示范教案(數(shù)列的概念與簡單表示法

1、2.1數(shù)列的概念與簡單表示法2.1.1數(shù)列的概念與簡單表示法 （一）從容說課本節(jié)課先由教 師提供日常生活實例，引導學生通過對實例的分析體會數(shù)列的有關概念， 再通過對數(shù)列的項數(shù)與項之間的對應關系的探究，認識數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，最后師生共同通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式通過本節(jié)課的學習使學生能理解數(shù)列及其有關概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關系；了解數(shù)列的通項公式， 并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的通項公式 教學重點數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用教學難點根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式教具準備課件三維目標一、知識與技能1

2、理解數(shù)列及其有關概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關系；2. 了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；3對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的通項公式二、過程與方法1采用探究法，按照思考、交流、實驗、觀察、分析、得出結論的方法進行啟發(fā)式教學；2發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性學習；3理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.三、情感態(tài)度與價值觀1通過日常生活中的大量實例，鼓勵學生動手試驗理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生對科學的探究精神和嚴肅認真的科學態(tài)度，培養(yǎng)學生的辯證唯物主義觀點；2通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣教學過程導入新課師 課本圖211中的正方形數(shù)分別是多少？生 1

3、 , 3, 6, 10,.師圖212中正方形數(shù)呢？生 1 , 4, 9, 16, 25,.師像這樣按一定次序排列的一列數(shù)你能否再舉一些？生-1的正整數(shù)次幕：-1, 1 , -1 , 1 ,； 無窮多個數(shù)排成一列數(shù)：1 , 1, 1 , 1 ,.生一些分數(shù)排成的一列數(shù)：-,10 ,.315356399推進新課合作探究折紙問題 師請同學們想一想，一張紙可以重復對折多少次？請同學們隨便取一張紙試試（學生們興趣一定很濃）.生一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了 .師 你知道這是為什么嗎？我們設紙原來的厚度為1長度單位，面積為1面積單位，隨依次折的次數(shù)，它的厚度和每層紙的面積依次怎樣？生 隨著對折數(shù)

4、厚度依次為：2, 4, 8, 16,，256,；隨著對折數(shù)面積依次為 1,1 ,!，,，丄 ,.2 4816256生對折8次以后，紙的厚度為原來的256倍，其面積為原來的分1256式，再折下去太困 難了 師 說得很好，隨數(shù)學水平的提高，我們的思維會更加理性化請同學們觀察上面我們列出的這一列一列的數(shù)，看它們有何共同特點？生均是一列數(shù)生還有一定次序師它們的共同特點：都是有一定次序的一列數(shù)教師精講1數(shù)列的定義：按一定順序排列著的一列數(shù)叫做數(shù)列(1 )數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同， 那么它們就是不同的數(shù)列；(2) 定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同

5、一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn)2數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項各項依次叫做這個數(shù)列的第1項(或首項)，第2項，第n項，同學們能舉例說明嗎？生 例如，上述例子均是數(shù)列，其中中，“2是這個數(shù)列的第1項(或首項)，“16是這個數(shù)列中的第4項3數(shù)列的分類：1) 根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列例如數(shù)列1 , 2, 3, 4, 5, 6是有窮數(shù)列.無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列 例如數(shù)列1 , 2, 3, 4, 5, 6是無窮數(shù)列.2) 根據(jù)數(shù)列項的大小分：遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列擺

6、動數(shù)列：從第 2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列請同學們觀察：課本 P 33的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)數(shù)列、擺動數(shù)列？ 生 這六組數(shù)列分別是(1)遞增數(shù)列，(2)遞增數(shù)列，(3)常數(shù)數(shù)列，(4)遞減數(shù)列，(5)擺動數(shù)列， (6)1.遞增數(shù)列，2遞減數(shù)列.知識拓展師 你能說出上述數(shù)列中的256是這數(shù)列的第多少項？能否寫出它的第n項？生256是這數(shù)列的第8項，我能寫出它的第n項，應為an=2n合作探究同學們看數(shù)列2,4,8, 16,，256,中項與項之間的對應關系,項2481632J J序號12345你能從中得到什么啟示？生 數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集

7、N*(或它的有限子集1 , 2, 3,，n)的函數(shù)an=f(n)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值.反過來，對于函數(shù) y=f(x)，如果f(i)(i=1、2、3、4)有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1),f(2),f(3),n),f(師 說的很好.如果數(shù)列 an的第n項an與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式例題剖析1根據(jù)下面數(shù)列an的通項公式，寫出前 5項：nn(1) an= ；(2)an=(-1) .n 1師由通項公式定義可知，只要將通項公式中n依次取1, 2, 3, 4, 5,即可得到數(shù)列的前 5項1 2345生解：(1)n =1,2,3

