《正弦定理、余弦定理的應(yīng)用》教學(xué)案

1、13正弦定理、余弦定理的應(yīng)用教學(xué)案三維目標(biāo)1. 知識與技能( 1)能把一些簡單的實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，并能應(yīng)用正弦定理、余弦定理及相關(guān)的 三角公式解決這些問題；( 2)體會數(shù)學(xué)建模的基本思想，掌握應(yīng)用解三角形知識解決實(shí)際問題的一般步驟；( 3)了解常用的測量相關(guān)術(shù)語 ( 如：仰角、俯角、方位角、視角及坡度、經(jīng)緯度等有關(guān)名 詞和術(shù)語的確切含義 ) ，綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決與測量學(xué)、航海問 題等有關(guān)的實(shí)際問題；( 4)能夠從閱讀理解、信息遷移、數(shù)學(xué)化方法、創(chuàng)造性思維等方面，多角度培養(yǎng)學(xué)生分 析問題和解決問題的能力；( 5)規(guī)范學(xué)生的演算過程：邏輯嚴(yán)謹(jǐn)，表述準(zhǔn)確，算法簡練，書寫

2、工整，示意圖清晰2. 過程與方法(1) 本節(jié)課是解三角形應(yīng)用舉例的延伸，利用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一 些幾何和物理上的問題；( 2)讓學(xué)生進(jìn)一步鞏固所學(xué)的知識，加深對所學(xué)定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進(jìn)一步培 養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力3情感、態(tài)度與價值觀( 1)激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并體會數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值；( 2)培養(yǎng)學(xué)生提出問題、正確分析問題、獨(dú)立解決問題的能力，并在教學(xué)過程中激發(fā)學(xué) 生的探索精神；(3) 培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用圖形、數(shù)學(xué)符號表達(dá)題意和應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想解決數(shù)學(xué)問題的能力 . 重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)： (1) 綜合運(yùn)用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些

3、實(shí)際問題；( 2)掌握求解實(shí)際問題的一般步驟； 難點(diǎn)：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，畫出示意圖體驗(yàn)將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的過程與思想， 認(rèn)識研究實(shí)際問題的方法， 是本節(jié)教學(xué) 的重中之重， 而突破這一重難點(diǎn)的關(guān)鍵在于引導(dǎo)學(xué)生對實(shí)際問題進(jìn)行分析， 抽象出數(shù)學(xué)問題， 再利用解三角形的知識加以解決教學(xué)方案設(shè)計(jì)( 教師用書獨(dú)具 )教學(xué)建議在學(xué)生回憶正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形的基礎(chǔ)上，讓學(xué)生嘗試?yán)L制知識綱目圖. 生活中錯綜復(fù)雜的問題本源仍然是我們學(xué)過的定理，因此系統(tǒng)掌握前一節(jié)內(nèi)容是學(xué)好本節(jié)課的基礎(chǔ). 解有關(guān)三角形的應(yīng)用題有固定的解題思路， 引導(dǎo)學(xué)生尋求實(shí) 際問題的本質(zhì)和規(guī)律，從一般規(guī)律到

4、生活的具體運(yùn)用，這方面需要多琢磨和多體會.測量的主要內(nèi)容是求角和距離，教學(xué)中要注意讓學(xué)生分清仰角、俯角、張角、視角和方位角及坡度、經(jīng)緯度等概念，將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題. 解決有關(guān)測量、航海等問題 時，首先要搞清題中有關(guān)術(shù)語的準(zhǔn)確含義， 再用數(shù)學(xué)語言(符號語言、圖形語言)表示已知條 件、未知條件及其關(guān)系，最后用正弦定理、余弦定理予以解決.能否靈活求解問題的關(guān)鍵是正弦定理和余弦定理的選用，有些題目只選用其一，或兩者混用，這當(dāng)中有很大的靈活性， 需要對原來所學(xué)知識進(jìn)行深入的整理、加工，鼓勵一題多解，訓(xùn)練發(fā)散思維.借助計(jì)算機(jī)等多媒體工具來進(jìn)行演示，利用動態(tài)效果能使學(xué)生更好地明辨是非、掌握方法.引

