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1、一、平面的點法式方程,二、平面的一般方程,平面及其方程,一、平面的點法式方程,設(shè)一平面通過已知點,且垂直于非零向,稱式為平面的點法式方程,求該平面的方程,法向量,量,則有,故,例1.求過三點,即,解: 取該平面 的法向量為,的平面 的方程,利用點法式得平面 的方程,此平面的三點式方程也可寫成,一般情況,過三點,的平面方程為,說明,特別,當(dāng)平面與三坐標(biāo)軸的交點分別為,此式稱為平面的截距式方程,時,平面方程為,分析:利用三點式,按第一行展開得,即,二、平面的一般方程,設(shè)有三元一次方程,以上兩式相減 , 得平面的點法式方程,此方程稱為平面的一般,任取一組滿足上述方程的數(shù),則,顯然方程與此點法式方程等

2、價,的平面,因此方程的圖形是,法向量為,方程,特殊情形,當(dāng) D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示,通過原點的平面,當(dāng) A = 0 時, B y + C z + D = 0 的法向量,平面平行于 x 軸,A x+C z+D = 0 表示,A x+B y+D = 0 表示,C z + D = 0 表示,A x + D =0 表示,B y + D =0 表示,平行于 y 軸的平面,平行于 z 軸的平面,平行于 xoy 面 的平面,平行于 yoz 面 的平面,平行于 zox 面 的平面,例2. 求通過 x 軸和點( 4, 3, 1) 的平面方程,解,因平面通過 x 軸,設(shè)所求

3、平面方程為,代入已知點,得,化簡,得所求平面方程,三、兩平面的夾角,設(shè)平面1的法向量為,平面2的法向量為,則兩平面夾角 的余弦為,即,兩平面法向量的夾角(常為銳角)稱為兩平面的夾角,特別有下列結(jié)論,因此有,例4. 一平面通過兩點,垂直于平面: x + y + z = 0, 求其方程,解: 設(shè)所求平面的法向量為,即,的法向量,約去C , 得,即,和,則所求平面,故,方程為,且,外一點,求,例5. 設(shè),解:設(shè)平面法向量為,在平面上取一點,是平面,到平面的距離d,則P0 到平面的距離為,點到平面的距離公式,解: 設(shè)球心為,求內(nèi)切于平面 x + y + z = 1 與三個坐標(biāo)面所構(gòu)成,則它位于第一卦限,且,因此所求球面方程為,四面體的球面方程,從而,例6,內(nèi)容小結(jié),1.平面基本方程,一般式,點法式,截距式,三點式,2.平面與平面之間的關(guān)系,平面,平面,垂直,平行,夾角公式,求過點,且垂直于

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