二次函數(shù)綜合訓(xùn)練

1、2016年09月21日二次函數(shù)綜合訓(xùn)練一解答題（共8小題）1（2016大連）如圖，拋物線y=x23x+與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E（1）求直線BC的解析式；（2）當線段DE的長度最大時，求點D的坐標2（2016六盤水）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），頂點為D（1）求此拋物線的解析式（2）求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標，

2、若不存在，請說明理由3（2016吉林）如圖1，在平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點（1）當m=2時，a=_，當m=3時，a=_；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想a與m的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點，PQ的長度為2n，當APQ為等腰直角三角形時，a和n的關(guān)系式為_；（4）利用（2）（3）中的結(jié)論，求AOB與APQ的面積比4（2016金平區(qū)一模）如圖，拋物線y=x2+3x+4交x軸于A、B兩點（點A在B左邊），交y軸于點C（1）求A、B

3、兩點的坐標；（2）求直線BC的函數(shù)關(guān)系式；（3）點P在拋物線的對稱軸上，連接PB，PC，若PBC的面積為4，求點P的坐標5（2016長春模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx與x軸交于O、A兩點，與直線y=x交于點B，點A、B的坐標分別為（3，0）、（2，2）點P在拋物線上，過點P作y軸的平行線交射線OB于點Q，以PQ為邊向右作矩形PQMN，且PN=1，設(shè)點P的橫坐標為m（m0，且m2）（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式（2）求矩形PQMN的周長C與m之間的函數(shù)關(guān)系式（3）當矩形PQMN是正方形時，求m的值6（2016株洲模擬）已知：m、n是方程x26x+5=0的兩個實數(shù)根，

4、且mn，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0）、B（0，n）（1）求這個拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和BCD的面積；（注：拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標為（3）P是線段OC上的一點，過點P作PHx軸，與拋物線交于H點，若直線BC把PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標7（2015吉林）如圖，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與二次函數(shù)y=x2的圖象相交于A，B兩點，點A，B的橫坐標分別為m，n（m0，n0）（1）當m=1，n=4時，k=_，b=_；當m=2，n=3時，k=_，b=_；（2）根據(jù)（

5、1）中的結(jié)果，用含m，n的代數(shù)式分別表示k與b，并證明你的結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：如圖，直線AB與x軸，y軸分別交于點C，D，點A關(guān)于y軸的對稱點為點E，連接AO，OE，ED當m=3，n3時，求的值（用含n的代數(shù)式表示）；當四邊形AOED為菱形時，m與n滿足的關(guān)系式為_；當四邊形AOED為正方形時，m=_，n=_8（2014益陽）如圖，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x2）2+k經(jīng)過點A、B，并與X軸交于另一點C，其頂點為P（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點的坐標；（3）在拋物線及其對

6、稱軸上分別取點M、N，使以A，C，M，N為頂點的四邊形為正方形，求此正方形的邊長2016年09月21日二次函數(shù)綜合訓(xùn)練參考答案與試題解析一解答題（共8小題）1（2016大連）如圖，拋物線y=x23x+與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，點D是直線BC下方拋物線上一點，過點D作y軸的平行線，與直線BC相交于點E（1）求直線BC的解析式；（2）當線段DE的長度最大時，求點D的坐標【分析】（1）利用坐標軸上點的特點求出A、B、C點的坐標，再用待定系數(shù)法求得直線BC的解析式；（2）設(shè)點D的橫坐標為m，則縱坐標為（m，），E點的坐標為（m，），可得兩點間的距離為d=，利用二次函數(shù)的最值可得m，可得

7、點D的坐標【解答】解：（1）拋物線y=x23x+與x軸相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，令y=0，可得x=或x=，A（，0），B（，0）；令x=0，則y=，C點坐標為（0，），設(shè)直線BC的解析式為：y=kx+b，則有，解得：，直線BC的解析式為：y=x；（2）設(shè)點D的橫坐標為m，則坐標為（m，），E點的坐標為（m，m），設(shè)DE的長度為d，點D是直線BC下方拋物線上一點，則d=m+（m23m+），整理得，d=m2+m，a=10，當m=時，d最大=，D點的坐標為（，）【點評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象與坐標軸的交點，設(shè)出D的坐標，利用二次函數(shù)最值得D點坐標是解答此題的關(guān)鍵2（2016六

8、盤水）如圖，拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），頂點為D（1）求此拋物線的解析式（2）求此拋物線頂點D的坐標和對稱軸（3）探究對稱軸上是否存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形？若存在，請求出所有符合條件的P點的坐標，若不存在，請說明理由【分析】（1）根據(jù)拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），可以求得拋物線的解析式；（2）根據(jù)（1）中的解析式化為頂點式，即可得到此拋物線頂點D的坐標和對稱軸；（3）首先寫出存在，然后運用分類討論的數(shù)學(xué)思想分別求出各種情況