8、,4,5.a1= ；a2= ;a3=;a4=;a5=.2 3456(2) n=1,2,3,4,5.a1=-1;a2=2; a3=-3;a4=4;a5=-5.師好！就這樣解.2. 根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：2 46810(1)3, 5, 7, 9, 11,；(2)-,，一，一，一，；3 15356399(3) 0,1, 0,1,0,1,；(4)1,3,3 , 5 ,5 , 7 ,7 , 9 , 9,；(5)2 ,-6 , 12,-20 ,30 , -42 ,.師 這里只給出數(shù)列的前幾項的值，哪位同學能寫出這些數(shù)列的一個通項公式？(給學生一定的思考時間)生老師，我寫好了！解

9、:(1) an = 2n+ 1 ；(2)an=2n(2n 1)(2 n 1)(3)an(4) 將數(shù)列變形為1+ 0 , 2+ 1 , 3+ 0 , 4 + 1 , 5+ 0 , 6 + 1 , 7 + 0 , 8+ 1,-an = n +1 ( 1)n2(5) 將數(shù)列變形為1 2 , -2烏,3 4 , -4 5 , 5 6,，an = (-1)n+1 n(n + 1).師 完全正確！這是由數(shù)”給出數(shù)列的 式”的例子，解決的關鍵是要找出這列數(shù)呈現(xiàn)出的規(guī)律性的東西，然后再通過歸納寫出這個數(shù)列的通項公式合作探究師 函數(shù)與數(shù)列的比較(由學生完成此表):函數(shù)數(shù)列(特殊的函數(shù))定義域R或R的子集N*或它

10、的有限子集1 , 2,，n解析式y(tǒng)=f(x)an=f( n)圖象點的集合一些離散的點的集合師對于函數(shù)，我們可以根據(jù)其函數(shù)解析式畫出其對應圖象，看來，數(shù)列也可根據(jù)其通項公 式來畫出其對應圖象，下面同學們練習畫數(shù)列：1114 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 10;1,一，一，一 , 的圖象.234生 根據(jù)這數(shù)列的通項公式畫出數(shù)列、的圖象為1234367K9數(shù)列4, 5, 6,乙8, 9,10,的圖象與我們學過的什么函數(shù)的圖象有關? 與我們學過的一次函數(shù)y=x+3的圖象有關.1 1 1數(shù)列1,，-，一 , 的圖象與我們學過的什么函數(shù)的圖象有關？2341與我們學過的反比例函數(shù) y -的圖象

11、有關.x這兩數(shù)列的圖象有什么特點？ 其特點為：它們都是一群孤立的點.y軸的右側 的點.師起引導作用，充分體現(xiàn)學生的主體作用，它們都位于y軸的右側，即特點為：它們都是一群孤立的，都位于 本課時的整個教學過程以學生自主探究為主，教 體現(xiàn)新課程的理念. 課堂小結會根據(jù)通項公式求其任意一項， 并會根據(jù)數(shù)對于本節(jié)內容應著重掌握數(shù)列及有關定義， 列的前n項求一些簡單數(shù)列的通項公式 . 布置作業(yè) 課本第38頁習題2.1 A組第1題.板書設計定義1.數(shù)列例12.項3.一般形式例24.通項公式5.有窮數(shù)列6.無窮數(shù)列數(shù)列的概念與簡單表示法(一)函數(shù)定義備課資料4項分別是下列各數(shù):一、備用例題1寫出下面數(shù)列的一個

12、通項公式，使它的前(1)1，3，5，7；22 1 321 42152 11廠分析：(1)項：序號:1=2 XI-113=2 2-15=2 X3-1 7=2 X4-1JJJ234所以我們得到了an=2 n-1 ；(2)序號:1234JJ項分母:2=1+13=2+14=3+15=4+1JJ項分子:22-1=(1+1)2-132-1=(2+1)2-142-1=(3+1) 2-152-1=(4+1)2_1所以我們得到了an= (n1)2或(n 2)?n;n1n 1(3)序號1234JJJ11111 22 33 44 5JJ11111 (1 1)2(2 1)3 (3 1)4 (4 1)所以我們得到了 a

13、n=-.n (n 1)n項分別是下列各數(shù):2寫出下面數(shù)列的一個通項公式，使它的前(1)1,0,1,0；(1)n1,n N2 3456(2)-, ,3 815 2435an=(-1)nJ 喀一(n 1)21an=7 X10n-1)9an=(-1)n(6 n-5)n 丄 2 1Lann 122根據(jù)數(shù)列的前幾項來寫出 遇到分數(shù)的時候，?？筛袝r可直截了當?shù)匮芯糠?3) 7,77,777,7 777;(4) -1,7,-13,19,-25,31;3 59172,4 扁,25g點評：上述兩題都是根據(jù)數(shù)列的前幾項來寫出這數(shù)列的通項公式, 這數(shù)列的通項公式時，?？陕?lián)想奇數(shù)、偶數(shù)、平方數(shù)、指數(shù)等等 據(jù)需要把分

