人教版高中數(shù)學(xué)選修4-5課件：模塊復(fù)習(xí)課 第三課 柯西不等式、排序不等式與數(shù)學(xué)歸納法 （共63張）

1、第三課 柯西不等式、 排序不等式與數(shù)學(xué)歸納法,網(wǎng)絡(luò)體系,核心速填】 1.二維形式的柯西不等式 (1)二維形式的柯西不等式:_ _,若a,b,c,d都是實(shí)數(shù),則,a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2,2)柯西不等式的向量形式:_ _.當(dāng)且僅當(dāng) 是零向量,或存 在實(shí)數(shù)k,使 =k 時(shí),等號(hào)成立,設(shè) 是兩個(gè)向量,則, | , ,3)二維形式的三角不等式:設(shè)x1,y1,x2,y2R,那么 _,2.一般形式的柯西不等式 設(shè)a1,a2,a3,an,b1,b2,b3,bn是實(shí)數(shù),則 _. 當(dāng)且僅當(dāng)bi=0(i=1,2,n)或存在一個(gè)數(shù)k,使得ai=kbi (i=1,2,n)時(shí),等號(hào)成立,a12+a22

2、+an2)(b12+b22+bn2)(a1b1+a2b2+anbn)2,3.排序不等式 設(shè)a1a2an,b1b2bn為兩組實(shí)數(shù), c1,c2,cn是b1,b2,bn的任一排列,則 a1bn+a2bn-1+anb1_ a1b1+a2b2+anbn,a1c1+a2c2+ancn,4.數(shù)學(xué)歸納法 一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對于不小于某正整數(shù)n0的 所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟: (1)證明當(dāng)_時(shí),命題成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN+,且kn0)時(shí),命題成立.證明 _時(shí),命題也成立,n=n0,n=k+1,易錯(cuò)警示】 關(guān)注數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用時(shí)常出現(xiàn)的三個(gè)錯(cuò)誤 (1)對假設(shè)設(shè)而不用. (2)機(jī)械套

3、用數(shù)學(xué)歸納法中的兩個(gè)步驟致誤. (3)沒有搞清從k到k+1的跨度,1-,類型一利用柯西不等式證明不等式 【典例1】若n是不小于2的正整數(shù),求證,證明】1- 所以求證式等價(jià)于,由柯西不等式,有 (n+1)+(n+2)+2nn2, 于是 = = =,1-,又由柯西不等式,有 所以,方法技巧】利用柯西不等式證題的技巧 (1)柯西不等式的一般形式為(a12+a22+an2)(b12+ b22+bn2) (a1b1+a2b2+anbn)2(ai,biR,i=1, 2,n),形式簡潔、美觀、對稱性強(qiáng),靈活地運(yùn)用柯西不等式,可以使一些較為困難的不等式的證明問題迎刃而解,2)利用柯西不等式證明其他不等式的關(guān)鍵

4、是構(gòu)造兩組數(shù),并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化,運(yùn)用時(shí)要注意體會(huì),變式訓(xùn)練】1.設(shè)a,b,c為正實(shí)數(shù),且a+b+c=3,求證,解題指南】利用柯西不等式的向量形式,目標(biāo)式的左 邊應(yīng)是兩個(gè)向量的數(shù)量積.由于變量a,b,c的系數(shù)都相 等,由整體性可構(gòu)造向量m=( ), n=(1,1,1),利用|mn|m|n|可得證,證明】令m=( ),n=(1,1,1),則 mn= 而|m|= 又|n|= ,由|mn|m|n|,得 所以 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1時(shí),等號(hào)成立,2.已知正數(shù)x,y,z滿足5x+4y+3z=10. (1)求證: (2)求 的最小值,解析】(1)根據(jù)柯西不等式,得(4y+3z)+(3z+5x)

