機(jī)器人原理與應(yīng)用3

1、東北大學(xué)人工智能與機(jī)器人研究所 2016.9,第三章 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng),2,機(jī)器人是個(gè)復(fù)雜的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)，它的每一個(gè)動(dòng)作都是各個(gè)元部件共同作用的結(jié)果,3,3.1 位置與姿態(tài) 3.2 正交坐標(biāo)系 3.3 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示 3.4 齊次坐標(biāo)變換 3.5 機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng),為了系統(tǒng)地、精確地描述各個(gè)元部件的作用以及它們之間的關(guān)系，需要引入一套機(jī)器人坐標(biāo)系統(tǒng),4,要全面地確定一個(gè)物體在三維空間中的狀態(tài)需要有三個(gè)位置自由度和三個(gè)姿態(tài)自由度。前者用來確定物體在空間中的具體方位，后者則是確定物體的指向。我們將物體的六個(gè)自由度的狀態(tài)稱為物體的位姿,如果H為手坐標(biāo)系，用以描述手的姿態(tài)，那再加上手的位置就構(gòu)成了手的位姿,3.

2、1 位置與姿態(tài),一般姿態(tài)的描述可以用橫滾（Roll）、俯仰（Pitch）和側(cè)擺（Yaw）三軸的轉(zhuǎn)角來實(shí)現(xiàn),5,飛機(jī)飛行姿態(tài)變化,6,3.2 正交坐標(biāo)系,3.2.1 正交坐標(biāo)系及矢量的基礎(chǔ)知識(shí),右圖是所謂的正交坐標(biāo)系B(x,y,z)，用來表示機(jī)器人的基坐標(biāo)， 其中 , , 分別是三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量。 B系中有另外一個(gè)坐標(biāo)系H（xH，yH，zH），用來表示手坐標(biāo), 其中 , , 分別是H系三個(gè)坐標(biāo)軸的單位向量,z,y,x,B,H,H,z,H,x,H,y,a,n,o,i,j,k,P,端點(diǎn)P相對于機(jī)器人手坐標(biāo)系H,及基座坐標(biāo)系B的定位,7,3.2.1.1 正交坐標(biāo)系的性質(zhì),單位矢量 , , 在基坐標(biāo)

3、系中可表示為,根據(jù)矢量點(diǎn)積和叉積的性質(zhì)，對于相互正交的單位矢量 ， ， 有,對于單位矢量 , , 也有同樣的性質(zhì),其中是a和b兩矢量間的夾角，如圖3-2所示,矢量的點(diǎn)積（內(nèi)乘積或標(biāo)量積,換句話說：一個(gè)矢量在另一個(gè)矢量上的投影等于該矢量與另一矢量方向上單位矢量的點(diǎn)積,再令a=j （j 為a方向上的單位矢量），則,即兩矢量方向上單位矢量的點(diǎn)乘等于兩矢量夾角的余弦,圖3-2標(biāo)量積,令b=i （i為b方向上的單位矢量），則,矢量的叉積（矢量積或叉乘積,其中矢量c的模為,其中是a和b間小于等于1800的夾角，若將a按右手法則繞c轉(zhuǎn)角至b，右手拇指指向?yàn)閏的正方向（如圖3-3），c與a、b兩者垂直,則,圖

4、3-3叉乘積,a和b的點(diǎn)乘為,將點(diǎn)乘和叉乘應(yīng)用于右手笛卡爾坐標(biāo)系的單位矢量i，j，k，有,2008-7,11,令矩陣 R稱為正交坐標(biāo)變換矩陣,當(dāng)用列向量表示單位矢量時(shí)，有,于是，變換矩陣R可以表示為,當(dāng)用矩陣表示兩個(gè)矢量的點(diǎn)乘時(shí)，有,12,3.2.1.2 正交坐標(biāo)變換矩陣R的性質(zhì),顯然,于是可得,1,R,R,T,13,3.2.1.3 正交坐標(biāo)變換矩陣的幾何意義,上式可寫成,其中,考慮到,上式表明正交坐標(biāo)變換矩陣R實(shí)現(xiàn)了由手坐標(biāo)系H到基坐標(biāo)系B的正交坐標(biāo)變換，它可以將一組3個(gè)相互正交的單位矢量變換為另一組3個(gè)相互正交的單位矢量，每一組單位矢量均代表了一個(gè)正交坐標(biāo)系。這也說明了將矩陣R稱為正交坐標(biāo)

