卡方分布概念及表和查表方法

1、.卡方分布概念及表和查表方法若n個相互獨立的隨機變量，.,n，均服從標準正態(tài)分布（也稱獨立同分布于標準正態(tài)分布），則這n個服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為卡方分布（chi-square distribution）。中文名卡方分布外文名chi-square distribution別稱西格瑪分布提出者Friedrich Robert Helmert提出時間1863應用學科統(tǒng)計學目錄1簡介2定義3性質4概率表簡介分布在數(shù)理統(tǒng)計中具有重要意義。分布是由阿貝(Abbe)于1863年首先提出的，后來由海爾墨特(Hermert)和現(xiàn)代統(tǒng)計學的奠基人之一的卡皮爾遜(C K

2、Pearson)分別于1875年和1900年推導出來，是統(tǒng)計學中的一個非常有用的著名分布。定義若n個相互獨立的隨機變量、n ，均服從標準正態(tài)分布（也稱獨立同分布于標準正態(tài)分布），則這n個服從標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和構成一新的隨機變量，其分布規(guī)律稱為分布（chi-square distribution）， 卡方分布其中參數(shù)稱為自由度，正如正態(tài)分布中均數(shù)或方差不同就是另一個正態(tài)分布一樣，自由度不同就是另一個分布。記為或者（其中，為限制條件數(shù)）?？ǚ椒植际怯烧龖B(tài)分布構造而成的一個新的分布，當自由度很大時，分布近似為正態(tài)分布。對于任意正整數(shù)x，自由度為的卡方分布是一個隨機變量X的機率分布。性質1

3、)分布在第一象限內，卡方值都是正值，呈正偏態(tài)（右偏態(tài)），隨著參數(shù)的增大，分布趨近于正態(tài)分布；卡方分布密度曲線下的面積都是1。2)分布的均值與方差可以看出，隨著自由度的增大，分布向正無窮方向延伸（因為均值越來越大），分布曲線也越來越低闊（因為方差越來越大）。3）不同的自由度決定不同的卡方分布，自由度越小，分布越偏斜。4) 若互相獨立，則：服從分布，自由度為。5)分布的均數(shù)為自由度，記為 E() =。6)分布的方差為2倍的自由度()，記為 D() =。概率表分布不象正態(tài)分布那樣將所有正態(tài)分布的查表都轉化為標準正態(tài)分布去查，在分布中得對每個分布編制相應的概率值，這通過分布表中列出不同的自由度來表示，

4、 卡方分布臨界值表在分布表中還需要如標準正態(tài)分布表中給出不同 P 值一樣，列出概率值，只不過這里的概率值是值以上分布曲線以下的概率。由于分布概率表中要列出很多分布的概率值，所以分布中所給出的 P 值就不象標準正態(tài)分布中那樣給出了400個不同的 P 值，而只給出了有代表性的13個值，因此分布概率表的精度就更差，不過給出了常用的幾個值，足夠在實際中使用了。查分布概率表時，按自由度及相應的概率去找到對應的值。如上圖所示的單側概率0.05(7)=14.1的查表方法就是，在第一列找到自由度7這一行，在第一行中找到概率0.05這一列，行列的交叉處即是14.1。表中所給值直接只能查單側概率值，可以變化一下來

5、查雙側概率值。例如，要在自由度為7的卡方分布中，得到雙側概率為0.05所對應的上下端點可以這樣來考慮：雙側概率指的是在上端和下端各劃出概率相等的一部分，兩概率之和為給定的概率值，這里是0.05，因此實際上上端點以上的概率為0.05/2=0.025，用概率0.025查表得上端點的值為16，記為0.05/2(7)=16。下端點以下的概率也為0.025，因此可以用0.975查得下端點為1.69，記為1-0.05/2(7)=1.69。當然也可以按自由度及值去查對應的概率值，不過這往往只能得到一個大概的結果，因為分布概率表的精度有限，只給了13個不同的概率值進行查表。例如，要在自由度為18 的分布查找=