14、子和分母同時擴大再來看看分子和分母中數(shù)的規(guī)律性, 子和分母之間的關系3. 已知數(shù)列an的通項公式是an=2n2-n，那么()A.30是數(shù)列 an的一項B.44是數(shù)列an的一項C.66是數(shù)列 an的一項D.90是數(shù)列an的一項分析：注意到30, 44, 66, 90均比較小，可以寫出這個數(shù)列的前幾項，如果這前幾項中出 現(xiàn)了這四個數(shù)中的某一個，則問題就可以解決了.若出現(xiàn)的數(shù)比較大，還可以用解方程求正整數(shù)解的方法加以解決 答案：C點評：看一個數(shù)A是不是數(shù)列an中的某一項，實質上就是看能不能找出一個非零自然數(shù)n,使得an=A.14. （鏈接探究題）假定有一張極薄的紙，厚度為cm就是每200張疊起來剛好

15、為1 cm，200現(xiàn)在把這張紙裁一為二，疊起來，它的厚度記為ai；再裁一為二，疊起來，它的厚度記為a2，又裁一為二，疊起來，它的厚度記為 a3，這樣一裁一疊，每次疊起來所得的厚度依次排 列，就得到一個數(shù)列： ai,a2,a3,耳匕 .你能求出這個數(shù)列的通項公式嗎？你知道a 50，即裁了 50次、疊了 50次后的厚度是多少厘米嗎？是否有10層樓高呢？答案：這個數(shù)列的通項公式為2nan200裁了 50次、疊了 50次后的厚度是 5 629 499 534 213.12 cm 56 294 995 km，大于地球到月 球距離的146倍.二、閱讀材料無法實現(xiàn)的獎賞相傳古印度舍罕王朝有一位宰相叫達依爾，

16、據(jù)說是他發(fā)明了國際象棋，古印度的舍罕王學會了下國際象棋以后，非常激動，他要重賞他的宰相達依爾達依爾對他的國王說：陛下，我不要您的重賞，只要您按我下面的辦法賞我一些麥粒就可以了：在我的棋盤上（它有64個格）第一格賞1粒，第二格賞2粒，第三格賞4粒，第四 格賞8粒依此類推每后一格的麥粒數(shù)都是前面一格的兩倍.國王答應了達依爾的要求，但是幾天以后他就發(fā)現(xiàn)事實上這是一個無法兌現(xiàn)的獎賞請問國王為什么不能兌現(xiàn)他的獎賞呢？2.1.2 數(shù)列的概念與簡單表示法 （二）從容說課這節(jié)課通過對數(shù)列通項公式的正確理解，讓學生進一步了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；通過

17、經歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程，作好探究性教學.發(fā)揮學生的主體作用，提高學生的分析問題以及解決問題的能力.教學重點 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.教學難點理解遞推公式與通項公式的關系.教具準備多媒體三維目標一、知識與技能1. 了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；2. 會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項.二、過程與方法1. 經歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程；2. 發(fā)揮學生的主體作用，作好探究性實驗；3. 理論聯(lián)系實際，激發(fā)學生的學習積極性.三、情感態(tài)度與價值觀通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣教學過程導入新課師 同學們，昨天我們學習了數(shù)列的定義，

18、數(shù)列的通項公式的意義等內容，哪位同學能談一談什么叫數(shù)列的通項公式？生如果數(shù)列an的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做 這個數(shù)列的通項公式師你能舉例說明嗎？生如數(shù)列0, 1, 2, 3,的通項公式為an= n-1(n N*);1,1,1的通項公式為 an=1(n N*,1哲w 3);11111,的通項公式為an=(n N*).2 3 4n合作探究數(shù)列的表示方法師 通項公式是表示數(shù)列的很好的方法，同學們想一想還有哪些方法可以表示數(shù)列？生 圖象法，我們可仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形具體方法是以項數(shù) n為橫坐標，相應的項an為縱坐標，即以(n,an)為坐標在平面直角坐標系

19、中作出點(以前面提到的數(shù)列1,1 1 1,為例，作出一個數(shù)列的圖象)，所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標2 3 4為正整數(shù)，所以這些點都在y軸的右側，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢師 說得很好，還有其他的方法嗎？生 師下面我們來介紹數(shù)列的另一種表示方法：遞推公式法知識都來源于實踐，同時還要應用于生活，用其來解決一些實際問題下面同學們來看右下圖：鋼管堆放示意圖(投影片).觀察鋼管堆放示意圖， 尋其規(guī)律，看看能否建立它的一些數(shù)學 模型生模型一：自上而下1,4, 即15, 即26, 即37, 即48, 即59, 即610, 即 74=