5、導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟：(1) 分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖；(2) 建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中， 建立一個解斜三角形的數(shù)學(xué)模型；(3) 求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解；(4) 檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解.教學(xué)流程創(chuàng)設(shè)問題情境引導(dǎo)學(xué)生熟悉實(shí)際測量中的有關(guān)術(shù)語，了解它們的使用通過例1及其變式訓(xùn)練使學(xué)生掌握利用正、余弦定理解決測量問題的方法通過例2及其變式訓(xùn)練使學(xué)生掌握利用正、余弦定理解決航海問題的方法通過例3及其變式訓(xùn)練使學(xué)生掌握正、余弦定理在平面幾何問題中的

6、應(yīng)用結(jié)合三個例題，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)解斜三角形應(yīng)用題的一般步驟歸納整理，進(jìn)行課堂小結(jié)，整體認(rèn)識本節(jié)課所學(xué)知識完成當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)，鞏固所學(xué)知識并進(jìn)行反饋矯正課前自主導(dǎo)學(xué)課標(biāo)解讀1. 鞏固正、余弦定理的應(yīng)用，熟練掌握解三角形的步驟與過程.（重點(diǎn)）2. 能夠運(yùn)用正、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際冋題.（難點(diǎn)）知識頭際測量中的有關(guān)術(shù)語【問題導(dǎo)思】小明出家門向南前進(jìn)200米，再向東前進(jìn)200米，至U達(dá)學(xué)校上課.1 小明的學(xué)校在家的哪個方向？【提示】東南方向.2能否用角度確定學(xué)校的方位？【提示】 能.名稱定義圖示仰角在冋一鉛垂平面內(nèi)，視線在水平線上方時與水平線的夾角續(xù)表名稱定義圖示俯角在冋

7、一鉛垂平面內(nèi)，視線在 水平線下方時與水平線的夾角方向角從指定方向線到目標(biāo)方向 線的水平角（指定方向線是指正 北或正南或正東或正西， 方向角 小于90南偏西60（指以正南 方向?yàn)槭歼叄?轉(zhuǎn)向目標(biāo)方 向線形成的 角）方位角從正北的方向線按順時針 到目標(biāo)方向線所轉(zhuǎn)過的水平角課堂互動探究類型1測量問題例1如圖1-31所示，在塔底B處測得山頂C的仰角為60圖131在山頂C測得塔頂A的俯角為45已知塔高AB為20 m,求山高CD（精確到0. 1 m）【思路探究】 D（可放到厶BCD中，要求CD已知/ DBC= 60 / CDB= 90所以只需 求BD或CB在厶AB（中，AB勺長度已知，三個內(nèi)角都可以求出，

8、所以可求得 CB則Cd CB-s in 60【自主解答】由條件知/ DBC= 60 / ECA= 45/ ABC 90 60= 30 / ACB 60 45= 15 ,/ CA= 180 （ / ABQ-Z ACB = 135BCAB在 ABC中,由正弦定理得sin 135 = sin 15 ,AB- sin 135 20x 240二 BC= sin 15 = 1=3 1.4樂-衣7在Rt BC中,40/3CD BC- sin / CB=書x 2 47. 3（m）.山高C喲為47.3 m.規(guī)律方法1. 本例是典型的測量高度問題，抽象出平面圖形，并且將相應(yīng)數(shù)據(jù)聚化到相應(yīng)三角形 中，十分關(guān)鍵.2.