6、30對應的概率，則先在第一列找到自由度18，然后看這一行可以發(fā)現(xiàn)與30接近的有28.9與31.5，它們所在的列是0.05與0.025，所以要查的概率值應于介于0.05與0.025之間，當然這是單側概率值，它們的雙側概率值界于0.1與0.05之間。如果要更精確一些可以采用插值的方法得到，這在正態(tài)分布的查表中有介紹。為什么從正態(tài)總體中抽取出的樣本的方差服從分布？在抽樣分布理論一節(jié)里講到，從正態(tài)總體進行一次抽樣就相當于獨立同分布的n個正態(tài)隨機變量1，2，n的一次取值，將n個隨機變量針對總體均值與方差進行標準化得(i=1,n)，顯然每個都是服從標準正態(tài)分布的，因此按照分布的定義，應該服從參數(shù)為的分布。

7、如果將總體中的方差2用樣本方差s2代替，它是否也服從分布呢？理論上可以證明，它是服從分布的，但是參數(shù)不是n而是n-1了，究其原因在于它是n-1個獨立同分布于標準正態(tài)分布的隨機變量的平方和。我們常常把一個式子中獨立變量的個數(shù)稱為這個式子的“自由度”，確定一個式子自由度的方法是：若式子包含有n個變量，其中k個被限制的樣本統(tǒng)計量，則這個表達式的自由度為 n-k。比如中包含1，2，n這n個變量，其中1-n-1相互獨立，n為其余變量的平均值，因此自由度為n-1。附卡方表n/P0.9950.990.9750.950.900.750.500.250.100.050.0250.010.00510.020.10

8、0.451.322.713.845.026.637.8820.010.020.020.100.210.581.392.774.615.997.389.2110.6030.070.110.220.350.581.212.374.116.257.819.3511.3412.8440.210.300.480.711.061.923.365.397.789.4911.1413.2814.8650.410.550.831.151.612.674.356.639.2411.0712.8315.0916.7560.680.871.241.642.203.455.357.8410.6412.5914.4516

9、.8118.5570.991.241.692.172.834.256.359.0412.0214.0716.0118.4820.2881.341.652.182.733.405.077.3410.2213.3615.5117.5320.0921.9691.732.092.703.334.175.908.3411.3914.6816.9219.0221.6723.59102.162.563.253.944.876.749.3412.5515.9918.3120.4823.2125.19112.603.053.824.575.587.5810.3413.7017.2819.6821.9224.72

10、26.76123.073.574.405.236.308.4411.3414.8518.5521.0323.3426.2228.30133.574.115.015.897.049.3012.3415.9819.8122.3624.7427.6929.82144.074.665.636.577.7910.1713.3417.1221.0623.6826.1229.1431.32154.605.236.277.268.5511.0414.3418.2522.3125.0027.4930.5832.80165.145.816.917.969.3111.9115.3419.3723.5426.3028

11、.8532.0034.27175.706.417.568.6710.0912.7916.3420.4924.7727.5930.1933.4135.72186.267.018.239.3910.8613.6817.3421.6025.9928.8731.5334.8137.16196.847.638.9110.1211.6514.5618.3422.7227.2030.1432.8536.1938.58207.438.269.5910.8512.4415.4519.3423.8328.4131.4134.1737.5740.00218.038.9010.2811.5913.2416.3420.

12、3424.9329.6232.6735.4838.9341.40228.649.5410.9812.3414.0417.2421.3426.0430.8133.9236.7840.2942.80239.2610.2011.6913.0914.8518.1422.3427.1432.0135.1738.0841.6444.18249.8910.8612.4013.8515.6619.0423.3428.2433.2036.4239.3642.9845.562510.5211.5213.1214.6116.4719.9424.3429.3434.3837.6540.6544.3146.932611

13、.1612.2013.8415.3817.2920.8425.3430.4335.5638.8941.9245.6448.292711.8112.8814.5716.1518.1121.7526.3431.5336.7440.1143.1946.9649.642812.4613.5615.3116.9318.9422.6627.3432.6237.9241.3444.4648.2850.992913.1214.2616.0517.7119.7723.5728.3433.7139.0942.5645.7249.5952.343013.7914.9516.7918.4920.6024.4829.3

14、434.8040.2643.7746.9850.8953.674020.7122.1624.4326.5129.0533.6639.3445.6251.8055.7659.3463.6966.775027.9929.7132.3634.7637.6942.9449.3356.3363.1767.5071.4276.1579.496035.5337.4840.4843.1946.4652.2959.3366.9874.4079.0883.3088.3891.957043.2845.4448.7651.7455.3361.7069.3377.5885.5390.5395.02100.42104.228051.1753.5457.1560.3964.2871.1479.3388.1396.58101.88106.63112