有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則

1、.有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則一、測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字1有效數(shù)字的定義及其基本性質(zhì)測(cè)量結(jié)果中所有可靠數(shù)字加上末位的可疑數(shù)字統(tǒng)稱為測(cè)量結(jié)果的有效數(shù)字。有效數(shù)字具有以下基本特性：（1）有效數(shù)字的位數(shù)與儀器精度（最小分度值）有關(guān)，也與被測(cè)量的大小有關(guān)。對(duì)于同一被測(cè)量量，如果使用不同精度的儀器進(jìn)行測(cè)量，則測(cè)得的有效數(shù)字的位數(shù)是不同的。例如用千分尺（最小分度值，）測(cè)量某物體的長(zhǎng)度讀數(shù)為。其中前三位數(shù)字“”是最小分度值的整數(shù)部分，是可靠數(shù)字；末位“”是在最小分度值內(nèi)估讀的數(shù)字，為可疑數(shù)字；它與千分尺的在同一數(shù)位上，所以該測(cè)量值有四位數(shù)字。如果改用最小分度值（游標(biāo)精度）為的游標(biāo)卡尺來測(cè)量，其讀數(shù)為，測(cè)量值就只有三位有

2、效數(shù)字。游標(biāo)卡尺沒有估讀數(shù)字，其末位數(shù)字“”為可疑數(shù)字，它與游標(biāo)卡尺的也是在同一數(shù)位上。（2）有效數(shù)字的位數(shù)與小數(shù)點(diǎn)的位置無關(guān)，單位換算時(shí)有效數(shù)字的位數(shù)不應(yīng)發(fā)生改變。2有效數(shù)字與不確定度的關(guān)系在我們規(guī)定不確定度的有效數(shù)字只取一位時(shí)，任何測(cè)量結(jié)果，其數(shù)值的最后一位應(yīng)與不確定度所在的那一位對(duì)齊。如，測(cè)量值的末位“”剛好與不確定度的“”對(duì)齊。由于有效數(shù)字的最后一位是不確定度所在位，因此有效數(shù)字或有效位數(shù)在一定程度上反映了測(cè)量值的不確定度（或誤差限值）。測(cè)量值的有效數(shù)字位數(shù)越多，測(cè)量的相對(duì)不確定度越?。挥行粩?shù)越少，相對(duì)不確定度就越大。3數(shù)值的科學(xué)表示法二、有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則1數(shù)值的舍入修約原則測(cè)量值

3、的數(shù)字的舍入，首先要確定需要保留的有效數(shù)字和位數(shù)，保留數(shù)字的位數(shù)確定以后，后面多余的數(shù)字就應(yīng)予以舍入修約，其規(guī)則如下：（1）擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字小于5時(shí)，則舍去，即保留的各位數(shù)字不變。（2）擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字大于5，或者是5而其后跟有并非0的數(shù)字時(shí)，則進(jìn)1，即保留的末位數(shù)字加1。（3）擬舍棄數(shù)字的最左一位數(shù)字為5，而5的右邊無數(shù)字或皆為0時(shí)，若所保留的末位數(shù)字為奇數(shù)則進(jìn)1，為偶數(shù)或0則舍去，即“單進(jìn)雙不進(jìn)”。上述規(guī)則也稱數(shù)字修約的偶數(shù)規(guī)則，即“四舍六入五湊偶”規(guī)則。根據(jù)上述規(guī)則，要將下列各數(shù)據(jù)保留四位有效數(shù)字，舍入后的數(shù)據(jù)為：； ； ； 對(duì)于測(cè)量結(jié)果的不確定度的有效數(shù)字，本課程規(guī)定采

4、取只進(jìn)不舍的規(guī)則。2有效數(shù)字運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字的運(yùn)算總的原則是，除遵守?cái)?shù)學(xué)運(yùn)算法則外，還規(guī)定，準(zhǔn)確數(shù)字與準(zhǔn)確數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果仍為準(zhǔn)確數(shù)字；存疑數(shù)字與任何數(shù)字的運(yùn)算結(jié)果均為存疑數(shù)字。（1）加減法設(shè)，運(yùn)算過程為：1） 先計(jì)算絕對(duì)不確定度，不確定度在運(yùn)算過程中取兩位，最后取一位。2） 計(jì)算，各分量位數(shù)取到和不確定度所在位相同或比不確定度所在位低一位。3） 用絕對(duì)不確定度決定最后結(jié)果的有效數(shù)字。例1 求。其中，。解： ，由于和，故在方和根合成時(shí)，可忽略。所以 在計(jì)算過程中，因?yàn)椴淮_定度在小數(shù)點(diǎn)后第一位上，故運(yùn)算時(shí)各分量保留到小數(shù)點(diǎn)后第一位或第二位，也暫多保留一位。 如果各分量沒有標(biāo)明不確定度，則加減法的運(yùn)

5、算以各分量中可疑數(shù)字位最高的，即不確定度最大的分量為準(zhǔn)，其他各分量在運(yùn)算過程中保留到它下面一位，最后再與它對(duì)齊。上例中，分量的可疑數(shù)字位最高，以它為準(zhǔn)，其它各分量保留到它下面一位，最后對(duì)齊。，最后與分量的位數(shù)對(duì)齊，所以結(jié)果為。（2）乘除法設(shè)，運(yùn)算過程為：1）以有效位數(shù)最少的分量為準(zhǔn)，將各分量（包括常數(shù)）的有效數(shù)字取到比它多一位，計(jì)算，結(jié)果也暫多保留一位。2）計(jì)算不確定度。3）由絕對(duì)不確定度決定結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。例2 求，其中：，。解： 各分量中，的有效數(shù)字位數(shù)最少（3位），以它為準(zhǔn)，都取四位，結(jié)果先保留四位。 計(jì)算不確定度，應(yīng)用不確定度傳遞公式： 結(jié)果為： 當(dāng)測(cè)量數(shù)據(jù)沒有給出不確定度時(shí)，計(jì)算同。結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)一般取與各分量中有效數(shù)字位數(shù)最少者相同。在運(yùn)算中，遇到一些物理常數(shù)和純數(shù)學(xué)數(shù)字（如，等），它們不影響運(yùn)算結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)。綜上例題運(yùn)算得知，有效數(shù)字的運(yùn)算規(guī)則：（1）當(dāng)幾個(gè)有效數(shù)字相加或相減時(shí)，其結(jié)果的有效數(shù)字末位的量級(jí)與參加運(yùn)算的有效數(shù)字中可疑數(shù)字量級(jí)最大者相同。（2）當(dāng)幾個(gè)有效數(shù)字相乘或相除時(shí)，其結(jié)果的有效數(shù)字位數(shù)一般與參加運(yùn)算的各數(shù)中有效數(shù)字位數(shù)最少者相同。3函數(shù)運(yùn)算的有效