非線性動力學導論講義(分岔理論)

1、非線性動力學導論講義(分岔理論) 非線性動力學導論 之四：分岔基本理論簡介 北京理工大學宇航學院力學系 岳寶增 第三章 非線性動力學系統(tǒng)分岔基本理論 一.一般系統(tǒng)平衡解的穩(wěn)定性 (1) 二.平衡解的穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形 于 平面擺的例子可以用來很清楚地解釋全局穩(wěn)定（不穩(wěn)定）流形的概念；平面擺作為二階動力學系統(tǒng)和諧振子極為相似。其動力學方程為： 其中M代表質量，l 表示擺長，g 為重力加速度，c為阻尼系數。 對時間進行尺度變換 定義 （或直接假設 ）及 d 可以得到系統(tǒng)的簡化方程： d 因為 是從鉛錘位置開始的角度位移，因此該變量具有周期2;由此可知該系統(tǒng)的相空間為圓柱面。我們也可以假設 ，從而

2、從相圖上可以觀測到系統(tǒng)關于X的周期特性。為了分析系統(tǒng)的動力學特性，首先確定系統(tǒng)的平衡點并研究其穩(wěn)定性?？汕蟪鱿到y(tǒng)的平衡點為： 及 求出系統(tǒng)的雅可比矩陣為： 對應于平衡點 有： 其特征值為： 如果d=0則得到特征值i；對于較小的d值系統(tǒng)有共軛復根。對應于平衡點（2k+,0）系統(tǒng)的雅 可比矩陣為： 其特征值一對符號相反的實數： 根據以上討論可知：平衡點（2k+,0）為鞍點，當d=0時，其對應的特征向量為： 及 對于較小的的d>0,平衡點（2k,0）為吸引子-螺旋 旋線）；d=0時該類平衡點所對應的是非雙曲點。由于此時系統(tǒng)不受摩擦（阻尼）影響，單擺將做周期運動。因此，在平衡點附近，系統(tǒng)的動力學

3、特性為： 無阻尼d=0 阻尼d>0 d=0時,所對應的一類周期運動是單擺做上下擺動；另一類周期運動是單擺由穩(wěn)定及不穩(wěn)定流形通過倒立位置 位置的運動。如果單擺幾乎剛好處于倒立位置時（不穩(wěn)定），它將倒回并再次回擺到幾乎剛好倒立的位置。這意味著穩(wěn)定流形與不穩(wěn)定流形將有如下圖所示的聯(lián)接：單擺沿逆時針方 向穿越倒立位置。 單擺沒有穿越倒 立位置。 單擺沿順時針方 向穿越倒立位置。 在有阻尼的情形下，實際上所有的初始條件所確定的運動將趨于下垂平衡位置。例外情形是穩(wěn)定流形所對應的運動，由趨于倒立位置的所有點組成。 所有初始條件將終止 于平衡點 三.分岔的基本概念 對于一個非線性方程，由于其中參量取值不

4、同，解的形式可能完全不同，即參量取值在某一臨界值兩側，解的性質發(fā)生本質變化(例如平衡狀態(tài)或周期運動的數目和穩(wěn)定性等發(fā)生突然變化)。人們稱解在此臨界值處出現分岔。分岔現象是非線性系統(tǒng)特有的一種非常重要的性質。 1.分岔和結構穩(wěn)定性 以范德玻（Van der Pol）方程為例來討論分岔現象。Van der Pol方程是最簡單而又具有典型意義的由 范德玻在研究電子管振蕩和模擬人的心臟搏動的基礎上提出的，該方程的解代表一種典型的非正弦形式的振蕩。 ?x?(x?1)?x?0x ?1?x2?x?22?x?x?(1?x)x112?222 ? 分岔的概念?f(x,?)x 如果參量 在其某一值 鄰近微小變化將引