20、1+3;5= 2+3;6= 3+3;7= 4+3;8= 5+3;9= 6+3;10= 7+3.這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便讓同(啟發(fā)學生尋找規(guī)律)第1層鋼管數(shù)為 第2層鋼管數(shù)為 第3層鋼管數(shù)為 第4層鋼管數(shù)為 第5層鋼管數(shù)為 第6層鋼管數(shù)為 第7層鋼管數(shù)為若用an表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且an= n+3(1 ww 7).師同學們運用每一層的鋼管數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型，這完全正確，運 用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù) 學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？ 生模型二：上下層之間的關系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多 即 a

21、1=4 ； a2=5=4+1 = a1+1; a3=6=5+1 = a2+1.依此類推：an=an-1+1(2 ww 7).師對于上述所求關系，同學們有什么樣的理解？生 若知其第1項，就可以求出第二項，以此類推，即可求出其他項師 看來，這一關系也較為重要，我們把數(shù)列中具有這種遞推關系的式子叫做遞推公式推進新課1遞推公式定義：如果已知數(shù)列an的第1項（或前幾項），且任一項an與它的前一項an-i（或前n項）間的關系可 以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式注意：遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法如下列數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34, 55, 89.遞推公式為： a

22、1=3,a2=5,an=an-1+a n-2（3 韋1 .寫出這個數(shù)列的前五項an 1師 分析：題中已給出an的第1項即a1=1，題目要求寫出這個數(shù)列的前五項，因而只要再1求出二到五項即可.這個遞推公式：an=1+我們將如何應用呢？an 1生 這要將n的值2和a1=1代入這個遞推公式計算就可求出第二項，然后依次這樣進行就可以了 .師請大家計算一下！112158生 解： 據(jù)題意可知： a1=1,a2=1+=2,a3=1+= ,a4=1+= ,a5=a1a23 a 335師掌握遞推公式很關鍵的一點就是其中的遞推關系，同學們要注意探究和發(fā)現(xiàn)遞推公式中 的前項與后項，或前后幾項之間的關系.【例2】 已

23、知a1=2，an+1=2an，寫出前5項，并猜想an.師由例1的經驗我們先求前 5項.生前5項分別為2，4，8，16，32.師對，下面來猜想第 n項.生 由a1=2，a2=2疋=22，a3=2 X22=23觀察可得，我猜想 an=2n.師很好！生老師，本題若改為求 an是否還可這樣去解呢 ？ 師不能.必須有求解的過程.a生 老師，我由a n+1=2an變形可得an=2a n-1，即一- 2，依次向下寫，一直到第一項，然 an 122n 1，所以 an=a1 2n-1=2n.后將它們乘起來，就有丑也也-Xyan 1 an 2 an 3a師 太妙了，真是求解的好方法你所用的這種方法通常叫迭乘法，這

24、種方法在已知遞推公式 求數(shù)列通項的問題中是比較常用的方法，對應的還有迭加法知識拓展已知ai=2, an+1 = an-4,求 an.師此題與前例2比較，遞推式中的運算改為了減法，同學們想一想如何去求解呢？生 1 寫出：ai=2, a2=-2, a3=-6, a4=-10,觀察可得：an=2+( n-1)( n-4)=2-4( n-1).生2他這種解法不行，因為不是猜出an,而是要求出an.我這樣解：由an+1-an=-4依次向下寫，一直到第一項，然后將它們加起來，an-a n-仁-4an-1 an-2=-4an-2- an-3=-4) a2 a14an a14(n 1)二 an=2-4( n-

25、1).師好極了，真是觸類旁通啊，這種方法也請同學們課后多體會教師精講(1) 數(shù)列的遞推公式是由初始值和相鄰幾項的遞推關系確定的，如果只有遞推關系而無初始值，那么這個數(shù)列是不能確定的例如，由數(shù)列an中的遞推公式an+1=2an+1無法寫出數(shù)列an中的任何一項，若又知a1=1 ,則可以依次地寫出 a2=3,a3=7,a4=15,.(2) 遞推公式是給出數(shù)列的一種方法，由遞推公式可能求出數(shù)列的通項公式，也可能求不出 通項公式學生活動根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式.(投影片)(1) a1 = 0, an+1 = an+ (2n-1)(n N);an(2) a1 = 1, a n+1=- (n N);an 2an+1 = 3an-2(- N).(3) a1 = 3,