2019年春八年級浙教版數(shù)學下冊練習：期末復習五-特殊平行四邊形

1、期末復習五 特殊平行四邊形復習目標要求知識與方法了解矩形、菱形、正方形的概念理解矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)運用用矩形、菱形、正方形的判定與性質(zhì)解決有關(guān)圖形的論證和計算等問題必備知識與防范點一、必備知識：1 矩形的性質(zhì)及判定：（1）矩形的 個角都是直角；矩形的對角線 ；矩形既是 對稱圖形，又是 對稱圖形，它至少有 條對稱軸（2）有一個角是 的 是矩形；有 個角是直角的四邊形是矩形；對角線相等的 是矩形2 菱形的性質(zhì)及判定：（1）菱形的 條邊都相等；菱形的對角線 ，并且每條對角線平分 （2）一組 相等的 是菱形；四條邊相等的四邊形是 ；對角線 的平行四邊形是菱形3 正方形的性質(zhì)及判定：（1）正

2、方形的 個角都是直角，四條邊都 ；正方形的對角線 ，并且 ，每條對角線平分一組 （2）有一組 相等，并且有一個角是 的平行四邊形是正方形；有一組鄰邊相等的 是正方形；有一個角是直角的 是正方形二、防范點：1 矩形、菱形、正方形的判定書寫要規(guī)范；2 矩形、菱形、正方形的性質(zhì)可從邊、角、對角線、整體四個角度去考慮.例題精析考點一 矩形的性質(zhì)與判定例1 （1）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不與A和D重合的一個動點，過點P分別作AC和BD的垂線，垂足為E、F，則PE+PF的值為（ ）A 10B 4.8 C 6 D 5（2）如圖，在矩形ABCD中，有以下結(jié)論：AOB是等腰三角形；

3、SABO=SADO；AC=BD；ACBD. 正確的結(jié)論是 .（3）如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O. 若矩形的一組鄰邊為3和4，則對角線長是 ；若矩形的對角線所成的角之一是65，則對角線與各邊所成的角度是 ；若AOB=60，AB=4，則矩形的對角線AC= .（4）如圖，矩形ABCD中，點R沿CD邊從點C向點D運動，點M在BC邊上運動，E、F分別是AM、MR的中點，則EF的長度隨著點M、點R的運動 （填變短；變長；不變）.（5）如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，將矩形沿AC折疊，點D落在點E處，且CE與AB交于F，則SACF= .反思：（1）解題的根據(jù)是熟記各種特殊幾何圖形

4、的特征（2）熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵（3）正確把握三角形中位線等于第三邊的一半的性質(zhì)是解題關(guān)鍵（4）熟練掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的性質(zhì)，并能進行推理計算是解決問題的關(guān)鍵（5）熟記性質(zhì)并利用三角形的面積列出方程是解題的關(guān)鍵例2 （1）下列判斷不正確的是（ ）A 有一個角是直角的平行四邊形是矩形B 有三個角是直角的四邊形是矩形C 對角線相等的四邊形是矩形D 對角線互相平分且相等的四邊形是矩形（2）如果平行四邊形的四個內(nèi)角的平分線能夠圍成一個四邊形，那么這個四邊形一定是（ ）A 平行四邊形 B 矩形 C 菱形 D 正方形（3）如圖，在ABC中，AB

5、=AC，將ABC繞點C旋轉(zhuǎn)180得到FEC，連結(jié)AE、BF 當ACB為 度時，四邊形ABFE為矩形（4）在平面直角坐標系上，有點A（-2，-2），B（2，2），C（0，4），當點D的坐標為 時，四邊形ABCD是矩形反思：熟練掌握矩形的判定，并能進行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵考點二 菱形的性質(zhì)與判定例3 （1）如圖，四邊形ABCD是菱形，過點A作BD的平行線交CD的延長線于點E. 有以下結(jié)論：BD=CE；DA=DE；EAC=90；ABC=2E. 則成立的結(jié)論是 .（2）一個菱形的兩條對角線的長分別為5和8，那么這個菱形的面積是 .（3）如圖，菱形ABCD的周長為24cm，對角線AC、BD相交

