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1、函數(shù)的微分(之一,第三節(jié),三、微分公式與微分運算法則,四、微分的應(yīng)用,一、微分的概念,二、微分的幾何意義,邊長由,一、微分的概念,引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少,設(shè)薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,面積的增量為,關(guān)于x 的線性主部,故,當 x 在,取,變到,其,的微分,定義: 若函數(shù),在點 的增量可表示為,A 為不依賴于x 的常數(shù),則稱函數(shù),而 稱為,記作,即,在點,可微,注：(1) dy 是關(guān)于增量x的線性函數(shù),2) A是與x無關(guān)的常數(shù)，但與f (x)和x0有關(guān),例如：設(shè)函數(shù)y=x3在x0處的改變量為x時，求函數(shù),4)當A0時，dy與y是等價無窮小,

2、在x0處的微分dy,解,是比x高階的無窮小,定理 : 函數(shù),證: “必要性,已知,在點 可微,則,故,在點 可導,且,在點 可微的充要條件是,在點 處可導,且,即,定理 : 函數(shù),在點 可微的充要條件是,在點 處可導,且,即,充分性,已知,即,在點 的可導,則,說明,從而,導數(shù)也叫作微商,即自變量的微分d x 就是自變量的增量x,例1,求,在,時的微分,例2. 求y=x3在x=2處的微分,處的微分,解,故,解,以及當x=0.1時在x=2,二、微分的幾何意義,微分的幾何意義是,三、 基本初等函數(shù)的微分公式與微分運算法則,求法: 計算函數(shù)的導數(shù), 乘以自變量的微分,1.基本初等函數(shù)的微分公式（P4

3、6,2.四則運算微分法則,設(shè) u(x) , v(x) 均可微 , 則,C 為常數(shù),均可導,的微分為,3. 復(fù)合函數(shù)的微分法則,則,一階 微分形式不變性: 無論u是自變量還是中間變量, 微分形式 保持不變,例3,解,例4. 已知,求,解,例5. 設(shè),求,解: 利用一階微分形式不變性 , 有,例6. 在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立,說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容,數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性,注意,四、微分在近似值計算中的應(yīng)用,當,很小時,得近似等式,1,2,3,1. 近似計算,的近似值,解: 設(shè),例7. 求,很小,證明,令,代入(4)式得,常用近似公式,特別當,很小時,在(3)式,4,的近似值,解,例8. 計算,內(nèi)容小結(jié),1. 微分概念,微分的定義及幾何意義,可微,可導,2. 微分運算法則,微分形式不變性,u 是自變量或中間變量,3. 微分的應(yīng)用,近似計算,練習,練習題2.3(P4

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