17、等變換。 ?01? ? 【特點】平面上任意一點（向量）或圖形在恒等變換的作用下，都“把自己變?yōu)樽约骸薄?2）（垂直）伸壓變換 將平面圖形作沿x(y)軸方向伸長或壓縮（當(dāng)k?1時伸長,當(dāng)0?k?1時壓縮）。 變換矩陣 M?k0?或M?10?(k?0) ?0k?01? ? 【特點】 在伸壓變換之下，直線仍然變?yōu)橹本€，線段仍然變?yōu)榫€段 3 ）反射變換 將一個平面圖形變?yōu)殛P(guān)于定直線或定點對稱的平面圖形的變換矩陣稱為反射變換矩陣，對應(yīng)的變換稱為反射變換，關(guān)于定直線或定點對稱的反射又分別稱為軸反射和中心反射，定直線稱為反射軸，定點稱為反射點 反射變換是軸對稱變換、中心對稱變換的總稱。 由矩陣M1?確定的變

18、換是關(guān)于x軸的軸反射變換， ? ?0?1? 由矩陣M2?10?確定的變換是關(guān)于y軸的軸反射變換, ?01? ?10? ?1?0?0 由矩陣M4? ?1 由矩陣M3?0? 確定的變換是關(guān)于原點的中心反射變換 ?1?1? 確定的變換是關(guān)于直線y?x的軸反射變換 0? 【特點】 在反射變換之下，圖形的形狀大小不改變。 4） 旋轉(zhuǎn)變換 【定義】 將一個平面圖形繞一個定點旋轉(zhuǎn)角?得到另一個平面圖形的變換稱為旋轉(zhuǎn)變換，其中的角?叫做旋轉(zhuǎn)角，定點稱為旋轉(zhuǎn)中心 ?cos? 當(dāng)旋轉(zhuǎn)中心為原點且逆時針旋轉(zhuǎn)角?時旋轉(zhuǎn)變換的變換矩陣為? ?sin?sin? cos? 【特點】 旋轉(zhuǎn)變換只會改變幾何圖形的位置，不會改變

19、幾何圖形的形狀和大小， 5）投影變換 【定義】將一個平面圖投影到某條直線（或某個點）的變換稱為投影變換，其對應(yīng)的矩陣稱為投影變換矩陣， ?1M1? ?0?0M2? ?0?1M3? ?10? 確定的變換T1：將平面上的所有點垂直投影到x軸上，(x,y)?(x,0) ?0?0? 確定的變換T2：將平面上的所有點垂直投影到y(tǒng)軸上，(x,y)?(0,y) 1?0? 確定的變換T3：將平面上的所有點沿y軸方向投影到直線y?x上，(x,y)?(x,x) ?0? 【特點】 投影變換是映射，但不是一一映射 6）切變變換 【定義】 由矩陣 M1?或M2?k01? ?1k? ?10? 確定的變換稱為切變變換，對應(yīng)

20、的矩陣稱為切變變換矩陣. 1? ?1k?x?x?x?ky? M? 矩陣1?確定的變換：T?1?y?y?y?(k?R) 01? 也就是說，變換T1把平面上的點(x,y)沿x軸方向平移|ky|個單位，當(dāng)ky?0時沿x軸正方向移動，當(dāng)ky?0 時沿x軸負(fù)方向移動，當(dāng) ky?0時原地不動。 在此變換下，x軸上的點為不動點。?10? 確定的變換T2與T1有類似的性質(zhì) M2?k1? 【特點】 保持圖形面積大小不變,點間的距離和夾角大小可以改變且點的運動是沿坐標(biāo)軸方向 進行的 【切變變換的實質(zhì)】是橫（縱坐標(biāo)）成比例地運動. 4線性變換， 【定義】直線變?yōu)橹本€的變換叫做線性變換 二階矩陣對應(yīng)的幾何變換是線性變

21、換， 三 矩陣的乘法 1 二階矩陣與二階矩陣的乘法（P36） (1)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下： ?a11?a?21a12?b11 ?ba22?21b12?a11?b11?a12?b21 ?b22?a21?b11?a22?b21a11?b12?a12?b22? a21?b12?a22?b22? 【注意】一般地，兩個矩陣只有當(dāng)前一個列數(shù)與后一個矩陣的行數(shù)相等時才能進行乘法運算。 一般地，規(guī)定Am?n與Bn?p的乘積為Cm?p，它的元素 Cij?ai1b1j?aib2j2?aib3j?3.?ainbnj (2) 兩個二階矩陣的乘法MN的幾何意義： x? 對向量?（先TN后