5、變換矩陣的原因。在機(jī)器人學(xué)中經(jīng)常要用到這種正交坐標(biāo)變換,14,3.2.2 位置的描述,一旦建立起一個(gè)坐標(biāo)系，我們就可以用3維的位置矢量來確定該空間內(nèi)任一點(diǎn)的位置 。其中，x、y、z是p點(diǎn)在笛卡爾坐標(biāo)系的三個(gè)坐標(biāo)軸上坐標(biāo)分量。用這種方法可以很容易地表示出手坐標(biāo)（原點(diǎn)）在基坐標(biāo)系中的空間位置,3.2.3 姿態(tài)的描述,物體的姿態(tài)可由某個(gè)固接在物體上的坐標(biāo)系來描述。設(shè)在空間中除了有參考坐標(biāo)系B外，還有物體質(zhì)心上的一個(gè)笛卡爾正交坐標(biāo)系H，且H系與此物體的空間位置關(guān)系是固定不變的，那么就可以以H系三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量相對于B系的方向來表示H系和B系的姿態(tài),15,16,假設(shè) 為H坐標(biāo)系中某軸的單位向量，即它

6、在B坐標(biāo)系的方向可以以 與B系三軸夾角的余弦值為分量加以表達(dá)，見下圖,故有,j,l,g,x,y,z,k,B,l,l,a,l,b,i,矢量的方向矢徑表示,由,且,17,因此正交坐標(biāo)變換矩陣R為一方向余弦矩陣，也被稱為旋轉(zhuǎn)矩陣（具體含義將在后面小節(jié)中闡述,根據(jù)前面的推導(dǎo)可得,當(dāng),b) 姿態(tài)（方位）的描述,采用旋轉(zhuǎn)矩陣來表示剛體姿態(tài)（方位） ，即由B系的三個(gè)單位主矢量相對于坐標(biāo)系A(chǔ)的方向余弦組成,既表示了剛體F在A系中的方位，也描述了B系在A系中的姿態(tài),其中,xB yB zB,xA yA zA,19,3.3 運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)表示,3.3.1 平動(dòng)的坐標(biāo)表示,設(shè)手坐標(biāo)系H與基坐標(biāo)系B具有相同的姿態(tài)，但H系坐標(biāo)

7、原點(diǎn)與B系的原點(diǎn)不重合。用矢量 來描述H系相對于B系的位置（如右圖所示），稱 為H系相對于B系的平移矢量。如果點(diǎn)p在H系中的位置為 ，那么它相對于B系的位置矢量 可由矢量相加得出，即,稱其為坐標(biāo)平移方程,20,下面以繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角為例來研究繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的表示法。設(shè)H系從與B系相重合的位置繞B系的z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角 ，H系與B系的關(guān)系如右圖所示,3.3.2 轉(zhuǎn)動(dòng)的坐標(biāo)表示,1) 繞坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)某個(gè)角度的表示法,21,若將H系的3個(gè)單位矢量表示在B系中，則有,實(shí)現(xiàn)兩個(gè)坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的矩陣，又叫轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣R，可表示為,22,同理，可以得出當(dāng)繞X軸旋轉(zhuǎn)時(shí),當(dāng)繞Y軸旋轉(zhuǎn)時(shí),上面的分析說明了R矩陣可以用來

8、表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)，這表征了R矩陣的另一種幾何意義,因此寫出三個(gè)基本的旋轉(zhuǎn)矩陣，即分別繞x、y和z軸轉(zhuǎn)角的旋轉(zhuǎn)矩陣,x y z,x y z,x y z,x y z,x y z,x y z,24,設(shè)B系與H系的z軸相重合，B系繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)角 就得H系，如下圖所示,2) 兩個(gè)坐標(biāo)系的投影之間的關(guān)系,P,25,已知矢徑 在H系三軸投影分別為u,v,w。則由上圖可知,由上式可見，R矩陣可以將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影，這表征了R矩陣的又一種幾何意義,于是有,例3.1 若從基坐標(biāo)系 (B)到手爪坐標(biāo)系 (E)的旋轉(zhuǎn)變換矩陣為 。（1）畫出兩坐標(biāo)系的相互方位關(guān)系（不考慮E的原點(diǎn)位置