6、于O點，E是AD的中點，連結(jié)OE，則線段OE的長等于 cm（4）菱形OACB在平面直角坐標系中的位置如圖所示，點C的坐標是（6，0），點A的縱坐標是1，則點B的坐標是 .（5）如圖，在菱形ABCD中，A=60，AB=2，E，F(xiàn)兩點分別從A，B兩點同時出發(fā)，以相同的速度分別向終點B，C移動，連結(jié)EF，在移動的過程中，EF的最小值為 .反思：熟記菱形性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，解題時注意數(shù)形結(jié)合思想的應用例4 （1）平面直角坐標系中，四邊形ABCD的頂點坐標分別是A（-3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，-2），則四邊形ABCD是（ ）A 矩形 B 菱形C 正方形 D 平行四邊形（2）如圖，在AB

7、C中，點D是BC的中點，點E、F分別在線段AD及其延長線上，且DE=DF，給出下列條件：BEEC；AB=AC；BFEC. 從中選擇一個條件使四邊形BECF是菱形，你認為這個條件是 （只填寫序號）（3）如圖，在ABC中，ABC=90，D，E分別為AB，AC的中點，延長DE到點F，使EF=2DE求證：四邊形BCFE是平行四邊形；當ACB=60時，求證：四邊形BCFE是菱形反思：掌握平行四邊形、菱形的判定方法，利用數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵考點三 正方形的性質(zhì)與判定例5 （1）如圖，ABCD中，E為BC邊上一點，以AE為邊作正方形AEFG，若BAE=40，CEF=15，則D的度數(shù)是 .（2）將n個邊長都為

8、1cm的正方形按如圖所示擺放，點A1，A2，An分別是正方形的中心，則n個正方形重疊形成的重疊部分的面積和為 cm2反思：（1）解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，學會用轉(zhuǎn)化的思想思考問題.（2）本題的陰影很多，能夠認識到每個陰影部分等于是小正方形的面積是解題的關(guān)鍵例6 （1）如圖，在ABC中，點D、E、F分別在邊AB，BC，CA上，且DECA，DFBA 下列結(jié)論：四邊形AEDF是平行四邊形；如果BAC=90，那么四邊形AEDF是矩形；如果AD平分BAC，那么四邊形AEDF是菱形；如果BAC=90，AD平分BAC，那么四邊形AEDF是正方形，你認為正確的是 .（2）如圖，在矩形ABCD中，M

9、、N分別是邊AD、BC的中點，E、F分別是邊BM、CM的中點，當ABAD= 時，四邊形MENF是正方形反思：熟練應用平行四邊形、菱形、矩形及正方形的判定方法是解題關(guān)鍵考點四 特殊平行四邊形的開放探究例7 如圖1，四邊形ABCD是正方形，M是BC邊上的一點，E是CD邊的中點，AE平分DAM.【探究展示】（1）證明：AMADMC；（2）AMDEBM是否成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由；【拓展延伸】（3）若四邊形ABCD是長與寬不相等的矩形，其他條件不變，如圖2，探究展示（1）（2）中的結(jié)論是否成立？請分別作出判斷，不需要證明.反思：（1）常規(guī)輔助線：“中點平行”構(gòu)造全等，角平分線構(gòu)造

10、全等；（2）證“一條線段兩線段和”類型常用截長補短法；（3）第（1）小題也可過E作EHAM于H，再證HMCM得證.考點五 特殊平行四邊形的變換例8 已知：線段AB，BC，ABC=90 求作：矩形ABCD以下是甲、乙兩同學的作業(yè)：甲：以點C為圓心，AB長為半徑畫弧；以點A為圓心，BC長為半徑畫?。粌苫≡贐C上方交于點D，連結(jié)AD，CD，四邊形ABCD即為所求（如圖1）乙：連結(jié)AC，作線段AC的垂直平分線，交AC于點M；連結(jié)BM并延長，在延長線上取一點D，使MD=MB，連結(jié)AD，CD，四邊形ABCD即為所求（如圖2）對于兩人的作業(yè)，下列說法正確的是（ ）A 甲正確，乙錯誤 B 乙正確，甲錯誤C 甲

