幾種常見的分布

1、.一、常見數(shù)據(jù)類型在正式的解釋分布之前，我們先來看一看平時(shí)遇到的數(shù)據(jù)。數(shù)據(jù)可大致分為離散型數(shù)據(jù)和連續(xù)型數(shù)據(jù)。離散型數(shù)據(jù)離散型數(shù)據(jù)顧名思義就是只取幾個(gè)特定的值。例如：當(dāng)你擲骰子的時(shí)候，結(jié)果只有1,2,3,4,5,6，不會(huì)出現(xiàn)類似1.5,2.5。連續(xù)型數(shù)據(jù)在一個(gè)給定的范圍內(nèi)，連續(xù)型數(shù)據(jù)可以取任意值。這個(gè)范圍可以是有限的或者是無窮的。例如：一個(gè)人的體重或者身高，可以取值54kg,54.4kg,54.33333kg等等都沒有問題。下面就開始介紹分布的類型。二、分布類型伯努利分布（Bernoulli Distribution）首先從最簡單的分布開始，伯努利分布實(shí)際上是一個(gè)聽起來最容易理解的分布。伯努利分

2、布一次實(shí)驗(yàn)有兩個(gè)可能的結(jié)果，比如1代表success及0代表failure。隨機(jī)變量XX一個(gè)取值為1并代表成功，成功概率為pp，一個(gè)取值為0表示失敗，失敗概率為qq或者說1p1p。這里，概率分布函數(shù)為px(1p)1xpx(1p)1x，其中x(0,1)x(0,1)，我們也可以寫成如下形式：P(x)=1p，p，x=0x=1P(x)=1p，x=0p，x=1成功和失敗的概率沒必要相同，也就是沒必要都是0.5，但是這倆概率加和應(yīng)該為1，比如可以是下面的圖：這個(gè)圖就是p(success)=0.15，p(failure)=0.85p(success)=0.15，p(failure)=0.85。下面說一下隨機(jī)

3、變量的期望，一個(gè)分布的期望就是這個(gè)分布的均值。服從伯努利分布的隨機(jī)變量XX的期望值就是：E(X)=1p+0(1p)=pE(X)=1p+0(1p)=p服從伯努利分布的隨機(jī)變量的方差是：V(X)=E(X2)E(X)2=pp2=p(1p)V(X)=E(X2)E(X)2=pp2=p(1p)還有許多伯努利分布的例子，比如說明天是否會(huì)下雨，今天會(huì)不會(huì)去健身，明天乒乓球比賽是不是會(huì)贏。均勻分布（Uniform Distribution）當(dāng)你擲骰子的時(shí)候，結(jié)果出現(xiàn)1到6中的任何一個(gè)，而任何一個(gè)結(jié)果出現(xiàn)的概率都是相同的，這就是均勻分布最原始的雛形。你可能看出來了，與伯努利分布不同的是，這nn個(gè)出現(xiàn)的結(jié)果的概率都

4、是相同的。一個(gè)隨機(jī)變量XX為均勻分布是指密度函數(shù)如下：f(x)=1baabf(x)=1baabE(X)=(a+b)2E(X)=(a+b)2Variance-V(X)=(ba)212V(X)=(ba)212標(biāo)準(zhǔn)的均勻分布的密度參數(shù)為a=0a=0和b=0b=0，所以對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)的均勻分布的密度函數(shù)為：f(x)=1，0，0x1otherwisef(x)=1，0x10，otherwise二項(xiàng)分布（Binomial Distribution）我們假定一個(gè)隨機(jī)變量，比如XX，表示你贏得比賽的次數(shù)。XX可能的值是什么？ 它可以是任何數(shù)字，贏得比賽的次數(shù)。如果就兩個(gè)可能的結(jié)果。 成功，失敗。 因此，成功概率= 0

5、.5，失敗的概率可以容易地計(jì)算為：q=p1=0.5q=p1=0.5。只有兩種結(jié)果是可能的分布，如成功或失敗，以及所有試驗(yàn)的成功和失敗概率相同的情況稱為二項(xiàng)分布。發(fā)生結(jié)果的可能性不同時(shí)， 前面的例子如果實(shí)驗(yàn)成功的概率是0.2，那么失敗的概率可以很容易地計(jì)算出來，q=10.2=0.8q=10.2=0.8。每次試驗(yàn)都是獨(dú)立的，因?yàn)橹暗慕Y(jié)果并不決定或影響當(dāng)前的結(jié)果。 只有兩次重復(fù)n次的可能結(jié)果的實(shí)驗(yàn)稱為二項(xiàng)式。 二項(xiàng)分布的參數(shù)是nn和pp，其中nn是試驗(yàn)的總數(shù)，pp是每個(gè)試驗(yàn)中成功的概率?；谏鲜鼋忉專?xiàng)分布的性質(zhì)是：1. 每次實(shí)驗(yàn)獨(dú)立2. 試驗(yàn)中只有兩種可能的結(jié)果 - 成功或失敗。3. 共進(jìn)行了