22、TM），相當(dāng)于對其實施了矩陣MN對應(yīng)的幾何變換。 ?y?連續(xù)實施兩次幾何變換， ? (3) Mn?M?M?.?M ? n個M 2 矩陣乘法的簡單性質(zhì) (1)不滿足交換律AB?BA (2)不滿足消去律若A 不是零矩陣，且AB?AC，但不一定有B?C (3)滿足結(jié)合律 ABC?(AB)C?A(BC) 四 二階行列式 【二階行列式的定義】： 記為detA(?) abcd 稱為二階行列式，它的運算結(jié)果是一個數(shù)值（或多項式）， abcd ?ad?bc。 五矩陣的逆 1 逆變換 設(shè)T1是一個線性變換，如果存在一個線性變換T2，使得TT12?T2T1?I（I為恒等變換），則稱變換T1可逆，其中變換T2為變換

23、T1的逆變換，記為T1(?T2)，讀作“T1的逆”。 注：一一映射的變換才存在逆變換2 逆矩陣 （1）【定義】 設(shè)A是一個二階矩陣，如果存在一個二階矩陣B，使得AB?BA?E（E為單位矩陣），則稱矩陣A可逆，其中矩陣B為矩陣A的逆矩陣，記為A(?B)，讀作A的逆。 （2）【性質(zhì) 】 【唯一性】 若A可逆，則A?1 唯一。 二階矩陣乘積的逆矩陣 若A,B 可逆，則 (AB)消去律 若A可逆，且AB?AC，則 B?C（3）【求法】 用幾何變換的觀點 用代數(shù)方法。 ?1?1 ?1 ?B?1A?1ab?ab? 設(shè)A?， 若D?det(A)?ad?bc?0，則A可逆?cdcd? ?ab?xy?ax?bz

24、ay?bw?10?xy?1 設(shè) A?1?，則AA?cd?zw?cx?dzcy?dw?01? ?zw? ?b?d?d?b? ? 解方程組得 A?1?ad?bcad?bc?，即A?1?DD? a?c?ca? ?DD?ad?bcad?bc? 3用矩陣解二元一次方程組 ?ab?x?m? 記A? ,X?,B? ?cd?y?n? ?m?ax?by 關(guān)于x,y的二元一次方程組?可記為AX?B。 cx?dy?n? ?1 B|D?0當(dāng)|A?時，A可逆，X?A 六 特征值與特征向量 1 【定義】 ?ab? 設(shè)矩陣A?，如果對于實數(shù)?，存在非零向量?，使得A?， cd? ? 則稱?是矩陣A的一個特征值。?是矩陣A的

25、屬于特征值的一個特征向量。 2 【性質(zhì)】 （1） 【定理1】 ? 如果?是矩陣A的屬于特征值?的一個特征向量，則對任意的非零常數(shù)k，k?也是矩陣A 的屬于特征值?的特征向量。 【幾何意義】特征向量經(jīng)過變換矩陣A的作用后，與原向量保持在同一直線上。 ?0,方向不變；?0方向相反； ?0，特征向量就被變換成零向量。 （2） 【定理2】 屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線。 3 【特征多項式】 設(shè)矩陣A?ab?，?R ， ?cd?行列式f(?)? ?b ?2?(a?d)?ad?bc 稱為矩陣A 特征多項式。 ?c?d ?是矩陣A的一個特征值?是特征多項式f(?)?0的根。 ?a 4 【求法】 ?a

26、b?A?矩陣?cd? ? （1）由特征多項式 f(?)?0，得特征值。 （2）將特征值代人方程組? ?x?(?a)x?by?0 ，求出對應(yīng)的特征向量? ?y?cx?(?d)y?0 七 矩陣的簡單應(yīng)用 概率問題，網(wǎng)絡(luò)圖，密碼問題，生物學(xué)領(lǐng)域，經(jīng)濟學(xué)領(lǐng)域等方面?！镜湫屠}】 1、如果曲線：C:x2?4xy?3y2?1在矩陣?1 ?b? a?的作用下變換得到曲線C:x2?y21? ?1，求a?b. a?的作用下變 1? 解：設(shè)P(x0,y0)為曲線C：x2?4xy?3y2?1上任意一點，P(x0,y0)在矩陣?1 ?b? 換下變?yōu)镻(x0,y0),則? ?x0?1a?x0?x0?ay0?x0?x0?ay0 即? ?y0?b1?y0?bx?y0?y0?bx?y0 22 P(x0,y0)在曲線C:x2?y2?1上，則(x0?ay0)2?(bx?y0)2?(1?b2)x0?2(a?b)x0y0?a2?1)