9、）；（2）如果給出OE(E系的原點(diǎn)）在B中的位置矢量為（1，2，2），畫出兩坐標(biāo)系的相對位姿關(guān)系,解,xE yE zE,xB yB zB,1,2,27,3) 具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量的投影之間的關(guān)系,設(shè)矢量 在坐標(biāo)系Bxy的投影為u，v，w；將矢量 繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng) 角，得到矢量 ，設(shè)矢量 在同一坐標(biāo)系的投影為x, y, z，如下圖所示,y,28,y,如果注意到 在x,y軸的投影相當(dāng)于 在 軸的投影，再對比6頁和9頁的兩個(gè)圖所示的相同幾何關(guān)系，便可得到與式（）相同結(jié)果，只是此時(shí)的u，v，w與x，y，z同前面討論的情況的幾何含義不同。這時(shí)矩陣R用來表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)系

10、，這表征了R矩陣的最后一種幾何意義,29,至此，歸納了R矩陣的四種幾何意義： 1、實(shí)現(xiàn)了由手坐標(biāo)系H到基坐標(biāo)系B的正交坐標(biāo)變換。 2、用來表示繞坐標(biāo)軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。 3、將矢徑在手坐標(biāo)系上的投影變換到該矢徑在基坐標(biāo)系上的投影。 4、表示具有轉(zhuǎn)動(dòng)關(guān)系的兩個(gè)矢量在同一坐標(biāo)系中的投影之間的關(guān)系。 這對于認(rèn)識(shí)R矩陣的本質(zhì)，研究機(jī)器人的坐標(biāo)系統(tǒng)很有幫助,30,3.3.3 復(fù)合運(yùn)動(dòng)的坐標(biāo)表示,基坐標(biāo)系B和手坐標(biāo)系H 的原點(diǎn)不重合，而且兩坐標(biāo)系的姿態(tài)也不相同的情況,31,對于任意一點(diǎn)P在B和H系中的描述有以下的關(guān)系,其中,是 p 點(diǎn)相對于B系的位置矢量,至此，我們由淺入深地介紹了物體的基本宏觀運(yùn)動(dòng)在坐標(biāo)系中的表示

11、方法，這是我們學(xué)習(xí)機(jī)器人復(fù)雜運(yùn)動(dòng)的最基本的數(shù)學(xué)工具。在后續(xù)章節(jié)中會(huì)頻繁地用到,再由式(rp ) ，可得復(fù)合變換,可把上式看成坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)和坐標(biāo)平移的復(fù)合變換。實(shí)際上，規(guī)定一個(gè)過渡坐標(biāo)系C，使C的坐標(biāo)原點(diǎn)與H系重合，而C的姿態(tài)和B系保持一致。根據(jù)式（）可得由H系到過渡坐標(biāo)系C的坐標(biāo)變換為,其中,是點(diǎn)P 在C中的位置矢量,rp,例3.2 已知坐標(biāo)系B初始位姿與A重合，首先B相對A的zA軸轉(zhuǎn)30，再沿A的xA軸移動(dòng)10個(gè)單位，并沿A的yA軸移動(dòng)5個(gè)單位。求位置矢量 和旋轉(zhuǎn)矩陣 。若 ,求,解,所以有,最后得,34,3.4 齊次坐標(biāo)變換,3.4.1 齊次坐標(biāo)的定義和性質(zhì),3.4.1.1 齊次坐標(biāo)的概念,用

12、四個(gè)數(shù)所組成的列向量 來表示三維空間中的一點(diǎn) ，這兩個(gè)坐標(biāo)向量之間的關(guān)系是: ， ， 則 稱為三維空間點(diǎn) 的齊次坐標(biāo)。通常情況下取w=1,則 的齊次坐標(biāo)表示為,一般說來，以（N+1)維矢量來表示N維位置矢量，稱為齊次坐標(biāo)表示法,35,3.4.1.2 齊次坐標(biāo)的性質(zhì),1）齊次坐標(biāo)的不唯一性 所謂不唯一性是指某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)有無窮多點(diǎn)，不是單值確定的。例如 是某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)，則 也是該點(diǎn)的齊次坐標(biāo),2）齊次坐標(biāo)的原點(diǎn)和坐標(biāo)軸 根據(jù)齊次坐標(biāo)的定義，齊次坐標(biāo) 表示坐標(biāo)原點(diǎn)，而 ， ， 分別表示OX軸、OY軸和OZ軸的無窮遠(yuǎn)點(diǎn)，即表示直角坐標(biāo)的OX軸、OY軸和OZ軸,36,則有,其中,37,3.4.2 齊