9、 測量高度的有關(guān)問題，大部分都是轉(zhuǎn)化為同一鉛垂面上的解三角形問題，但也有轉(zhuǎn) 化為立體圖形的問題.變式訓(xùn)練如圖1-3-2所示，空中有一氣球 C,圖1-32在它的正西方A點(diǎn)測得它的仰角為45同時在它的南偏東60的B點(diǎn)，測得它的仰角為3 0 A, B兩點(diǎn)間的距離為266米，這兩個測點(diǎn)均離地1米，則氣球離地多少米？【解】設(shè)0C= x,則 OA= x, OB= x tan 60= 3x.在厶 AO中，/ A0= 90 + 60= 150 AB= 266,所以 A= OA+ OB - 2OA OBios / AOB=x2 + 3x2 2x 3x （ ） = 7x2,所以 x= TAB= T X 266=

10、38 7（米），所以氣球離地（38,7 + 1）米.類型2航海問題例2甲船在A處遇險，在甲船西南10海里B處的乙船收到甲船的報警后，測得甲船是沿 著東偏北105的方向，以每小時9海里的速度向某島靠近，如果乙船要在40分鐘內(nèi)追上甲船,問乙船至少應(yīng)以什么速度、向何方向航行？【思路探究】畫圖t分析三角形滿足條件t選擇定理列方程t求相關(guān)量t作答【自主解答】如圖所示：設(shè)乙船速度為v海里/小時，在C處追上甲船，/ BAC= 45 180 105 = 120在厶AB(中，由余弦定理得，BC= AC+ A8 2AC AB- cos / BA(2 2 2(3v) 2= ( 3 x 9)2+ 102 2 x 3X

11、 9x 10x cos 120,整理得v= 21.BC AC又由正弦定理可知 sin Z BAC= sin B，2AC- sin Z BAC 3x9坐sin B=BC = 2 x sin 120 = 14 ,3 x 21 B 2147.即B應(yīng)以每小時21海里的速度，按東偏北 45。+ 21 47= 667的角度航行.規(guī)律方法1 根據(jù)題意，恰當(dāng)?shù)禺嫵鋈切问墙忸}的基礎(chǔ)，將已知線段數(shù)量和角度，轉(zhuǎn)化為要解三角形的邊長和角度，是解題的關(guān)鍵.2有關(guān)角度問題，一般要涉及到方位角、方向角等概念，對這些數(shù)據(jù)，要恰當(dāng)轉(zhuǎn)化，合理運(yùn)用.變式訓(xùn)練在海岸A處發(fā)現(xiàn)在其北偏東45。方向，距A處(3 1)海里的B處有一艘走私

12、船，在 A處北偏西75方向，距A處2海里的C處的緝私船以10 ,3海里/時的速度追走私船，此時走私船正以t小時，則C10海里/時的速度從B處向北偏東30。方向逃竄，則緝私船沿什么方向能最快追上走私船？并 求出所需要的時間.【解】由題意畫出示意圖如圖所示，設(shè)緝私船最快追上走私船所需時間為D= 10 :3t, BD= 10t.在 AB（中, AB= ,3- 1, AC= 2，/ BAC= 45+ 75 = 120BC=：aC+ aB 2AC ABCos / BAC=;22+3 1 2 2X 2X . 3 1 X cos 120 =,6.BCACt sin / BAC= sin / ABC邁廠ACi

13、n Z BAC 2 X 2 業(yè) sin / ABC=BC =6 = 2 .tZ BAC= 120 / ABC= 45 B（與正北方向垂直, Z CB= 90 30 120.BDCD在厶BC中，由正弦定理得sin Z BCD= sin Z CBDBtsin Z CBD 10t sin 120 1所以sin Z BCD=CD =10 3t= 2. Z BC= 30或Z BC= 150 （舍去）,_i_6 Z BDC= 30 , . BD= BC= /6, 10t = 6, t = 10 ,緝私船沿北偏東60方向行駛能最快追上走私船，所需時間為10小時.類型3平面幾何問題例3 如圖 1 3-3所示，