5、起解（運動）的性質（或相空間軌線的拓撲性質）發(fā)生突變，此現象即稱為分岔（或分叉、分歧、分支），此臨界值稱為分岔值。不引起分岔的點稱為常點。? 結構穩(wěn)定性 結構穩(wěn)定性（structural stability）表示在參量微小變化時，解不會發(fā)生拓撲性質變化（解的軌線仍維持在原軌線的領域內且變化趨勢也相同）。 反之，在分岔點附近，參量值的微小變化足以引起解發(fā)生本質（拓撲性質）變化，則稱這樣的解是結構不穩(wěn)定的。結構不穩(wěn)定意味出現分岔。 從本質上分析，失穩(wěn)是發(fā)生分岔的物理前提。分岔之后，系統(tǒng)不同狀態(tài)間便發(fā)生不連續(xù)的過渡，這就是突變。然后經過不斷地分岔，最后達到的終態(tài)即混沌理論的研究對象。 分岔是非線性領

6、域的重要理論。主要研究內容包括分岔點位置，分解方向與數目；分岔解的穩(wěn)定性；分岔類型和分岔過程與終態(tài)的奇異吸引子等等。 例：一水平細棒（竹、木或鋼的），右端固定，從左端加一水平方向力F，考慮棒的形狀如何變化。這是Euler在1744年研究的一個問題，F 它是一個最簡單的分岔現象。 分析：當F較小時，棒雖受壓，但仍能維持水平位置而無形變。繼續(xù)加大F，當F達到某一臨界值時，棒將突然彎曲。設棒只能在豎直面內運動，則它既可能向上彎曲，也可能向下彎曲。若用棒的中點偏離原水平位置的距離x標志棒的形變，則棒的形狀在F的臨界值處發(fā)生了突變，平衡點也由原來的一個變?yōu)槿齻€。 F P 特別有意思的是，Euler桿向哪

7、一邊彎曲是一不確定問題，其中包含有隨機因素的作用，甚至取決于初始擾動和漲落。 雙星裂變 雙星裂變理論是由Newton最早在關于地球形狀的研究中撰寫的工作。當時很多人對地球的形狀究竟是長橢球（東西扁）還是扁橢球（南北扁）意見紛爭，各執(zhí)一詞。其中Cassimi認為是東西扁，而Newton則堅持認為南北扁。 我們假設地球不轉動（自轉）時， 它應該是一個圓球，其三個半軸均 為相等，有a=b=c。然而正由于地球 有自轉特性，所以首先肯定地球是 扁的，如右圖所示。 麥克勞林采用轉動的角動量作為控制參數。他在1742年用非線性理論論證了Newton看法正確，即當很小時，地球是一個南北扁的扁球(a=b>

8、c)，世稱麥克勞林橢球。 1834年雅可比進一步研究，當時>0.384436，麥克勞林橢球變得不穩(wěn)定而分岔出一個雅可比橢球(a>b>c )，如圖所示。 雅 可 比 橢 球 直到1883年，湯姆遜(Thompson)和泰特(Tait)在研究論證發(fā)現，當繼續(xù)增大時，雅可比橢球再一次不穩(wěn)定又分岔出中間薄兩頭厚的梨形球，如圖所示。 Thompson-Tait梨形球 由此，產生了彭加勒的猜想：從雅可比橢球到Thompson梨形球可能是雙星分裂的原因，這個問題至今仍在研究之中。 哈勃望遠鏡拍下兩星系“挽臂”旋轉 2.分岔的分類 ? 非線性方程解的拓撲性質在參量取臨界值時發(fā)生突變（結構不穩(wěn)

9、定），這樣的分岔稱為動態(tài)分岔。? 非線性方程的定態(tài)數目在參量的臨界值處發(fā)生突變，這樣的分岔稱為靜態(tài)分岔。 靜態(tài)分岔可以看作動態(tài)分岔的一種特殊情形，而靜態(tài)分岔（定態(tài)數目的突變）往往要引起動態(tài)分岔（方程的解包括非定態(tài)解的拓撲性質發(fā)生突變）。? 分叉點與極限點 我們把帶有控制參數的動力系統(tǒng)可表示為微分方程： () ( ) 此外，若分岔解中一支是極限的，則稱之為分岔-極限點，如下圖所示中的C點。 顯然：在分岔點曲線兩側拓撲結構完全不同，并發(fā)生了不穩(wěn)定的變化；而極限點曲線兩側只是解的個數發(fā)生變化。 當系統(tǒng)含有多個參數時，例如兩個參數（?，?）。此時，我們可以對每一固定的? ，找出的分岔點和極限點；于是，