13、次變換和齊次矩陣,在引入齊次坐標(biāo)之后，現(xiàn)在我們來看如何用齊次坐標(biāo)來表示上一節(jié)中所講的內(nèi)容。在上一節(jié)的最后我們曾用笛卡爾坐標(biāo)系統(tǒng)表示出了物體的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，最后得出了 的結(jié)論，它表示了 由到 的變換。現(xiàn)在我們利用齊次坐標(biāo)來表示出上式,38,A矩陣稱為齊次矩陣（Homogeneous matrix）,在機(jī)器人學(xué)中是個(gè)重要的術(shù)語，它將轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng)組合在一個(gè)44矩陣中。 其中 為33的轉(zhuǎn)動(dòng)矩陣， 為13的零陣 ， 為表示移動(dòng)的31的列陣。接下來我們將利用齊次矩陣來表示物體的運(yùn)動(dòng),39,3.4.2.1 利用齊次矩陣表示平移變換,設(shè)向量 ， 要和向量 相加得V，即 （,欲求一變換矩陣H，使得U經(jīng)過H變換之后變成

14、向量V，即 （） 考慮到式（）和式（）等效，根據(jù)式（）可知,平移變換就是用于兩個(gè)向量的相加,40,此變換矩陣有一性質(zhì)就是它的每一個(gè)元素乘上一個(gè)非零的元素后不會(huì)改變這個(gè)變換,由此可知得,41,3.4.2.2 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)變換,根據(jù)直角坐標(biāo)和齊次坐標(biāo)的關(guān)系，易得繞X，Y，Z軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度的相應(yīng)旋轉(zhuǎn)變換是,純旋轉(zhuǎn)的齊次變換矩陣中P31為零矩陣，即 ，因此寫出繞x，y和z軸旋轉(zhuǎn)角的基本齊次變換矩陣為,純平移的齊次變換矩陣中R33=I33（單位陣），因此可以寫出沿x，y和z軸移動(dòng)Px，Py和Pz單位的基本平移變換陣,43,例如，已知一個(gè)向量U繞Z軸旋轉(zhuǎn)90變成V，則用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為,如，一個(gè)向量

15、U 先后繞X、Y軸分別旋轉(zhuǎn)90、60得到V，用旋轉(zhuǎn)矩陣表示為,44,3.4.2.3 利用齊次矩陣表示旋轉(zhuǎn)加平移變換,把上述兩種變換結(jié)合起來用齊次矩陣表示，這時(shí)的齊次變換矩陣就是,45,可見，在齊次變換矩陣中旋轉(zhuǎn)矩陣 和 表示平移的列陣 確實(shí)是分離的,注意，一般情況下,46,3.4.2.4 利用齊次矩陣表示手的轉(zhuǎn)動(dòng)和移動(dòng),手的轉(zhuǎn)動(dòng)可以表示為繞X軸的側(cè)擺 ，繞Y軸的俯仰 和繞Z軸橫滾 ，依次構(gòu)成的復(fù)合轉(zhuǎn)動(dòng)，采用簡化符號(hào) ，則有,47,上式表示了手的轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)。如果手除了轉(zhuǎn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)以外還可做移動(dòng)運(yùn)動(dòng)，只需將上式中齊次矩陣的第4列用表示移動(dòng)的矩陣塊 來代替，便可得到包括3個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)和3個(gè)平動(dòng)的6自由度運(yùn)動(dòng)的齊

