電路分析小論文

1、類比法在電路分析中的應(yīng)用F090381 鄭家驍摘要：本論文討論了類比其他物理模型，從而簡化高階電路分析的可行性與具體實(shí)現(xiàn)方法。然后討論通過類比特定電路模型解決其他問題的方法關(guān)鍵詞：類比法 電路分析 機(jī)械振動 光速前言：眾所周知，電路分析的基本方法是根據(jù)電路元件的拓?fù)潢P(guān)系和KVL，KCL定律，列出方程，再結(jié)合支路元件的電氣特性進(jìn)行求解。而動態(tài)元件的出現(xiàn)將會導(dǎo)致列出的方程可能包含高階微分項，給求解帶來麻煩。而恰當(dāng)使用類比法，就可以將復(fù)雜的高階電路轉(zhuǎn)化成相對簡單的物理模型進(jìn)行求解正文：1） 類比機(jī)械振動求解高階電路響應(yīng)首先我們可以從一個簡單但是典型的例子入手探討求解的方法。如圖是一個沒有激勵源的RL

2、C串聯(lián)回路，試求其零輸入響應(yīng)。這個電路對應(yīng)電路方程是二階齊次微分方程：（取電容帶電量Q為因變量） 圖1 RLC串聯(lián)電路 QC+Ld2Qdt2+RdQdt=0 (1)求解這個方程是有一定難度的。-bv下面我們再看我們較為熟悉的物理模型：彈簧振子機(jī)械振動。如圖是一個彈簧振子系統(tǒng)，取向右為正方向，假定振子系統(tǒng)在振動時還受到與速度方向相反，大小正比于速度大小的阻力bv，則根據(jù)牛頓第三定律，其力學(xué)方程可寫為：圖2 彈簧振子系統(tǒng) -kx-bdxdt=md2xdt2化簡可得：md2xdt2+bdxdt+kx=0 (2)比照（1）（2）兩式，不難發(fā)現(xiàn)，若令k=1C，m=L，R=b，x=Q，則兩個方程完全相等，

3、所以這種形式的振子系統(tǒng)和RLC串聯(lián)電路完全可以一一對應(yīng)起來。根據(jù)我們非常熟悉的力學(xué)推導(dǎo)結(jié)果，阻尼振子運(yùn)動方程的解為：令0=km =b2ma) 欠阻尼情況：當(dāng)202時x=A0e-tcost+ (3)式中=02-202時x=c1e-(-2-02)t+c2e-(+2-02)t (4)c) 臨界阻尼情況：當(dāng)2=02時x=c1+c2te-t (5)不失代表性，本文僅討論欠阻尼情況下的解，其他情況類似，讀者可自行討論。令k=1C，m=L，R=b，x=Q，代入（3）式，可得Q=Q0e-R2Ltcos1LC-b24m2+ (6)兩側(cè)同除以C可得：Uc=Uc0e-R2Ltcos1LC-b24m2+ (7)這個式

4、子與我們使用經(jīng)典法解出的表達(dá)式結(jié)論是一樣的。以上只是最簡單的電路，那么如果電路的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)更加復(fù)雜一些又該怎么樣呢？我們可以在RLC電路中再串聯(lián)進(jìn)一個電感，記為L，顯然，(1)式改寫為QC+(L+L)d2Qdt2+RdQdt=0 (8)而若在彈簧振子模型中振子的另一端再連接一個一端固定的彈簧k，(2)式改寫為(m+m)d2xdt2+bdxdt+kx=0 (9)若想重新建立起對應(yīng)關(guān)系應(yīng)滿足k+k= m+m，則m=k.可見若是在回路中添加串聯(lián)電感對應(yīng)著振子質(zhì)量的增加。同理，添加并聯(lián)電感對應(yīng)振子質(zhì)量倒數(shù)的增加；并聯(lián)電容對應(yīng)振子勁度系數(shù)增加，串聯(lián)電容對應(yīng)振子勁度系數(shù)倒數(shù)增加。當(dāng)然，也可以選取回路中其他參

5、量（例如電流）作為因變量，此時對應(yīng)構(gòu)建的振子模型參數(shù)與電路參數(shù)的對應(yīng)關(guān)系將發(fā)生變化，在此不再贅述。類比法求解電路方程在電路比較簡單的時候具有計算簡便速度快的優(yōu)點(diǎn)，但是在電路較為復(fù)雜的時候由于對應(yīng)的振子模型難以構(gòu)建，或者即使構(gòu)建出來，振子模型也需要另外求解，因而并不適用。2） 類比電路求解其他物理模型：本文以求解光速為例，討論類比電路在求解其他物理模型時的應(yīng)用。我們先來看一個電路模型：如圖是一個無限長LC網(wǎng)絡(luò)，角頻率為的交流電電流波沿著它傳播，相鄰兩電容上的交流電相移為因網(wǎng)絡(luò)無限，由對稱性各電容電感電參量幅值均相等，可記作UCn=U0sint-nUCn+1=U0sint-(n+1)假設(shè)電流向右傳

6、播，最左端n=0，由于網(wǎng)絡(luò)中沒有阻性元件，可得到：UC0=U0sintIC0=I0costUL0=U0costIL0=I0sint則圖中ICn=I0cost-n=CU0cost-n由KVL:UCn+ULn-UCn+1=0ULn=U0sint-n+1-sint-n =2U0sin2cos(t-n+12) ILn=-2U0Lsin2sin(t-n+12)由KCL：ICn=ILn-ILn-1將前述結(jié)論代入CU0cost-n=2U0Lsin2(sint-n-12-sint-n+12)Ccost-n=4Lsin22cost-n其對所有t恒成立，故：2LC=4sin22=2(1-cos)=arccos(1

7、-122LC)要求2LC2定義電流波的速度為某一相位在單位時間內(nèi)傳播的距離，則v=lt 又=t 得到v=l=larccos(1-122LC)眾所周知，電磁波傳播的速度與頻率無關(guān)，下面開始考慮什么情況下電流波傳播速度也與頻率無關(guān)。注意到1時，cos1-122，且cos=1-122LC得到LC1而此時，v=l=larccos(1-122LC)=lLC現(xiàn)在我們將這個模型應(yīng)用與真空當(dāng)中，如圖是兩塊平行載流平面，現(xiàn)在截取其高為h，長為l，間距為d的一個區(qū)域。lhd顯然整個空間是由許許多多這樣的單元構(gòu)成。考慮一列平行于l方向的電磁波，首先令單元的尺度足夠小，使的滿足LC1，則前面討論的模型可以適用。求出正對面積間的電容，和假定兩平面載流線密