布萊克-斯科爾斯期權定價模型課件

1、布萊克-斯科爾斯期權定價模型,2021/1/25,1,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,期權定價采用相對定價法 利用基礎產(chǎn)品價格與衍生產(chǎn)品價格之間的內在關系，直接根據(jù)基礎產(chǎn)品價格求出衍生產(chǎn)品價格 ， 因此要為期權定價首先必須研究證券價格的變化過程。目前，學術界普遍用隨機過程來描述證券價格的變化過程,6.1證券價格的變化過程,2021/1/25,2,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,弱式效率市場假說與馬爾可夫過程 1965年，法瑪（Fama）提出了著名的效率市場假說,該假說認為: 投資者都力圖利用可獲得的信息獲得更高的報酬； 證券價格對新的市場信息的反應是迅速而準確的，證券價格能完全反應全部信息； 市場

2、競爭使證券價格從一個均衡水平過渡到另一個均衡水平，而與新信息相應的價格變動是相互獨立的,一、弱式效率市場假說與馬爾可夫過程,2021/1/25,3,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,效率市場假說可分為三類：弱式、半強式和強式。 弱式效率市場假說認為， 證券價格變動的歷史不包含任何對預測證券價格未來變動有用的信息，也就是說不能通過技術分析獲得超過平均收益率的收益。 半強式效率市場假說認為， 證券價格會迅速、準確地根據(jù)可獲得的所有公開信息調整，因此以往的價格和成交量等技術面信息以及已公布的基本面信息都無助于挑選價格被高估或低估的證券。 強式效率市場假說認為， 不僅是已公布的信息，而且是可能獲得的有關信

3、息都已反映在股價中，因此任何信息（包括“內幕信息”）對挑選證券都沒有用處。 發(fā)達國家的證券市場大體符合弱式效率市場假說,2021/1/25,4,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,弱式效率市場假說可用馬爾可夫隨機過程（Markov Stochastic Process）來表述。 隨機過程是指某變量的值以某種不確定的方式隨時間變化的過程。 如果證券價格遵循馬爾可夫過程，該過程具有“無后效性”，其未來價格的概率分布只取決于該證券現(xiàn)在的價格。也就是，通過歷史數(shù)據(jù)不能預測未來 B-S模型假設標的資產(chǎn)的價格服從幾何布朗運動，它是一種特殊的馬爾可夫過程,2021/1/25,5,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,二、

4、布朗運動,根據(jù)有效市場理論，股價、利率和匯率具有隨機游走性，該特性可以采用維納過程（布朗運動），它是馬爾科夫過程的一種。 （一）、標準布朗運動 對于隨機變量w是標準布朗運動，必須具有兩個條件： 在某一小段時間t內，它的變動w與時段t滿足,2021/1/25,6,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,6.1,2. 在兩個不重疊的時段t和s, wt和ws是獨立的，這個條件也是Markov過程的條件，即增量獨立,6.2,有效市場,2021/1/25,7,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,滿足上述兩個條件的隨機過程，稱為標準布朗運動，其性質有,當時段的長度放大到T時（從現(xiàn)在的0時刻到未來的T時刻）隨機變量wT的滿

5、足,2021/1/25,8,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,證明,2021/1/25,9,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,在連續(xù)時間下t 0，由（6.1）和（6.2）得到,6.3,6.4,所以， 概率分布的性質,以上得到的隨機過程wt，稱為維納過程,2021/1/25,10,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,二）普通布朗運動,先引入兩個概念： 漂移率（Drift Rate）是指，單位時間內變量z均值的變化值。 方差率（Variance Rate）是指，單位時間的方差。 標準布朗運動的漂移率為0，方差率為1.0。 我們令漂移率的期望值為a,方差率的期望值為b2，就可得到變量xt的普通布朗運動： （6.4