14、在 AB（中, AC= b, BC= a, 2av b,AB（內(nèi)一點(diǎn)，且 A圖133D= a,/ ADBF C=n,問C為何值時，凹四邊形 ACB的面積最大？并求出最大值.【思路探究】 在三角形AB和三角形AB（中分別運(yùn)用余弦定理，可先求出邊BD勺長，進(jìn) 而表達(dá)出凹四邊形 ACB的面積.【自主解答】設(shè)BD= x，在 AB（和 ABDL根據(jù)余弦定理，得A= a2 + b2 2abcos C,A= a2+ x2 2axcos / ADB= x2+ a2 + 2axcos C, a2 + b2 2abcos C= x2 + a2 + 2axcos C,即 x2 + 2ax cos C+ （2acos

15、 C- b） b = 0,解得 x= b 2acos C,或 x= b（舍去）.于是凹四邊形ACB的面積1 1S= Sab Sabd= 2absin C 2axsin / ADB1 1 1=absin C ?a（b 2acos C）sin C= ?a2sin 2C.n1當(dāng)C= 7時，凹四邊形ACB的面積最大，最大值為 2a2，此時BD= b 2a.規(guī)律方法1本例中，以角C為自變量，將凹四邊形 ACB的面積表示為角（勺三角函數(shù)，從而求解最值問題.2求解平面圖形的面積最值問題，關(guān)鍵是恰當(dāng)?shù)卦O(shè)立角度為自變量，建立目標(biāo)函數(shù).變式訓(xùn)練如圖1-3-4所示，已知扇形 OAB圖1-34O為頂點(diǎn)，圓心角/ AO

16、B= 60半徑為2 cm,在弧ABh有一動點(diǎn)P,由P引平行于0B勺直 線和0A相交于C,/ AOP=卩.求厶PO（的面積的最大值以及此時的卩值.【解】/ PC/ OB/ ACP=/ AOB= 60/ PCO= 120, / OPC= 60 卩.在厶OC中，由正弦定理得OPOCsin 120 = sin 60 卩，OPin60 卩 2sin 60 卩OC=sin 120 = sin 120 ，11 2sin 60 卩SLoc2 OC- Ofsin 卩=2X sin 12 0 x 2sin 卩2sin 卩 sin 60 卩 .：3sin 卩 cos 卩sin 2 卩=sin 120 =sin 12

17、0 31 cos 2 卩12 sin 2 3 一 2cos 2 3 一 60 一 2sin 120sin 1202cos 2 3 - 60 1= 3 .故當(dāng) cos( 2 3 60) = 1，即當(dāng) 2卩=60 3 = 30 時,& oc有最大值3 cm2.易錯易誤辨析過程不嚴(yán)謹(jǐn)，靠主觀臆判而致誤典例 如圖1 3 5所示的是曲柄連桿裝置示意圖，連桿AO c,圖135曲柄AB和曲軸BL所成的角為a ,連桿AC和曲軸BL間的夾角為3,則a取什么值時，sin3最大？【錯解】點(diǎn)A在圓B上運(yùn)動，要使3，即/ AC最大，只需點(diǎn)A在最高或最低點(diǎn)即可，r 此時， AB（中, Z ABC= 90，即 a = 90

18、時，AB= r， AC= c， sin 3= sin / ACB= c為所求的最大值.【錯因分析】上述解答中想當(dāng)然地認(rèn)為點(diǎn) A在最高或最低點(diǎn)時，sin 3最大，雖然結(jié)論正確，但過程不嚴(yán)謹(jǐn).【防范措施】建立目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)最值問題，定量分析.AB AC【正解】在厶AB（中，由正弦定理，得 爲(wèi)下 =二，r_ sin 3 = csin a .由對稱性可知，只需討論 a 0， n 即可.rr/ sin卩=CsinC，當(dāng)且僅當(dāng)sinna = 1，即a = 2時，sin卩最大.1. 基礎(chǔ)知識：(1) 有關(guān)術(shù)語：仰角、俯角、方向角、方位角；(2) 利用解三角形，求解實(shí)際應(yīng)用題的方法及步驟.2. 基本