11、、乙均正確 D 甲、乙均錯誤反思：利用作圖的變換，再運用矩形的判定，并進行推理論證是解決問題的關(guān)鍵例9 已知，一張矩形紙片ABCD的邊長分別為9cm和3cm，把頂點A和C疊合在一起，得折痕EF（如圖）：（1）求證：四邊形AECF是菱形；（2）求折痕EF的長.反思：利用特殊平行四邊形的變換，再運用矩形、菱形的性質(zhì)及判定，求解一些簡單的計算及推理問題.考點六 特殊平行四邊形的綜合運用例10 如圖，在矩形ABCD中，AD6，DC10，菱形EFGH的三個頂點E，G，H分別在矩形ABCD的邊AB，CD，DA上，AH2，連結(jié)CF，BF.（1）若DG2，求證：四邊形EFGH為正方形；（2）若AEx，求EBF

12、的面積S關(guān)于x的函數(shù)表達式，并判斷是否存在x，使EBF的面積是CGF面積的2倍. 若存在，求出x的值；若不存在，請說明理由；（3）求GCF面積的最小值.反思：（1）證第（1）小題圖形不準，要抓住GDHHAE（HL），證明GHE90；（2）解第（2）小題的關(guān)鍵是構(gòu)造FNGHAE，F(xiàn)EMHGD；（3）求GCF面積的最小值要抓住GC邊上的高不變，GC最小只要DG最大，DH4，GHHE最大，點E與點B重合時，GCF的面積取最小.校對練習1 如圖，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB和BC的中點，EPCD于點P，設Ax，則FPC的度數(shù)為（ ）A B C D 2 如圖所示，點B，C分別在兩條直線y=2x和

13、y=kx上，點A，D是x軸上兩點，已知四邊形ABCD是正方形，則k的值為 .3 （南充中考）如圖，正方形ABCD和正方形CEFG邊長分別為a和b，正方形CEFG繞點C旋轉(zhuǎn)，給出下列結(jié)論：BE=DG；BEDG；DE2+BG2=2a2+b2，其中正確結(jié)論是 . （填序號）4. 定義：若點P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足APB+CPD=180，則稱點P為四邊形ABCD的一個“互補點”（1）如圖1，點P為四邊形ABCD的一個“互補點”，APD=63，求BPC的度數(shù)；（2）如圖2，點P是菱形ABCD對角線上的任意一點，求證：點P為菱形ABCD的一個“互補點”5 已知：如圖，ABC中，ABAC，ADBC，

14、且ADBC4，若將此三角形沿AD剪開成為兩個三角形，在平面上把這兩個三角形拼成一個四邊形，你能拼出所有不同形狀的四邊形嗎？寫出所拼四邊形對角線的長（不要求寫計算過程，只需寫出結(jié)果）6 如圖1，在正方形ABCD中，P是對角線AC上的一點，點E在BC的延長線上，且PE=PB（1）求證：BCPDCP；（2）求證：DPE=ABC；（3）把正方形ABCD改為菱形，其他條件不變（如圖2），若ABC=58，則DPE= 度7 如圖，在正方形ABCD中，DE與HG相交于點O.（1）如圖1所示，若GOD90，求證：DEGH；連結(jié)EH，求證：GDEHDE；（2）如圖2所示，若GOD45，AB4，HG2，求DE的長.

15、參考答案【必備知識與防范點】1. （1）四 相等 中心 軸 兩（2）直角 平行四邊形 三 平行四邊形2. （1）四 互相垂直平分 一組對角（2）鄰邊 平行四邊形 菱形 互相垂直3. （1）四 相等 相等 互相垂直平分 對角（2）鄰邊 直角 矩形 菱形【例題精析】例1 （1）如圖，連結(jié)OP，AB=6，AD=8，BD=10，四邊形ABCD是矩形，OA=OD=10=5，SAOD=SAOP+SDOP，68=5PE+5PF，解得PE+PF=4.8 故選：B （2） （3）5 57.5和32.5 8 （4） （5）10 例2 （1）C （2）B （3）60 （4）（-4，0）例3 （1） （2）20 （3

16、）3 （4）（3，-1）（5）連結(jié)DB，作DHAB于H，如圖，四邊形ABCD為菱形，AD=AB=BC=CD，而A=60，ABD和BCD都是等邊三角形，ADB=DBC=60，AD=BD，在RtADH中，AH=1，AD=2，DH=，在ADE和BDF中，AD=BD，A=FBD，AE=BF，ADEBDF，2=1，DE=DF，1+BDE=2+BDE=ADB=60，DEF為等邊三角形，EF=DE，而當E點運動到H點時，DE的值最小，其最小值為，EF的最小值為例4 （1）B （2）（3）D，E為AB，AC中點，DE為ABC的中位線，DE=BC，DEBC，即EFBC，EF=BC，四邊形BCFE為平行四邊形四邊