6、） 其中，a和b均為常數(shù)，dw遵循標準布朗運動,2021/1/25,11,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,從式（6.1）和（6.4）可知，在短時間 后，x值的變化值為： 因此，xt也具有正態(tài)分布特征，其均值為 ，標準差為 ，方差為 。同樣，在任意時間長度T后x值的變化也具有正態(tài)分布特征，其均值為aT，標準差為 ，方差為b2T,2021/1/25,12,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,一般維納過程仍不足以代表隨機變量復雜的變動特征。 漂移率和方差率為常數(shù)不恰當,若把變量xt的漂移率a和方差率b當作變量x和時間t的函數(shù)，擴展后得到的即為ITO過程,三、伊藤過程,2021/1/25,13,布萊克-斯科爾

7、斯期權定價模型,B-S 期權定價模型是根據(jù)ITO過程的特例幾何布朗運動來代表股價的波動,省略下標t，變換后得到幾何布朗運動方程,6.6,證券的預期回報與其價格無關,證券在單位時間內以連續(xù)復利表示的期望收益率（又稱預期收益率,證券收益率單位時間的標準差，簡稱波動率,四、證券價格的變化過程,2021/1/25,14,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,伊藤引理：假設某隨機變量x的變動過程可由ITO過程表示為（省略下標t,令f(x,t)為隨機變量x以及時間t的函數(shù)，即f(x,t)可以代表以標的資產(chǎn)x的衍生證券的價格，則f(x,t)的變動過程可以表示為,6.7,五、伊藤引理,2021/1/25,15,布萊克

8、-斯科爾斯期權定價模型,證明：將（6.7）離散化,由（7.1）知,利用泰勒展開，忽略高階項， f(x,t)可以展開為,6.8,2021/1/25,16,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,在連續(xù)時間下，即,因此，（6.8）可以改寫為,6.9,從而,2021/1/25,17,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,即x2不呈現(xiàn)隨機波動,6.10,2021/1/25,18,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,由（6.10）可得,6.11,由（6.11）得到,6.12,2021/1/25,19,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,由于x2不呈現(xiàn)隨機波動，所以，其期望值就收斂為真實值，即,當t0時，由（6.9）可得,2021/1

9、/25,20,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,若股票價格服從幾何布朗運動,設當前時刻為t，則T時刻股票價格滿足對數(shù)正態(tài)分布，即,六、幾何布朗運動與對數(shù)正態(tài)分布,lnST的標準差與T-t的平方根成比例,2021/1/25,21,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,令,則,這樣由伊藤引理得到,即,證,2021/1/25,22,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,由（7.1,對兩端積分,2021/1/25,23,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,則稱ST服從對數(shù)正態(tài)分布，其期望值為,2021/1/25,24,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,例6.2 設A股票價格的當前值為50元,預期收益率為每年18%,波動率為每年20

10、%,該股票價格遵循幾何布朗運動,且該股票在6個月內不付紅利，請問該股票6個月后的價格ST的概率分布。 例6.3 請問在例6.2中，A股票在6個月后股票價格的期望值和標準差等多少,2021/1/25,25,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,6.2 B-S期權定價模型,Black、Scholes和Merton發(fā)現(xiàn)了看漲期權定價公式，Scholes和Merton也因此獲得1997年的諾貝爾經(jīng)濟學獎 模型基本假設9個 無風險利率為常數(shù)，且對所有到期日均相同。 在衍生證券有效期內標的證券沒有現(xiàn)金收益支付； 期權為歐式期權 證券交易是連續(xù)的，價格變動也是連續(xù)的,2021/1/25,26,布萊克-斯科爾斯期權定

11、價模型,無交易費用：證券市場、期權市場、資金借貸市場 投資者可以自由借貸資金，且二者利率相等，均為無風險利率 不存在無風險套利機會 允許賣空標的證券 標的資產(chǎn)為證券，其價格S的變化為幾何布朗運動,2021/1/25,27,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,B-S模型證明思路,ITO引理,ITO過程,B-S微分方程,B-S買權定價公式,2021/1/25,28,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,6.2.1 B-S微分方程,假設標的資產(chǎn)價格變動過程滿足,這里S為標的資產(chǎn)當前的價格，令f(s,t)代表衍生證券的價格，則f(s,t)的價格變動過程可由ITO引理近似為,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,考慮組合：份

