16-1圓的概念及性質(zhì).講義學(xué)生版(1

1、目M歸 中考要求板塊考試要求A級(jí)要求B級(jí)要求C級(jí)要求圓的有關(guān)概 念理解圓及其有關(guān)概念會(huì)過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；能利用圓 的有關(guān)概念解決簡(jiǎn)單問(wèn)題圓的性質(zhì)知道圓的對(duì)稱性，了解弧、 弦、圓心角的關(guān)系能用弧、弦、圓心角的關(guān)系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題能運(yùn)用圓的性質(zhì)解決有 關(guān)問(wèn)題圓周角了解圓周角與圓心角的關(guān) 系；了解直徑所對(duì)的圓周角 是直角會(huì)求圓周角的度數(shù)，能用圓周角的知識(shí)解決 與角有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題能綜合運(yùn)用幾何知識(shí)解 決與圓周角有關(guān)的問(wèn)題目t雌 知識(shí)點(diǎn)睛一、圓的相關(guān)概念1. 圓的定義(1) 描述性定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段A繞它固定的一個(gè)端點(diǎn) 旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn) A隨之旋轉(zhuǎn)所形成的圖形叫做圓，其中固定端點(diǎn)叫做圓心

2、，A叫做半徑.(2) 集合性定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合叫做圓，頂點(diǎn)叫做圓心，定長(zhǎng)叫做半徑.(3) 圓的表示方法：通常用符號(hào) O表示圓，定義中以 為圓心，OA為半徑的圓記作 ” 0；讀作” 圓0 ；(4) 同圓、同心圓、等圓：圓心相同且半徑相等的圓叫同圓；圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同 心圓；能夠重合的兩個(gè)圓叫做等圓.注意：注意：同圓或等圓的半徑相等.2. 弦和弧(1) 弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.(2) 直徑：經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做圓的直徑，直徑等于半徑的2倍.(3) 弦心距：從圓心到弦的距離叫做弦心距.(4) ?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧以A B為端點(diǎn)的圓弧記

3、作 AB，讀作弧AB .(5) 等?。涸谕瑘A或等圓中，能夠互相重合的弧叫做等弧.(6) 半圓：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓.(7) 優(yōu)弧、劣?。捍笥诎雸A的弧叫做優(yōu)弧，小于半圓的弧叫做劣弧.(8) 弓形：由弦及其所對(duì)的弧組成的圖形叫做弓形.3. 圓心角和圓周角(1) 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角將整個(gè)圓分為360等份，每一份的弧對(duì)應(yīng)1的圓心角，我們也稱這樣的弧為1的弧圓心角的度數(shù)和它所對(duì)的弧的度數(shù)相等.(2) 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角.、圓的對(duì)稱性1. 旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性(1) 圓是中心對(duì)稱圖形，對(duì)稱中心是圓心；圓是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱圖形，無(wú)論繞圓心旋

4、轉(zhuǎn)多少度角，總能與自 身重合.(2) 圓的旋轉(zhuǎn)對(duì)稱性 =圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系.2. 軸對(duì)稱性(1) 圓是軸對(duì)稱圖形，經(jīng)過(guò)圓心的任一條直線是它的對(duì)稱軸.(2) 圓的軸對(duì)稱性 =垂徑定理.三、圓的性質(zhì)定理1. 圓周角定理(1) 定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的一半.(2) 推論：推論1:同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧相等.推論2 :半圓(或直徑)所對(duì)的圓周角是直角，90的圓周角所對(duì)的弦是直徑.推論3:如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.2. 圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系(1)定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角

5、所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弦的弦心距相等.(2)推論：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等, 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量分別相等. 前提條件是在同圓或等圓中； 在由等弦推出等弧時(shí)應(yīng)注意：優(yōu)弧與優(yōu)弧相等；劣弧與劣弧相等.3. 垂徑定理(1) 定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧.(2) 推論1 : 平分弦(非直徑)的直徑，垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧. 弦的垂直平分線經(jīng)過(guò)圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧. 平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧.(3) 推論2 :圓的兩條平行線所夾的弧相等.注意：若 過(guò)圓心