19、技能：(1) 測量問題；(2) 航海問題；(3) 力學(xué)問題；(4) 最值問題.3思想方法：(1) 函數(shù)思想；(2) 轉(zhuǎn)化思想；(3) 數(shù)形結(jié)合思想.當(dāng)堂雙基達(dá)標(biāo)1從A處望B處的仰角為a，從B處望A處的俯角為卩，則a,卩的關(guān)系是 【解析】如圖所示， AD/ BC a =卩.【答案】a = 32.如圖1 3 6所示，A、B兩點(diǎn)中間有座山，從點(diǎn) C觀測，AC= 60 m, BC= 160 m,Z ACB= 60 則 AB=.圖136【解析】AB= _ cA+ cB 2CA CBJOS C=602+ 1602 2X 60x 160X cos 60 = 140(m)【答案】 140 m3. 有一長為10

20、 m的斜坡，坡角為75 在不改變坡高和坡頂?shù)那疤嵯?，通過加長坡面的方法將它的坡角改為30則坡底要延長 m.【解】如圖所示，設(shè)將坡底加長到 B時，坡角為30依題意，/ B = 30 / BAB= 45, AB= 10 m.BB sin / BAB在厶ABB中，根據(jù)正弦定理得 AB = sinB ,AESi n 45 則 BB= sin 30 10X 21=10 2(m),即當(dāng)坡底伸長10. 2 m時，斜坡的坡角將變?yōu)?0【答案】10 2圖1374如圖1 3 7所示，某人在塔的正東 C處沿著南偏西60。的方向前進(jìn)40 m到D處以后,望見塔在東北方向若沿途測得塔的最大仰角為30求塔的高度.【解】 在

21、厶 BD(中, CD= 40 m,Z BCD= 90 60 = 30/ DB= 45+ 90 = 135CDBD由正弦定理，得 sin / DB= sin / BCDCD- sin / BCD 40sin 30 _二 BD= sin Z DBC = sin 135 = 20 . 2(m) AB在Rt ABEK tan Z AEB= BE AB為定值，故要使Z AE最大,即 BE! CD 這時Z AEB= 30在Rt BED,Z BDE= 180 135 30= 15 BE= BD- sin Z BDE= 20 2sin 15=10( 3 1)(m).在 Rt ABEK AB= BE:an Z

22、AEB=10( 3 1)tan 3010=7(3 .3)(m),10即塔的高度為y(33)m.課后知能檢測一、填空題1 在相距2千米的A B兩點(diǎn)處測量目標(biāo)點(diǎn) C,若Z CAB= 75 之間的距離為千米.【解析】Z ACB= 180 75 60 = 45，由正弦定理得2sin 45 ，AO 6.【答案】 ，62在200米高的山頂上，測得山下一塔頂與塔底的俯角分別是需要BE最小.Z CBA= 60 則 A、C兩點(diǎn)ACABsin 60 = sin 45 =30。和60 則塔高為_米.【解析】如圖所示，在Rt EBDh/ DBE= 60 BE= 200x 亍，在 Rt CB中, CE= BEtan 3

23、0200 “33200=3 x V = 丁，400CD= （米）400【答案】T3. CD是京九鐵路線上的一條穿山隧道，開鑿前，在C時在水平面上的山體外取點(diǎn) A B,n2并測得四邊形 ABC中，/ ABO7，/ BAD= 3 n, AB= BO 400米，AD= 250米，則應(yīng)開鑿的隧道CD的長為.n【解析】如圖所示，在 AB（中, AB= BC= 400米，/ ABC=3，二 AC= AB= 400米，/n2 n n nBAO 3/ CAD=Z BAD-Z BAO T 3 =虧.在厶 CA中，由余弦定理，得 CD= AC+ AD 2AC- AD- cosZ CAD= 4002+ 2502 2