12、的標的資產(chǎn)多頭+1個單位的衍生證券空頭 由于衍生證券價格和標的證券價格都受同一種不確定性（w）影響，若數(shù)量適當?shù)脑?，標的證券多頭盈利（或虧損）總是會與衍生證券空頭的虧損（或盈利）相抵消，因此在短時間內該投資組合是無風險的。且滿足,則該組合的價值為,2021/1/25,30,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,下面將證明該組合為無風險組合，在t時間區(qū)間內價值變化為,注意到此時不含有隨機項w，該組合是無風險的,2021/1/25,31,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,設無風險收益率為r，且由于t較小（不采用連續(xù)復利），則,整理得到,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,B-S微分方程的意義,衍生證券的價格f，只與

13、當前的市價S，時間t，證券價格波動率和無風險利率r有關，它們全都是客觀變量。因此，無論投資者的風險偏好如何，都不會對f的值產(chǎn)生影響。 在對衍生證券定價時，可以采用風險中性定價，即所有證券的預期收益率都等于無風險利率r。 只要標的資產(chǎn)服從幾何布朗運動，都可以采用B-S微分方程求出價格f,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,6.2.2 B-S買權定價公式,對于歐式不支付紅利的股票期權，其看漲期權（買權）的在定價日t的定價公式為,N(x)：標準正態(tài)分布變量的累計概率分布函數(shù)（小于x的概率,6.21,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,例如:當d1.96時,N(d)97.5,2021/1/25,35,布萊克-斯科

14、爾斯期權定價模型,1）設當前時刻為t，到期時刻T，若股票價格服從幾何布朗運動，若已經(jīng)當前時刻t的股票價格為St，則T時刻的股票價格的期望值為,B-S買權定價公式推導,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,比較上兩式，得到,根據(jù)B-S微分方程可知，定價是在風險中性條件下，則資產(chǎn)的期望回報為無風險回報，則,這表明：在風險中性的世界中，任何可交易的金融資產(chǎn)的回報率均為無風險利率,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,2）在風險中性的條件下，任何資產(chǎn)的貼現(xiàn)率為無風險利率r，故買權期望值的現(xiàn)值為,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,B-S模型的意義,N(d2)：在風險中性世界中ST大于X的概率，或者說是歐式看漲期權被執(zhí)行的概

15、率。 X e-r(T-t)N(d2)：X的風險中性期望值的現(xiàn)值。 StN(d1)= e-r(T-t)EST N(d1)：是ST的風險中性期望值的現(xiàn)值,2021/1/25,39,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,其次， 是復制交易策略中股票的數(shù)量，StN(d1)就是資產(chǎn)的市值, -Xe-r(T-t) N(d2)則是復制交易策略中負債的價值。 假設St x，0,則兩個N(d) 1，看漲期權肯定會被執(zhí)行，此時看漲期權價值為St -Xe-r，與遠期合約的價值相似。執(zhí)行后，獲得了以St為現(xiàn)價的股票的所有權，而承擔了X的債務。 期權的價值關于標的資產(chǎn)的價格及其方差，以及到期時間等5個變量的非線性函數(shù)Ct=f(

16、St,X,r)的函數(shù),2021/1/25,40,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,在標的資產(chǎn)無收益情況下，無收益資產(chǎn)美式看漲期權的價值C=c。 根據(jù)歐式看漲期權和看跌期權之間存在平價關系，可得無收益資產(chǎn)歐式看跌期權的定價公式 ： （6.22） 由于美式看跌期權與看漲期權之間不存在嚴密的平價關系，所以要用蒙特卡羅模擬、二叉樹和有限差分三種數(shù)值方法以及解析近似方法求出,歐式看跌期權的價值,2021/1/25,41,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,6.2.3 有收益資產(chǎn)的期權定價公式,一）有收益資產(chǎn)歐式期權的定價公式 在收益已知情況下，把標的證券價格分解成兩部分： 期權有效期內已知現(xiàn)金收益的現(xiàn)值部分(無風