6、的直線”、垂直于弦”、平分弦(非直徑)”、平分弦所對(duì)的優(yōu)弧”、平分弦所 對(duì)的劣弧”中的任意兩個(gè)成立，則另外三個(gè)都成立.注意：應(yīng)用垂徑定理與推論進(jìn)行計(jì)算時(shí)，往往要構(gòu)造如右圖所示的直角三角形，根據(jù)垂徑定理與勾股定理有：rd2 (a)2，根據(jù)此公式，在 a , r , d三個(gè)量中知道任何兩個(gè)量就可以求出第2三個(gè)量.目財(cái)匸 例題精講-、圓的相關(guān)概念及性質(zhì)【例1】判斷題：(1 )直徑是弦()(2 )弦是直徑()(3 )半圓是弧()(4 )弧是半圓()(5) 長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧()(6 )等弧的長(zhǎng)度相等()(7) 兩個(gè)劣弧之和等于半圓()(8) 半徑相等的兩個(gè)圓是等圓()(9) 兩個(gè)半圓是等弧()(1

7、0)圓的半徑是 R，則弦長(zhǎng)的取值范圍是大于 0且不大于2R ()【鞏固】如圖，在兩半徑不同的同心圓中,ZAOB EAOB=60 ，則（）A . AB 二 ABB .AB ABC.AB的度數(shù)=AB的度數(shù)D.AB的長(zhǎng)度工AB的長(zhǎng)度【例2】 如圖，點(diǎn)A D、G、M在半圓0上，四邊形ABOC、DEOF、HMNO均為矩形，設(shè)BC = a , EF =b ,NH =c則下列格式中正確的是 （）B. a =b = c【鞏固】如圖，兩正方形彼此相鄰且內(nèi)接于半圓,若小正方形的面積為G216cm ,則該半圓的半徑為 【例3】 如圖，, 02 ,。3 ,。4為四個(gè)等圓的圓心，A, B, C, D為切點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中畫(huà)

8、出一條直 線，將這四個(gè)圓分成面積相等的兩部分，并說(shuō)明這條直線經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)是;如圖，0i,O2 ,O3 ,O4,O5為五個(gè)等圓的圓心，A,B,C ,D , E為切點(diǎn)，請(qǐng)你在圖中畫(huà)出一條直線,將這五個(gè)圓 分成面積相等的兩部分，并說(shuō)明這條直線經(jīng)過(guò)的兩個(gè)點(diǎn)是 .B、圓的性質(zhì)定理1.圓周角定理【例4】 如圖， AOB =80，則弧AB所對(duì)圓周角 ACB的度數(shù)是（ ）A. 40 B. 45 C. 50 D. 80A【鞏固】如圖， OO是ABC的外接圓，已知.ABO=50，則.ACB的大小為A【例5】如下左圖，四個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形拼成一個(gè)大正方形, 為1，P是OO上的點(diǎn)，且位于右上方的小正方形內(nèi)，則【例6

9、】 如圖，量角器外沿上有A B兩點(diǎn)，它們的度數(shù)分別是70，則/1的度數(shù)為 【鞏固】如圖，量角器外緣邊上有的大小為（）A. 10B. 20A, P, Q三點(diǎn)，它們所表示的讀數(shù)分別是 180 , 70 , 30，則/ PAQC. 30 D. 40【例7】 如圖，OO是 ABC的外接圓，已知 /B =60，則乙CAO的度數(shù)是（A. 15B . 30C. 45D . 60AB【鞏固】如圖，AB是L O的直徑,數(shù)為.CD是O O的弦，連接AC, AD，若 CAB =35，則 ADC的度DCBDACABOOBAEDCBDOCOBAEC A如圖，AB為。O的直徑，CD是OO的弦，AB、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn) 求

10、NAOC的度數(shù).E，若 AB 二 DEE =18如圖所示 CD是O O的直徑，.EOD =87，AE交OO于B，且AB =0C，求.A的度數(shù)E如圖，在O O中，ZAOB的度數(shù)為 m , C是ACB上一點(diǎn)，D、E是AB上不同的兩點(diǎn)（不與A B兩 點(diǎn)重合），則N D +NE的度數(shù)為.如圖， AB是 O O 的直徑，CD _AB，設(shè).COD = ，貝U JAB sin2二AD 2【例8】【例10】.右【鞏固】如圖， AB是OO的直徑，弦PC交OA于點(diǎn)D，弦PE交OB于點(diǎn)F，且OC二DC ,OFNC =Ne，則 NCPE =.如圖所示的半圓中，AD是直徑，且 AD =3 ,AC=2，則si nB的值是