9、下點P的坐標即可【解答】解：（1）拋物線y=ax2+bx+c的圖象與x軸交于A（1.0），B（3，0）兩點，與y軸交于點C（0，3），解得，即此拋物線的解析式是y=x22x3；（2）y=x22x3=（x1）24，此拋物線頂點D的坐標是（1，4），對稱軸是直線x=1；（3）存在一點P，使得以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形，設(shè)點P的坐標為（1，y），當PA=PD時，=，解得，y=，即點P的坐標為（1，）；當DA=DP時，=，解得，y=4，即點P的坐標為（1，42）或（1，4+）；當AD=AP時，=，解得，y=4，即點P的坐標是（1，4）或（1，4），當點P為（1，4）時與點D重合，故不符合

10、題意，由上可得，以點P、D、A為頂點的三角形是等腰三角形時，點P的坐標為（1，）或（1，42）或（1，4+）或（1，4）【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題，解題的關(guān)鍵是明確題意，找出所求問題需要的條件，利用分類討論的數(shù)學(xué)思想解答問題3（2016吉林）如圖1，在平面直角坐標系中，點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點（1）當m=2時，a=，當m=3時，a=；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，猜想a與m的關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，作x軸的平行線交拋物線l于P、Q兩點，PQ的長度為2n，當APQ為等腰直

11、角三角形時，a和n的關(guān)系式為a=；（4）利用（2）（3）中的結(jié)論，求AOB與APQ的面積比【分析】（1）由AOB為等邊三角形，AB=2m，得出點A，B坐標，再由點A，B，O在拋物線上建立方程組，得出結(jié)論，最后代m=2，m=3，求值即可；（2）同（1）的方法得出結(jié)論（3）由APQ為等腰直角三角形，PQ的長度為2n，設(shè)A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），建立方程組求解即可；（4）由（2）（3）的結(jié)論得到m=n，再根據(jù)面積公式列出式子，代入化簡即可【解答】解：（1）如圖1，點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，B（2m，0），以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，AM=m，OM=m，A（

12、m，m），拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點，當m=2時，a=，當m=3時，a=，故答案為：，；（2）a=理由：如圖1，點B在x軸正半軸上，OB的長度為2m，B（2m，0），以O(shè)B為邊向上作等邊三角形AOB，AM=m，OM=m，A（m，m），拋物線l：y=ax2+bx+c經(jīng)過點O，A，B三點，a=，（3）如圖2，APQ為等腰直角三角形，PQ的長度為2n，設(shè)A（e，d+n），P（en，d），Q（e+n，d），P，Q，A，O在拋物線l：y=ax2+bx+c上，化簡得，2aean+b=1，化簡得，2aeanb=1，+化簡得，an=1，a=故答案為a=，（4）OB的長度為2m，AM=m

13、，SAOB=OBAM=2mm=m2，由（3）有，AN=nPQ的長度為2n，SAPQ=PQAN=2mn=n2，由（2）（3）有，a=，a=，=，m=n，=，AOB與APQ的面積比為3：1【點評】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的性質(zhì)，方程組的解法，三角形面積的計算，解本題的關(guān)鍵是根據(jù)方程組找a與m，及a與n的關(guān)系也是解本題的難點4（2016金平區(qū)一模）如圖，拋物線y=x2+3x+4交x軸于A、B兩點（點A在B左邊），交y軸于點C（1）求A、B兩點的坐標；（2）求直線BC的函數(shù)關(guān)系式；（3）點P在拋物線的對稱軸上，連接PB，PC，若PBC的面積為4，求點P的坐

14、標【分析】（1）令y=0得x2+3x+4=0解得方程的解即為A、B兩點坐標；（2）令x=0，解得拋物線y=x2+3x+4與y軸交點C的坐標，設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，解得k和b的值即可得出直線BC的函數(shù)關(guān)系式；（3）求得拋物線y=x2+3x+4的對稱軸，設(shè)對稱軸與直線BC的交點記為D，求得D點坐標，設(shè)點P的坐標，表示出PD，再根據(jù)三角形的面積公式得出點P的坐標【解答】解：（1）由x2+3x+4=0解得x=1或x=4，所以A、B兩點坐標為（1，0）和（4，0）；（2）拋物線y=x2+3x+4與y軸交點C坐標為（0，4），由（1）得，B（4，0），設(shè)直線BC的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)=kx+b，解得