5、+(5x+4y) (5x+4y+3z)2, 因?yàn)?x+4y+3z=10, 所以,2)根據(jù)基本不等式,得 當(dāng)且僅當(dāng)x2=y2+z2時(shí),等號(hào)成立. 根據(jù)柯西不等式,得(x2+y2+z2)(52+42+32)(5x+4y+3z)2=100, 即x2+y2+z22,當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí),等號(hào)成立. 綜上, 232=18,類型二利用排序不等式證明不等式 【典例2】設(shè)A,B,C表示ABC的三個(gè)內(nèi)角的弧度 數(shù),a,b,c表示其對邊,求證,證明】方法一:不妨設(shè)ABC,則有abc 由排序原理:順序和亂序和 所以aA+bB+cCaB+bC+cA aA+bB+cCaC+bA+cB aA+bB+cC=aA+bB+cC,上述三

6、式相加得 3(aA+bB+cC)(A+B+C)(a+b+c)=(a+b+c) 所以,方法二:不妨設(shè)ABC,則有abc, 由排序不等式 即aA+bB+cC (a+b+c), 所以,延伸探究】在本例條件下,你能證明 嗎,證明】能.由0b+c-a,0a+b-c,0a+c-b,有 0A(b+c-a)+C(a+b-c)+B(a+c-b)=a(B+C-A)+b(A+C-B) +c(A+B-C)=a(-2A)+b(-2B)+c(-2C)=(a+b+c)- 2(aA+bB+cC). 得,方法技巧】利用排序不等式證明不等式的策略 (1)在利用排序不等式證明不等式時(shí),首先考慮構(gòu)造出兩個(gè)合適的有序數(shù)組,并能根據(jù)需要

7、進(jìn)行恰當(dāng)?shù)亟M合.這需要結(jié)合題目的已知條件及待證不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行合理選擇,2)根據(jù)排序不等式的特點(diǎn),與多變量間的大小順序有關(guān)的不等式問題,利用排序不等式解決往往很簡捷,變式訓(xùn)練】若a1a2an,而b1b2bn或a1a2an而b1b2bn,證明: 當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an或b1=b2=bn時(shí),等號(hào)成立,證明】不妨設(shè)a1a2an,b1b2bn. 則由排序原理得: a1b1+a2b2+anbna1b1+a2b2+anbn a1b1+a2b2+anbna1b2+a2b3+anb1 a1b1+a2b2+anbna1b3+a2b4+an-1b1+anb2,a1b1+a2b2+anbna1bn+a2b1+

8、anbn-1. 將上述n個(gè)式子相加,得:n(a1b1+a2b2+anbn) (a1+a2+an)(b1+b2+bn) 上式兩邊除以n2,得 等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=an或b1=b2=bn時(shí)成立,類型三利用柯西不等式和排序不等式求最值 【典例3】(1)已知實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2+2y2+3z2=3,求 u=x+2y+3z的最小值和最大值. (2)設(shè)a1,a2,a3,a4,a5是互不相同的正整數(shù),求M= a1+ 的最小值,解析】(1)因?yàn)?x+2y+3z)2 =(x1+ y + z )2 x2+( y)2+( z)212+( )2+( )2 =(x2+2y2+3z2)(1+2+3)=18,當(dāng)且僅當(dāng)

9、 ,即x=y=z時(shí),等號(hào)成立. 所以-3 x+2y+3z3 , 即u的最小值為-3 ,最大值為3,2)設(shè)b1,b2,b3,b4,b5是a1,a2,a3,a4,a5的一個(gè)排列,且b1b2b3b4b5. 因此b11,b22,b33,b44,b55. 又1 由排序不等式,得,即M的最小值為,方法技巧】利用柯西或排序不等式求最值的技巧 (1)有關(guān)不等式問題往往要涉及對式子或量的范圍的限定,其中含有多變量限制條件的最值問題往往難以處理.在這類題目中,利用柯西不等式或排序不等式處理往往比較容易,2)在利用柯西不等式或排序不等式求最值時(shí),要關(guān)注等號(hào)成立的條件,不能忽略,變式訓(xùn)練】1.設(shè)x1,x2,x3,x4