17、形BCFE為平行四邊形，ACB=60，BC=CE=BE，四邊形BCFE是菱形例5 （1）65 （2）例6 （1） （2）12例7 （1）證明：延長AE、BC交于點N，如圖1所示，四邊形ABCD是正方形，ADBC. DAE=ENC. AE平分DAM，DAE=MAE. ENC=MAE. MA=MN. 在ADE和NCE中，DAE=CNE，AED=NEC，DE=CE，ADENCE（AAS）. AD=NC. MA=MN=NC+MC=AD+MC.（2）AM=DE+BM成立.證明：過點A作AFAE，交CB的延長線于點F，如圖2所示. 四邊形ABCD是正方形，BAD=D=ABC=90，AB=AD，ABDC.

18、AFAE，F(xiàn)AE=90. FAB=90-BAE=DAE. 在ABF和ADE中，F(xiàn)AB=EAD，AB=AD，ABF=D，ABFADE（ASA）. BF=DE，F(xiàn)=AED. ABDC，AED=BAE. FAB=EAD=EAM，AED=BAE=BAM+EAM=BAM+FAB=FAM. F=FAM. AM=FM. AM=FB+BM=DE+BM. （3）探究展示（1）AMADMC仍成立；（2）AMDEBM不成立.例8 C例9 （1）四邊形ABCD為矩形，ABCD，AFE=CEF. 矩形ABCD沿EF折疊，點A和C重合，CEF=AEF，AE=CE，AFE=AEF，AE=AF. AF=CE，又AFCE，四邊

19、形AECF為平行四邊形，AE=EC，即四邊形AECF的四邊相等. 四邊形AECF為菱形.（2）AB=9cm，BC=3cm，AC=3cm，AF=CF，在RtBCF中，設BF=xcm，則CF=（9-x）cm，由勾股定理可得（9-x）2=x2+32，即18x=72，解得x=4，則CF=5，BF=4，由面積可得：ACEF=AFBC，即3EF=53，EF=cm.例10 （1）在HDG和AEH中，四邊形ABCD是矩形，D=A=90，四邊形EFGH是菱形，HG=HE，在RtHDG和RtEAH中，HG=HE，DG=AH，RtHDGRtEAH，DHG=AEH，DHG+AHE=90，GHE=90，菱形EFGH為正

20、方形；（2）過F作FMAB，垂足為M，交DC延長線于點N，連結(jié)GE，F(xiàn)NCD，CDAB，DGE=MEG，GHEF，HGE=FEG，DGH=MEF，在RtHDG和RtFME中，D=M=90，DGH=FEM，HG=FE，RtHDGRtFME，DH=MF，AH=2，DH=MF=4，AE=x，BE=10-x. SEBF=BEFM=2（10-x）=20-2x.同理可證RtAHERtNFG，F(xiàn)N=AH=2，AH=2，AE=x，HE=HG=，DG=，CG=10-，SGCF=CGFN=10-，若EBF的面積是CGF面積的2倍，則20-2x=2（10-），整理得：x2=x2-12，此方程無解，所以不存在x，使E

21、BF的面積是CGF面積的2倍.（3）當點E與點B重合時，GCF的面積取最小，最小值為10-2.【校內(nèi)練習】1. D2. 3. 4. （1）如圖1，點P為四邊形ABCD的一個“互補點”，APD=63，BPC=180-APD=180-63=117，即BPC=117.（2）如圖2，連結(jié)AP、CP，四邊形ABCD是菱形，AD=CD，ADP=CDP 而DP=DP，ADPCDP，APD=CPD 又APB+APD=180，APB+CPD=180，即點P為菱形ABCD的一個“互補點”5. （1）圖1是矩形，兩條對角線長相等，均為2；圖2是平行四邊形，兩條對角線長為4和4；圖3是平行四邊形，兩條對角線長為2和2；圖4是一般的四邊形，兩條對角線長為2和.6. （1