15、，直線BC的函數(shù)關(guān)系式為y=x+4；（3）拋物線y=x2+3x+4的對稱軸為x=，對稱軸與直線BC的交點記為D，則D點坐標為（，）點P在拋物線的對稱軸上，設(shè)點P的坐標為（，m），PD=|m|，SPBC=OBPD=44|m|=4，m=或m=點P的坐標為（，）或（，）【點評】本題考查了拋物線與x軸的交點問題，待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)，是一道綜合性的題目，難度不大，是中考的常見題型5（2016長春模擬）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+bx與x軸交于O、A兩點，與直線y=x交于點B，點A、B的坐標分別為（3，0）、（2，2）點P在拋物線上，過點P作y軸的平行線交射線OB

16、于點Q，以PQ為邊向右作矩形PQMN，且PN=1，設(shè)點P的橫坐標為m（m0，且m2）（1）求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式（2）求矩形PQMN的周長C與m之間的函數(shù)關(guān)系式（3）當矩形PQMN是正方形時，求m的值【分析】（1）把A（3，0）、B（2，2）兩點坐標代入y=ax2+bx，解方程組即可解決（2）分兩種情形：0m2，m2，分別求出矩形PQMN的周長C與m之間的函數(shù)關(guān)系式即可（3）分兩種情形列出方程即可解決【解答】解：（1）把A（3，0）、B（2，2）兩點坐標代入y=ax2+bx，得，解得故拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為y=x2+3x（2）點P在拋物線y=x2+3x上，可以設(shè)P（m，m2+3m）

17、，PQy軸，Q（m，m）當0m2時，如圖1中，PQ=m2+3mm=m22m，C=2（m2+2m）+2=2m2+4m+2當m2時，如圖2中，PQ=m（m2+3m）=m22m，C=2（m22m）+2=2m24m+2（3）矩形PQMN是正方形，PQ=PN=1，當0m2時，如圖3中，m2+2m=1，解得m=1當m2時，如圖4中，m22m=1，解得m=1+（或1不合題意舍棄）【點評】本題考查二次函數(shù)綜合題、矩形、正方形的有關(guān)性質(zhì)，學(xué)會用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，學(xué)會分段討論的思想，需要正確畫出圖形，用方程的思想解決問題，是數(shù)形結(jié)合的好題目，屬于中考壓軸題6（2016株洲模擬）已知：m、n是方程x26x

18、+5=0的兩個實數(shù)根，且mn，拋物線y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過點A（m，0）、B（0，n）（1）求這個拋物線的解析式；（2）設(shè)（1）中拋物線與x軸的另一交點為C，拋物線的頂點為D，試求出點C、D的坐標和BCD的面積；（注：拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點坐標為（3）P是線段OC上的一點，過點P作PHx軸，與拋物線交于H點，若直線BC把PCH分成面積之比為2：3的兩部分，請求出P點的坐標【分析】（1）通過解方程即可求出m、n的值，那么A、B兩點的坐標就可求出然后根據(jù)A、B兩點的坐標即可求出拋物線的解析式（2）根據(jù)（1）得出的拋物線的解析式即可求出C、D兩點的坐標由于BCD的面積無法直接

19、求出，可用其他圖形的面積的“和，差關(guān)系”來求出過D作DMx軸于M，那么BCD的面積=梯形DMOB的面積+DCM的面積BOC的面積由此可求出BCD的面積（3）由于PCH被直線BC分成的兩個小三角形等高，因此面積比就等于底邊的比如果設(shè)PH與BC的交點為E，那么EH就是拋物線與直線BC的函數(shù)值的差，而EP就是E點的縱坐標然后可根據(jù)直線BC的解析式設(shè)出E點的坐標，然后表示出EH，EP的長進而可分兩種情況進行討論：當EH= EP時；當EH= EP時由此可得出兩個不同的關(guān)于E點橫坐標的方程即可求出E點的坐標也就求出了P點的坐標【解答】解：（1）解方程x26x+5=0，（x1）（x5）=0，得x1=5，x2

20、=1由mn，有m=1，n=5所以點A、B的坐標分別為A（1，0），B（0，5）將A（1，0），B（0，5）的坐標分別代入y=x2+bx+c得，解這個方程組，得：所以，拋物線的解析式為y=x24x+5（2）由y=x24x+5，令y=0，得x24x+5=0，解這個方程，得x1=5，x2=1，所以C點的坐標為（5，0）由頂點坐標公式計算，得點D（2，9）過D作x軸的垂線交x軸于M則SDMC=9（52）=S梯形MDBO=2（9+5）=14，SBOC=55=，所以，SBCD=S梯形MDBO+SDMCSBOC=14+=15（3）設(shè)P點的坐標為（a，0）因為線段BC過B、C兩點，所以BC所在的直線方程為y=