11、【例9】【鞏固】如圖， ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在OO上,【鞏固】如圖AB是半圓的長(zhǎng).O的直徑，點(diǎn)C、D在弧EC =30 , AB =2cm，貝U OO 的半徑為AB上，且 AD平分 /CAB ,已知 AB=10, AC =6 ,求AD【例11】如圖所示，在.：ABC中，.C =45 , AB=4，則O O的半徑為(A.2 2D .5B .4 C. 2一3C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)(點(diǎn)C不與A, B重合)，【例12】如圖， ABC是L O的內(nèi)接三角形，點(diǎn) 設(shè).OAB = ： ,. C.(1 )當(dāng):=35時(shí)，求1的度數(shù)；(2)猜想：與之間的關(guān)系，并給予證明.【鞏固】如圖， OO與O P相交于B、C兩點(diǎn)，BC是

12、O P的直徑，且把 O O分成度數(shù)比為 ：2的兩條弧,A是BmC上的動(dòng)點(diǎn)(不是B、C重合)，連結(jié)AB、AC分別交O P于D、E兩點(diǎn). (1 )當(dāng) ABC是鈍角三角形時(shí)，判斷 PDE的形狀.(2) 當(dāng)AABC是直角三角形時(shí)，判斷(3) 當(dāng).IABC是銳角三角形時(shí)，判斷.：PDE的形狀.；PDE的形狀.這種情況加以證明.D【例13】圓Si及S,相交于點(diǎn)A及B .圓Si的圓心O落在S,的圓周上，圓S的弦AC交S2于點(diǎn)D (如圖)， 證明：線段 OD與BC是互相垂直的.【鞏固】?jī)蓤A相交于 A、B , P是大圓O上一點(diǎn)，過(guò) A、P和B、P分別作直線交小圓于 C、D，過(guò)O、P作直徑PE 求證：PE_ CD

13、FE【例14】如圖，已知AB是OO的直徑，點(diǎn)C是O O上一點(diǎn)，連結(jié)BC、AC，過(guò)點(diǎn)C作直線CD _ AB于點(diǎn)D , 點(diǎn)E是AB上一點(diǎn)，直線CE交OO于點(diǎn)F，連結(jié)BF，與直線CD交于點(diǎn)G .求證：BCBG BF .【鞏固】 如圖，已知：在O O中，直徑AB=4，點(diǎn)E是OA上任意一點(diǎn)，過(guò)E作弦CD _ AB，點(diǎn)F是BC上一點(diǎn)，連接 AF交CE于H，連接AC、CF、BD、OD .求證：.ACH s . AFC ; 猜想：AH AF與AE AB的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明你的猜想； 探究：當(dāng)點(diǎn)E位于何處時(shí)，S.AEc：SD 1：4 ?并加以說(shuō)明.【例15】如圖，AB , AC , AD是圓中的三條弦，點(diǎn) E在A

14、D上，且AB =AC =AE .請(qǐng)你說(shuō)明以下各式 成立的理由：(1) /CAD =2/DBE ; (2) ADABBD DC .【鞏固】在ABC中，.ABC =60，點(diǎn)O、H分別是AABC的外心、垂心.點(diǎn) D、E分別在邊BC、AB 上，使得 BD=BH , BE=BO，已知BO =1 .求 姐DE的面積.圖122.圓內(nèi)接四邊形【例16】如圖，AB為L(zhǎng) O的直徑，出以下四個(gè)結(jié)論：.A = 45 ; AC其中正確結(jié)論的序號(hào)是A .C .AC交L O于E點(diǎn)，BC交L O于D點(diǎn)，CD =BD , C =70 .現(xiàn)給二 AB ;B .D . AE =BE ； CE AB =2BD2.【鞏固】已知：如圖，

15、面積為2的四邊形ABCD內(nèi)接于OO ,對(duì)角線AC經(jīng)過(guò)圓心，若/BAD =45, CD =$2則AB的長(zhǎng)等于.C【例17】已知AD是O O的直經(jīng)，AB、AC是弦，若AD =2 , AB = 3 , AC = 2，求由A ,B ,C ,D四點(diǎn) 構(gòu)成的四邊形的周長(zhǎng).BOC 圖1【鞏固】如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓0,對(duì)角線AC是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)P ,AB二BD，且PC =0.6，求四邊形 ABCD的周長(zhǎng).【例18】如圖，四邊形ABCD為正方形，L 0過(guò)正方形的頂點(diǎn) A和對(duì)角線的交點(diǎn) P，分別交AB , AD于點(diǎn)F ,E .(1) 求證：DE =AF(2) 若L 0的半徑為,