17、險部分) 一個有風險部分。 當期權到期時，現(xiàn)值部分將由于標的資產(chǎn)支付現(xiàn)金收益而消失。因此，只要用S表示有風險部分的證券價格。表示風險部分遵循隨機過程的波動率，直接套用公式（6.21）和（6.22）分別計算出有收益資產(chǎn)的歐式看漲期權和看跌期權的價值。 從理論上說，風險部分的波動率并不完全等于整個證券價格的的波動率,有風險部分的波動率近似等于整個證券價格波動率乘以S/(SI)，這里I是紅利現(xiàn)值。為方便起見，假設兩者相等,2021/1/25,42,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,當標的證券已知收益的現(xiàn)值為I時，只要用（SI）代替式（6.21）和（6.22）中的S即可求出固定收益證券歐式看漲和看跌期權的

18、價格。 當標的證券的收益為按連續(xù)復利計算的固定收益率q（單位為年）時，我們只要將 代替式（6.21）和（6.22）中的S就可求出支付連續(xù)復利收益率證券的歐式看漲和看跌期權的價格,2021/1/25,43,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,對于歐式期貨期權，其定價公式為： （6.23） （6.24） 其中,2021/1/25,44,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,例6.4,假設當前英鎊的即期匯率為$1.5000，美國的無風險連續(xù)復利年利率為7%，英國的無風險連續(xù)復利年利率為10%，英鎊匯率遵循幾何布朗運動，其波動率為10%，求6個月期協(xié)議價格為$1.5000的英鎊歐式看漲期權價格。 3.05美分,20

19、21/1/25,45,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,二）有收益資產(chǎn)美式期權的定價,1美式看漲期權 當標的資產(chǎn)有收益時，美式看漲期權就有提前執(zhí)行的可能，用一種近似處理的方法: 先確定提前執(zhí)行美式看漲期權是否合理。 若不合理，則按歐式期權處理； 若在tn提前執(zhí)行有可能是合理的，則分別計算在T時刻和tn時刻到期的歐式看漲期權的價格，然后將二者之中的較大者作為美式期權的價格,2021/1/25,46,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,例6.5,假設一種1年期的美式股票看漲期權，標的股票在5個月和11個月后各有一個除權日，每個除權日的紅利期望值為1.0元，標的股票當前的市價為50元，期權協(xié)議價格為50元，標

20、的股票波動率為每年30%，無風險連續(xù)復利年利率為10%，求該期權的價值。 解： 1. 看該期權是否應提前執(zhí)行。不能提前執(zhí)行的條件是： 由于D1=D2=1.0元，則對第一次除權日，有 對第2次除權日，有,2021/1/25,47,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,2. 比較1年期和11個月期歐式看漲期權價格。 對于1年期歐式看漲期權來說，由于紅利的現(xiàn)值為： S=50-1.8716=48.1284，代入式（6.23）得,N（0.3562）=0.6392， N（0.0562）=0.5224,2021/1/25,48,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,對于11個月期的歐式看漲期權來說，由于紅利的現(xiàn)值為,S=4

21、9.0408元,由于c11c12，因此該美式看漲期權價值近似為7.2824元,2021/1/25,49,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,2美式看跌期權,由于收益雖然使美式看跌期權提前執(zhí)行的可能性減小，但仍不排除提前執(zhí)行的可能性，因此有收益美式看跌期權的價值仍不同于歐式看跌期權，它也只能通過較復雜的數(shù)值方法來求出,2021/1/25,50,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,第三節(jié) 布萊克舒爾斯期權定價公式的實證研究和應用,一、布萊克舒爾斯期權定價公式實證研究 布萊克舒爾斯期權定價公式 傾向于高估方差高的期權， 低估方差低的期權； 高估實值期權的價格， 低估虛值期權的價格,2021/1/25,51,布萊克-斯科爾斯期權定價模型,造成用布萊克舒爾斯期權定價公式估計的期權價格與市場價