21、x+5那么，PH與直線BC的交點坐標為E（a，a+5），PH與拋物線y=x24x+5的交點坐標為H（a，a24a+5）由題意，得EH=EP，即（a24a+5）（a+5）=（a+5）解這個方程，得a=或a=5（舍去）EH=EP，即（a24a+5）（a+5）=（a+5）解這個方程，得a=或a=5（舍去），P點的坐標為（，0）或（，0）【點評】此題主要考查了一元二次方程的解法，二次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、函數(shù)圖象交點等知識及綜合應(yīng)用知識、解決問題的能力利用函數(shù)圖象交點坐標為兩函數(shù)解析式組成的方程組的解以及不規(guī)則圖形的面積通常轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形的面積的和差7（2015吉林）如圖，一次函數(shù)y=kx

22、+b的圖象與二次函數(shù)y=x2的圖象相交于A，B兩點，點A，B的橫坐標分別為m，n（m0，n0）（1）當m=1，n=4時，k=3，b=4；當m=2，n=3時，k=1，b=6；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，用含m，n的代數(shù)式分別表示k與b，并證明你的結(jié)論；（3）利用（2）中的結(jié)論，解答下列問題：如圖，直線AB與x軸，y軸分別交于點C，D，點A關(guān)于y軸的對稱點為點E，連接AO，OE，ED當m=3，n3時，求的值（用含n的代數(shù)式表示）；當四邊形AOED為菱形時，m與n滿足的關(guān)系式為n=2m；當四邊形AOED為正方形時，m=1，n=2【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征，由當m=1，n=4得A（1，

23、1），B（4，16），然后利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式即可得到k和b的值；當m=2，n=3時，用同樣的方法求解；（2）根據(jù)二次函數(shù)圖象上點的坐標特征得到A（m，m2），B（n，n2），把它們分別代入y=kx+b得，然后解關(guān)于k、b的方程組即可得到k=m+n，b=mn；（3）當m=3時，A（3，9），根據(jù)y軸對稱的點的坐標特征得E（3，9），再由（2）的結(jié)論得k=m+n，b=mn，則直線AB的解析式為y=（3+n）x+3n，接著求出D（0，3n），C（，0），然后根據(jù)三角形面積公式可計算出的值；連結(jié)AE交OD于P，如圖，點A（m，m2）關(guān)于y軸的對稱點E的坐標為（m，m2），則OP=m2，

24、由于k=m+n，b=mn，則D（0，mn）；若四邊形AOED為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)OP=DP，即mn=2m2，可解得n=2m；若四邊形AOED為正方形，根據(jù)正方形的性質(zhì)得OP=AP=OP=PD，易得m=1，n=2【解答】解：（1）當x=1時，y=x2=1，則A（1，1）；當x=4時，y=x2=16，則B（4，16），把A（1，1）、B（4，16）分別代入y=kx+b得，解得；當x=2時，y=x2=4，則A（2，4）；當x=3時，y=x2=9，則B（3，9），把A（2，4）、B（3，9）分別代入y=kx+b得，解得；故答案為：3，4；1，6；（2）k=m+n，b=mn理由如下：把A（m，m2），

25、B（n，n2）代入y=kx+b得，解得；（3）當m=3時，A（3，9），點A關(guān)于y軸的對稱點為點E，E（3，9），k=m+n，b=mn，k=3+n，b=3n，直線AB的解析式為y=（3+n）x+3n，則D（0，3n），當y=0時，（3+n）x+3n=0，解得x=，則C（，0），=（n3）；連結(jié)AE交OD于P，如圖，點A（m，m2）關(guān)于y軸的對稱點為點E，E（m，m2），OP=m2，k=m+n，b=mn，D（0，mn），若四邊形AOED為菱形，則OP=DP，即mn=2m2，所以n=2m；若四邊形AOED為正方形，則OP=AP，即m=m2，解得m=1，所以n=2m=2【點評】本題考查了二次函數(shù)綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點的坐標特征和菱形、正方形的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；理解坐標與圖形性質(zhì)；記住三角形的面積公式8（2014益陽）如圖，直線y=3x+3與x軸、y軸分別交于點A、B，拋物線y=a（x2）2+k經(jīng)過點A、B，并與X軸交于另一點C，其頂點為P（1）求a，k的值；（2）拋物線的對稱軸上有一點Q，使ABQ是以AB為底邊的等腰三角形，求Q點的坐標；（3）在拋物線及其對稱軸上分別