24、 - 4n00 - 250 - cos 3 = 122500,.CD= 350（米）.【答案】350米4. 某人朝正東方向走x km后，向朝南偏西60 勺方向走3 km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好.3 km,那么x的值為.【解析】如圖所示，Z ABC= 90 60= 30.（ 3）2= 32 + x2 2x 3xcos 30- x2 3*j3x+ 6= 0 x= _ 3 或 2 3【答案】3或2 35如圖1 3 8所示，甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東 60。的方向，兩船相距a 海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的勺倍，甲船為了盡快追上乙船，則應(yīng)取北偏東（填角度）的方向前進(jìn).【解析】圖138由

25、題意知，AC=Q5BC / ABC= 120由正弦定理知，BCACsin Z CAB= sin 120 ,1 sin Z CAB= 2,Z CAB= 30 Z CAD= 60 30= 30【答案】301000 m長的直線型通道，中國并且從中國館看世博軸兩端m.6. （2013 威海高二檢測）上海世博園中的世博軸是一條 館位于世博軸的一側(cè).現(xiàn)測得中國館到世博軸兩端的距離相等，的視角為120據(jù)此數(shù)據(jù)計(jì)算，中國館到世博軸其中一端的距離是【解析】如圖所示，設(shè) A B為世博軸的兩端點(diǎn)，C為中國館，由題意知/ ACB= 1201 000 護(hù) 且 AC= BC 過 C作 AB的垂線交 AB于 D 在 Rt

26、CB中, DB= 500 m, / DCB= 60 a BC= m.1000卡【答案】飛亠7.有一兩岸平行的河流，水速為 1 m/s，小船的速度為2m/s，為使所走路程最短，小船應(yīng)朝方向行駛.【解析】如圖所示，AB是水速，AD為船速，AO船的實(shí)際速度，且 ACL AB在Rt AB（中, cosAB AB丄亞/ ABC= BC= AD=2= T，/ ABC= 45 az DAB= 90 + 45 = 135【答案】與水流向成135&一艘船向正北航行，看見正西方有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60另一燈塔在船的南偏西 75則這只船的速度是每小時

27、海里.【解析】先畫出示意圖，設(shè)半小時行程為s海里，所以sta n 75。一 s -ta n 60。= 10,即（2+羽）s一 3s = 10， s = 5,速度為10海里/時.【答案】 10二、解答題9在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場形勢，在兩圖1一39V3a個相距為 2的軍事基地C和D測得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在 A處和B處，且/ ADB= 30,/ BD= 30 / DC= 60 / ACB= 45如圖1 3 9所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離.【解】/ AD（=Z ADBHZ CDB= 60 又/ AC= 60 / DAC= 60 AD= CD= AC=Ta.在厶 BC中，/ DBC

28、= 180 30 - 105 = 45DBCDsin / BC= sin / DBCsin / BCD BD= CD- sin Z DBCV6+V2,3_4_3+ ,3=Ta ;2 = CaT在厶AD中，/ AR= AD2+ BD 2 - AD- BD- cos Z ADB33 + 33+ 】 空 3=4a2 + （4 a）2 2x 2 a -4 a - 2 = 8a2,6J 6 AB= 7a,.藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離為Ta.10.某海上養(yǎng)殖基地 A接到氣象部門預(yù)報，位于基地南偏東60。相距20（3+ 1）海里的海面上有一臺風(fēng)中心，影響半徑為20海里，正以每小時10 2海里的速度沿某一方向勻