6、nn次相同的試驗(yàn)。4. 所有試驗(yàn)的成功和失敗的概率是相同的。 （試驗(yàn)是相同的。）二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)表達(dá)式由下式給出：P(x)=n!(nx)!x!pxqnxP(x)=n!(nx)!x!pxqnx一個(gè)二項(xiàng)分布圖，其中成功的概率不等于失敗的概率長這樣：成功概率與失敗概率相等，長這樣：二項(xiàng)分布均值和方差：Mean -=np=npVariance -Var(X)=npqVar(X)=npq正態(tài)分布（Normal Distribution）正態(tài)分布可以表示宇宙中大多數(shù)的事件發(fā)生情況。 如果任何分布具有以下特征，則稱為正態(tài)分布：1. 均值、中位數(shù)、眾數(shù)在一個(gè)分布中取相同的值；2. 分布曲線關(guān)于x=x=對(duì)稱；3.

7、 曲線下面的面積總和為；4. 中心位置的左半邊和右半邊對(duì)應(yīng)位置的概率取值相同。正態(tài)分布與二項(xiàng)分布有很大的不同。 但是，如果試驗(yàn)次數(shù)接近無窮大，則形狀將非常相似。服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量XX的密度函數(shù)為：f(x)=12e12(x)2xf(x)=12e12(x)2xE(X)=E(X)=Variance -Var(X)=2Var(X)=2這里(mean)和(standard deviation)是兩個(gè)參數(shù)，隨機(jī)變量XN(,)XN(,)的不同取值的變化圖如下：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的均值為0，方差為1，密度圖如下：f(x)=12ex22xf(x)=12ex22xE(X)=E(X)=Variance -Var(X)

8、=Var(X)=指數(shù)分布（Exponential Distribution）我們?cè)賮砜紤]一下呼叫中心的例子。 想想通話間的時(shí)間間隔是多少？ 指數(shù)分布來解決我們的問題。 指數(shù)分布對(duì)呼叫之間的時(shí)間間隔建模。其他例子：1. 兩站地鐵到達(dá)之間的時(shí)間長度2. 到達(dá)加油站的時(shí)間長度3. 空調(diào)的使用壽命指數(shù)分布廣泛用于生存分析。 從機(jī)器的預(yù)期壽命到人的預(yù)期壽命，指數(shù)分布可用來傳遞這些結(jié)果。隨機(jī)變量XX服從指數(shù)分布，它的PDF 為：f(x)=ex,x0f(x)=ex,x0參數(shù)00也叫做速率。對(duì)于生存分析，被稱為設(shè)備在任何時(shí)間tt的故障率，假設(shè)它存活到t。服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量XX的均值和方差：Mean -E(

9、X)=1E(X)=1Variance -Var(X)=(1)2Var(X)=(1)2此外，速率越大，曲線越下降快，速率越低，曲線越平滑。 下圖顯示了這一點(diǎn)：為了簡化計(jì)算，下面給出了一些公式。PXx=1exPXx=1ex對(duì)應(yīng)于xx左邊密度曲線下的面積。PXx=1exPXx=1ex對(duì)應(yīng)于xx右側(cè)密度曲線下的面積。Px1Xx2=ex1ex2Px12. 每次試驗(yàn)成功的概率相同，無窮小或者pp-03.np=np=，有限。正態(tài)分布和二項(xiàng)分布 & 正態(tài)分布和泊松分布正態(tài)分布是在以下條件下二項(xiàng)分布的另一種極限形式，條件如下：1. 試驗(yàn)次數(shù)無限大nn-2.pp和qq都不是無限小的。正態(tài)分布也是參數(shù)-的泊松分布的一個(gè)極限情況。指數(shù)分布和泊松分布如果隨機(jī)事件之間的時(shí)間遵循速率為的指數(shù)分布，那么長度為tt的時(shí)間段內(nèi)的事件總數(shù)遵循具有