10、就可在參數平面?-?畫出分岔點曲線?（?）和極限曲線。下圖即表示分岔圖。 三種基本分岔原型 我們知道Jacobi矩陣的本征值確定系統(tǒng)狀態(tài)的穩(wěn)定性。對于一般動力系統(tǒng)，控制參數的變化會引起本征值的變化，即（）。 當控制參數達到分岔參數值時，系統(tǒng)穩(wěn)定性發(fā)生質的變化，它可以表現為在復平面的運動。由此也可以定義三種分岔原型。 十分明顯，叉型分岔和鞍-結分岔是實分岔，而霍夫分岔是復分岔，不論哪一種分岔，它們在分岔點均滿足： 上式表明，本征值在分岔點是運動的。 ? 叉形分岔（pitchfork bifurcation） . 下 對于平衡點x=0，=(實數),則當<0時<0,故此平衡態(tài)穩(wěn)定；而當&

11、gt;0時, >0,故不穩(wěn)定。 對于平衡點x=1/2（ >0 ），=-2<0,故此平衡態(tài)穩(wěn)定。所以，當參數由負變正時，Jacobi陣的特征值（實的）沿復平面實軸穿過虛軸。故知狀態(tài)x=0將由穩(wěn)定變成不穩(wěn)定，且分岔出新的平衡態(tài)x=1/2，這正是叉形分岔的情形。 。如下圖所示。 （b） ? 霍普夫分岔（Hopf bifurcation）-平衡點的動態(tài)分岔 以上結果 并且還存在 在動態(tài)分岔中，較重要的是由于定點穩(wěn)定性突然變化而出現極限環(huán)的霍普夫分岔（Hopf bifurcation）. 穩(wěn)定點分岔得到穩(wěn)定極限環(huán)。 要驗證上述分岔條件，須將前述的分岔條件推廣到兩維情形，即 （*） 同時

12、須滿足式（*） 除了上面介紹的三種分岔基本原型外，還存在有三種基本分岔方式，即超臨界（Supercritical）分岔、亞臨（Subcritical）分岔和跨臨界（Transcritical）分岔。 若記c為的臨界值（即在=c時出現分岔）,則當<c時,平衡態(tài)的一支是穩(wěn)定的,而到了=c時變成不穩(wěn)定的了,且新的平衡態(tài)分支在>c是穩(wěn)定的.則稱超臨界分岔。如新的平衡態(tài)分支在>c是不穩(wěn)定的，則稱亞臨界分岔。 顯然以上討論的叉形分岔及霍夫分岔都是超臨界分岔。對于以上討論的叉形分岔的例子，考慮其一種對稱情形，即： 分岔圖如有下圖所示。 分岔分支與原來的穩(wěn)定 點分別位于分岔點的同側。 同樣對

13、于以上討論的霍夫分岔的例子，考慮其一種對稱情形，即： ? 跨臨界分岔（transcritical bifurcation） (a)1a (a)式 (b) 例：一圓管圍成半徑為 的大圓環(huán)以不變角速度 繞 軸轉動，管內有一質量為 的小球，可以在大圓環(huán)上自由滑動（如圖）。不計管與小球的摩擦，試確定小球的相對平衡位置及在該位置的穩(wěn)定性。 R 其中o表示穩(wěn)定，x表示不穩(wěn)定。 根據以上結果，還可以得出以下結論 ? 分岔出來的解（分岔分支解）與原來穩(wěn)定定態(tài)解（參考分支）在同一側的分岔為亞臨界分岔（subcritical bifurcation）. ? 分岔出來的解（分岔分支解）與原來穩(wěn)定定態(tài)解（參考分支）分別處于分岔點的兩側為超臨界分岔（supercritical bifurcation）. ? 亞臨界霍普夫分岔形成的極限環(huán)總是不穩(wěn)定的，而超臨界霍普夫分岔形成的極限環(huán)總是穩(wěn)定的。 ? 一個（穩(wěn)定）極限環(huán)的鄰域不可能有另外的極限環(huán)，因為其鄰域的其他軌道都要趨于它。這