10、是2,3,4,5的任一排列,則2x1+3x2+4x3+5x4的最小值是_. 【解析】反序和最小,即最小值為25+34+43+52=44. 答案:44,2.已知|x|1,|y|1,試求x +y 的 最大值. 【解析】由柯西不等式得x +y 當(dāng)且僅當(dāng)xy= 即x2+y2=1時(shí),等號(hào)成立,所以x +y 的最大值為1,類型四用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式 【典例4】用數(shù)學(xué)歸納法證明:12-22+32-42+(2n-1)2 -(2n)2=-n(2n+1)(nN,證明】(1)當(dāng)n=1時(shí), 左邊=12-22=-3, 右邊=-1(21+1)=-3,等式成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1)時(shí),等式成立,即12-22+32

11、-42+(2k-1)2-(2k)2=-k(2k+1,則當(dāng)n=k+1時(shí),12-22+32-42+(2k-1)2-(2k)2+(2k+1)2-2(k+1)2 =-k(2k+1)+(2k+1)2-2(k+1)2 =-2k2-5k-3 =-(k+1)(2k+3) =-(k+1)2(k+1)+1,即當(dāng)n=k+1時(shí),等式成立. 由(1)(2)可知,對任何nN+,等式都成立,方法技巧】利用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的方法 用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式的關(guān)鍵是證明n=k+1時(shí)命題成立,從n=k+1的待證目標(biāo)恒等式的一端“拼湊”出歸納假設(shè)的恒等式的一端,再運(yùn)用歸納假設(shè)即可.同時(shí)應(yīng)注意目標(biāo)恒等式另一端的變化(即用k+1代替恒

12、等式中的n,變式訓(xùn)練】1.用數(shù)學(xué)歸納法證明: (nN+). 【證明】(1)當(dāng)n=1時(shí),左邊=1- ,右邊= ,等式成立,2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時(shí)等式成立,即 當(dāng)n=k+1時(shí),所以當(dāng)n=k+1時(shí),等式也成立. 由(1)(2)可知,對于任意nN+等式都成立,2.是否存在常數(shù)a,b,使得2+4+6+(2n)=an2+bn對一切nN+恒成立?若存在,求出a,b的值,并用數(shù)學(xué)歸納法證明,若不存在,說明理由,解析】取n=1和2, 即2+4+6+(2n)=n2+n. 以下用數(shù)學(xué)歸納法證明: (1)當(dāng)n=1時(shí),已證,2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1且kN+)時(shí)等式成立, 即2+4+6+(2k)=k2+k, 那

13、么,當(dāng)n=k+1時(shí)有2+4+6+(2k)+(2k+2) =k2+k+(2k+2) =(k2+2k+1)+(k+1)=(k+1)2+(k+1,即當(dāng)n=k+1時(shí)等式成立. 根據(jù)(1)(2)知,存在 使得對任意nN+, 等式都成立,類型五利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 【典例5】設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),nN+.求證,證明】(1)當(dāng)n=1時(shí), 顯然成立. (2)假設(shè)當(dāng)n=k(k1,kN+)時(shí),不等式成立, 即 要證明n=k+1時(shí),不等式成立,即證明,在 的兩邊同時(shí)乘以 得 要證明 只需證明 因?yàn)?2(ak+1+bk+1)(a+b)(ak+bk) 2(ak+1+bk+1)-(ak+1+abk+bak+bk+1)0 ak+1-abk-bak+bk+10(a-b)(ak-bk)0. 又a-b與(ak-bk)同正負(fù)(或同時(shí)為0), 所以最后一個(gè)不等式顯然成立,這就證明了當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立. 綜合(1)(2)可知,對任何nN+,不等式恒成立,方法技巧】利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵 應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的關(guān)鍵是在運(yùn)用歸納假設(shè)時(shí),應(yīng)分析p(k)與p(k+1)的差異及聯(lián)系,利用拆、添、并、放等手段,從p(k+1)中分離出p(k),再進(jìn)行局部調(diào)整,也可考慮尋求二者的結(jié)合點(diǎn),以便順利過渡,利用歸納假設(shè),經(jīng)過適當(dāng)放縮、恒等變形,