16、AB = .2 1，求的值.2EDA EDBC【例19】圓內(nèi)接四邊形 ABCD , AC _BD , AC交BD于E , EG _ CD于G，交AB于F .求證：AF =BF .A【鞏固】圓內(nèi)接矩形 CEDF，過(guò)D作圓的切線 AB，分別與CE、CF的延長(zhǎng)線相交于 A、B，求證:BF BC33AE AC33.圓心角、弧、弦、弦心距之間的關(guān)系【例20】在同圓中,CD的度數(shù)小于180，且AB =2CD，那么弦AB和弦CD的大小關(guān)系為（A. AB CDB . AB = CDC. AB : CDD .無(wú)法確定【鞏固】如圖所示在 OO中，AB =2CD，那么（）A. AB 2CDB. AB： 2C DC.

17、 AB =2CDD. AB與2CD的大小關(guān)系不能確定【例21】已知AB、AC是OO的弦，AD平分/BAC交OO于D，弦DE / AB交AC于P，求證：OP平 分 APD .【鞏固】如圖，過(guò)O O的直徑AB上兩點(diǎn)M , N，分別作弦CD , EF，若 CD / EF , AC =BF .求證：BEC =ADF ；(2) AM =BN .【例22】已知點(diǎn)A、B、C、D順次在AB =BDBMN COO上,BCBI AC于點(diǎn)M，求證:NCAM = DC CM . B【鞏固】在ABC中，AC BC , M是它的外接圓上包含點(diǎn) C的弧AB的中點(diǎn)，AC上的點(diǎn)X使得MX _AC，求證： AX XC CB .A

18、【例23】如圖，ABC是OO的內(nèi)接三角形,AC二BC , D為O O中AB上一點(diǎn)，延長(zhǎng) DA至點(diǎn)E，使1 2 2 CE、CD是關(guān)于x的方程：x 2m-3 -4m 12 -0的兩根. 求證：AE =BD ;若 AC _ BC，求證： AD BD =、. 2CD .COBAD【鞏固】如圖，四邊形 ABCD內(nèi)接于圓，AB二AD，且其對(duì)角線交于點(diǎn).BFC = BAD .若 BAD =2. DFC，求 BE 的值. DEE，點(diǎn)F在線段AC上，使得【例24】已知：如圖，D是Rt ABC中直角邊BC上的一點(diǎn)，以BD為直徑的圓交斜邊 AB于點(diǎn)E，連結(jié)EC 交此圓于點(diǎn) F , BF交AC于點(diǎn)G .求證：GF C

19、A =CF EA .【鞏固】AB是半圓的直徑，C點(diǎn)在圓上，過(guò)點(diǎn) A、B分別作過(guò)C點(diǎn)的切線的垂線 AD、BE, D、E為 垂足，求證：DE? =4AD DE .B)CAI課后作業(yè)1.如圖，AB 是 OO 的直徑，點(diǎn) C、D 在 OO 上，.BOC =110 , AD / OC ,則.AD 二2. 如圖，已知 ACB是L O的圓周角， ACB =50，則圓心角 AOB是（A. 40 B. 50 C. 80 D . 1003.如圖，四邊形ABCD是OO的內(nèi)接正方形，點(diǎn)P是劣弧CD上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，貝BPC的4.5.6.7.度數(shù)是（）A.45B. 60C.75P50，則.C的度數(shù)如圖，CD為OO的直徑，過(guò)點(diǎn) 是（ ）A. 25C.如圖,如圖,如圖,已知AB為O O的直徑,AB是L O的直徑，點(diǎn)CAB是L O的直徑，點(diǎn)CD的弦DE平行于半徑OA ,若.D的度數(shù)是30D . 50.E = 20 , . DBC =50 ，則.CBE,D , E都在L O上，若Z C二Z D,D , E都在L O上，若Z C二Z D二/E，求/A ZB .E，求 Z A ZB .8.如圖，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點(diǎn)A處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是65 .為了臺(tái).監(jiān)控整個(gè)展廳，