16、次矩陣,48,3.4.3 齊次變換的性質(zhì),3.4.3.1 變換過程的相對性相對變換,前面所介紹的所有旋轉(zhuǎn)和平移變換都是相對于參考坐標(biāo)系B系而言的。例如 上述的變換過程是：手坐標(biāo)系H首先繞著基坐標(biāo)系B旋轉(zhuǎn) ，然后平移 。這種變換的順序是從右向左進(jìn)行的。 這樣的過程也可以以相反的順序進(jìn)行，即從左向右進(jìn)行。此時(shí)可以理解為首先手坐標(biāo)系H在基坐標(biāo)系B 中平移 然后繞當(dāng)前的手坐標(biāo)系H的 軸旋轉(zhuǎn),49,一般的變換過程可以分兩種情況,1) 如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，左乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對于靜止坐標(biāo)系進(jìn)行的,2) 如果我們用一個(gè)描述平移和（或）旋轉(zhuǎn)的變換C，

17、右乘一個(gè)坐標(biāo)系的變換T，那么產(chǎn)生的平移和（或）旋轉(zhuǎn)就是相對于運(yùn)動(dòng)坐標(biāo)系進(jìn)行的,相對于固定坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng),相對于活動(dòng)坐標(biāo)系運(yùn)動(dòng),51,3.4.3.2 變換過程的可逆性逆變換,在機(jī)器人學(xué)中很多時(shí)候要用到齊次變換矩陣的逆陣，下面我們將推導(dǎo)齊次變換矩陣的逆陣求法,由此可見,將上兩式表示成矩陣的形式，即,52,3.4.3.3 變換過程的封閉性-變換方程的建立,在解機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)方程時(shí)，要經(jīng)常解變換方程。在這些變換方程里，一個(gè)坐標(biāo)點(diǎn)往往要用兩種或多種方式來描述,1） 機(jī)器人 變換Z：參考坐標(biāo)系U 基坐標(biāo)系B 變換A：基坐標(biāo)系B 手坐標(biāo)系H 變換E：手坐標(biāo)系H 加工工具T （2） 變位機(jī) 變換P：參考坐標(biāo)

18、系U 變位機(jī)V 變換Q：變位機(jī)V 被加工件W,53,這種聯(lián)系亦可由一有向變換圖表示，見右圖,如果我們希望解上述方程，求出變換A ，就必須對方程左乘 ，然后右乘 ，得到 實(shí)際上，可以從封閉的向變換圖的任一變換開始列變換方程。從某一變換弧開始，順箭頭方向?yàn)檎较?，逆箭頭方向?yàn)槟孀儞Q，一直連續(xù)列寫到相鄰于該變換弧為止（但不再包括該起點(diǎn)變換），如果包括該起點(diǎn)變換，則得到一個(gè)單位變換,3.1.2.5 旋轉(zhuǎn)變換通式,一.旋轉(zhuǎn)變換通式,令 是過A系原點(diǎn)的單位矢量，求繞K旋 轉(zhuǎn)角到B系的旋轉(zhuǎn)矩陣R(K,)，即,因此,將上式展開得,圖3-11 尺寸鏈圖,把上式右端相乘，并利用旋轉(zhuǎn)矩陣的正交性質(zhì),進(jìn)行化簡整理后得

19、,其中，s=sin;c=cos;Vers=(1-cos,如果 與坐標(biāo)軸重合，則可得到繞x,y和z軸旋轉(zhuǎn)的基本旋轉(zhuǎn)矩陣,二. 等效轉(zhuǎn)軸與等效轉(zhuǎn)角,對于給定的旋轉(zhuǎn)矩陣R,令R=R(K,)，得,任何一組經(jīng)過有限次基本旋轉(zhuǎn)變換后的復(fù)合旋轉(zhuǎn)總可以等效成繞某一過原點(diǎn)的軸線轉(zhuǎn)角的單一旋轉(zhuǎn),將方程兩邊的主對角線元素分別相加，得,于是可得,再把方程兩邊的非對角元素成對相減得,將上式兩邊平方后再相加得,于是,兩點(diǎn)注意:多值性：K和的值不唯一。實(shí)際上，對于任意一組K和，都對應(yīng)另一組-K和-，(K,) 和(k, +n360)對應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)效果相同，的取值也有多種，一般取在0到180之間,例：求復(fù)合變換 的等效轉(zhuǎn)軸k和轉(zhuǎn)角,病態(tài)情況：當(dāng)轉(zhuǎn)角很小時(shí)，轉(zhuǎn)軸難確定；當(dāng)接近0或 180時(shí)，轉(zhuǎn)軸完全不能確定，需另尋解法