29、速直線前進(jìn)，預(yù)計(jì)臺風(fēng)中心將從基地 A東北方向刮過且（.3+ 1）小時后開始影響基地 A,持續(xù)2小 時求臺風(fēng)移動的方向.【解】如圖所示，設(shè)預(yù)報時臺風(fēng)中心為B,開始影響基地A時臺風(fēng)中心為C,基地A剛好不受影響 時臺風(fēng)中心為D,則B C、D在一直線上，且 AD= 20, AC= 20.由題意得 AB= 20（ :3 + 1） , DC= 20 ：2, BC= （ ：3 + 1） 10 2.在厶AD（中,DC= AD2+ AC,/ DAC= 90 / AD& 45在厶AB（中，由余弦定理得aC+ aB- bC 護(hù)cos Z BAC= 2AC- AB = 2，/ BAC= 30又 B位于 A南偏東 60

30、 60+ 30 + 90 = 180 D位于A的正北方向，又/ AD= 45臺風(fēng)移動的方向?yàn)橄蛄?CD勺方向，即北偏西45方向.11 某建筑工地上，一工人從廢料堆中找到了一塊扇形薄鋼板，其半徑為R中心角為60該工人決定將此廢鋼板再利用，從中截一塊內(nèi)接矩形小鋼板備用，如圖1-3- 10所示，問：他應(yīng)怎樣截取，會使截出的小鋼板面積最大？(1) (2) 圖 1 - 3 - 10【解】 在圖(1)中，在 AB上取一點(diǎn)P,過P乍PNL OAF N,過P作 PQL Pt交OBF Q 再過Q乍 QML OAF M設(shè)Z AO= x, PNh FSin 乂，在厶 PO中,OP PQ由正弦定理，得 sin 180

31、- 60= sin 60- x 2 ;3 PQ= 3 Rsin( 60 x),2 艮4 .S= PN- PQ 3 pRsn x sin(60 x) = 3 R2cos( 2x 60 cos 60 (23)F2，作/ AO= 30,按圖(1)劃線所截得的矩形小鋼板面積最大.教師備課資源備選例題如圖所示，墻上有一個三角形燈架OAB燈所受重力為10 N, OA O都是細(xì)桿，只受沿桿方向的力，試求 桿OA 0B所受的力的大小.(精確到 0. 1 N)(sin 50* 0.77, sin 70* 0. 94)【思路探究】根據(jù)力的合成與分解法則建立數(shù)學(xué)模型，將物理學(xué)中的問題轉(zhuǎn)化為解三角形問題.【自主解答】

32、設(shè)C點(diǎn)沿OET向所受到的力為F,作OG F,將F沿A到O, C到B的兩個方向進(jìn)行分解，即作？OCED設(shè)OD= CE= Fi, OC= F2,由題設(shè)條件可知：|OE = 10,/ OCE= 50 / OE& 70/ COE= 180 50 70 = 60在厶OC中，由正弦定理得：丨F|丨刊丨F2|sin 50 = sin 60 = sin 70 ，10sin 60 10sin 70 -1 F1| = sin 50 11.2, I F2| = sin 50 122.答：燈桿AO所受的力的大小為11.2 N，燈桿。翫受的力的大小為12.2 N.規(guī)律方法1用數(shù)學(xué)知識研究物理問題的方法是：首先把物理問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，即將物理量 之間的關(guān)系抽象成數(shù)學(xué)模型，然后利用建立起來的數(shù)學(xué)模型解釋和回答相關(guān)的物理現(xiàn)象.2正弦定理、余弦定理在力學(xué)問題中經(jīng)常用到，畫出受力分析圖，轉(zhuǎn)化為解三角形的 問題進(jìn)行求解.備選變式平面內(nèi)三個力Fi、F2、F3作用于同一點(diǎn)且處于平衡狀態(tài)，已知| Fi| = 1 N, | F2| =2N , Fi與F2的夾角為45求F3的大小及Fi與F3的夾角.【解】如圖所示，設(shè)Fi與F2的合力為F,則|F| = | F3| ,/ A0= 45 aZ OA= 135.在AOA中，由余