數(shù)學(xué)史的激勵功能、 認(rèn)知功能和文化育人功能

1、數(shù)學(xué)史的激勵功能、 認(rèn)知功能和文化育人功能近年來， 關(guān)于數(shù)學(xué)史融入數(shù)學(xué)教學(xué)的理論和實(shí)證研究屢見不鮮， 但對數(shù)學(xué)史 高評價， 低利用;的現(xiàn)象始終存在。 這一方面和廣大中學(xué)數(shù)學(xué)教師自身的數(shù)學(xué)史素養(yǎng)有關(guān)， 同時也受到應(yīng)試教育大背景的影響， 由于數(shù)學(xué)史不能對提高學(xué)生成績帶來立竿見影的效果， 所以教師也就無暇顧及數(shù)學(xué)史的教學(xué)。但是， 數(shù)學(xué)史對學(xué)生理解數(shù)學(xué)進(jìn)而樹立正確的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀起著舉足輕重的作用， 不得不引起廣大教師的重視。 研究表明， 學(xué)生獲得數(shù)學(xué)史知識的渠道主要是課堂、 圖書館或網(wǎng)絡(luò)， 其中 56. 6%的學(xué)生數(shù)學(xué)史知識的獲得主要來源于教師在課堂上的介紹， 可見教師的引導(dǎo)作用對學(xué)生獲得數(shù)學(xué)史知識的重

2、要影響。教材是教師進(jìn)行教學(xué)活動的重要資源， 對教材的合理利用可以使教學(xué)收到事半功倍的效果。 在普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn) （實(shí)驗(yàn)） 指導(dǎo)下編寫的數(shù)學(xué)教材設(shè)置了大量與數(shù)學(xué)史相關(guān)的內(nèi)容， 廣泛分布在教材的各章節(jié)。 由于教材中的數(shù)學(xué)史是經(jīng)過課程專家精心篩選和經(jīng)過教學(xué)法加工過的， 所以能較好地體現(xiàn)新課程理念， 并且方便在教學(xué)實(shí)踐中的具體操作， 因此成為廣大教師首選的數(shù)學(xué)史教學(xué)資源。而實(shí)際情況卻是教師在進(jìn)行正文知識講解時， 往往對教材中的數(shù)學(xué)史只做輕描淡寫的講述或用三言兩語一帶而過， 有時甚至為了節(jié)省課堂教學(xué)時間而棄之不用， 這樣就使數(shù)學(xué)史應(yīng)有的教育功能的發(fā)揮大打折扣或使其形同虛設(shè)。 究其原因， 主要是教師對

3、數(shù)學(xué)史教育功能的認(rèn)識存在缺失或理解偏頗， 且專門論述教材中數(shù)學(xué)史教育功能的文章鮮見于相關(guān)中學(xué)數(shù)學(xué)雜志， 廣大教師缺少必要的教學(xué)參考， 勢必會影響到教材中數(shù)學(xué)史的有效使用。高中必修教材中的數(shù)學(xué)史主要以閱讀材料、 章節(jié)引言、 例習(xí)題等形式分布在教材的正文和課后閱讀部分。 其呈現(xiàn)方式主要是文字形式， 部分?jǐn)?shù)學(xué)史附帶數(shù)學(xué)家的圖像和相關(guān)歷史圖片， 內(nèi)容涉及數(shù)學(xué)家的生平、 數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生發(fā)展、 歷史趣題、 數(shù)學(xué)故事和數(shù)學(xué)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用等。 分析發(fā)現(xiàn)， 教材中數(shù)學(xué)史的功能可以分為三個方面， 即數(shù)學(xué)史的激勵功能、 認(rèn)知功能和文化育人功能。一、激勵功能傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)教材給人以邏輯嚴(yán)密、 無懈可擊的感覺， 在用邏輯

4、的方法和形式化的語言構(gòu)建的知識體系中適當(dāng)添加數(shù)學(xué)史， 相當(dāng)于在數(shù)學(xué)的火鍋中添加一劑特別的佐料， 可以使數(shù)學(xué)教學(xué)體現(xiàn)出別具風(fēng)格的意蘊(yùn)。 一則簡短的數(shù)學(xué)歷史典故， 便能將學(xué)生帶入深深的數(shù)學(xué)思考之中， 一首精悍的數(shù)學(xué)詩歌便能博得學(xué)生會心一笑， 數(shù)學(xué)予知， 歷史予智;, 講的就是這層意思。1. 勵志功能數(shù)學(xué)家的趣聞軼事是學(xué)生最感興趣的話題， 其中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)家的執(zhí)著和智慧， 體現(xiàn)著數(shù)學(xué)家奮斗過程的艱辛和獲得成功后的喜悅， 是激勵學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的一劑良藥， 是幫助學(xué)生樹立學(xué)習(xí)信心的良好楷模。人教 A 版在閱讀材料 割圓術(shù); 中， 講到中國古代數(shù)學(xué)家在計(jì)算圓周率方面的偉大貢獻(xiàn)， 從理論上講， 運(yùn)用 割圓術(shù);

5、可以把 π 的值計(jì)算到任意精度。 劉徽一直計(jì)算到 192 邊形， 得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位的近似值 3.14, 化成分?jǐn)?shù)為15750, 這就是著名的 徽率;. 我國南北朝時期的數(shù)學(xué)家祖沖之繼承并發(fā)展了劉徽的割圓術(shù)， 求得 3.1415926蘇教版在閱讀材料 尚克斯算錯了嗎; 中， 也講到歷史上關(guān)于圓周率的計(jì)算問題。 英國數(shù)學(xué)家尚克斯精于數(shù)值計(jì)算， 尤以計(jì)算圓周率 π 的值聞名，他在 1853 年利用公式將 π 值計(jì)算到 608 位小數(shù)，1873 年又將 π 值計(jì)算到 707 位， 像他這樣數(shù)十年如一日的精神令人贊嘆。 1937 年的巴黎博覽會上， 這707 位小數(shù)

6、曾被刻在 發(fā)現(xiàn)館; 的天井院內(nèi)， 供人瞻仰。 1940 年， 一位英國大學(xué)生弗格森出于好奇， 對尚克斯 1853 年算得的 π 值的 608 個數(shù)字作了統(tǒng)計(jì)，結(jié)果得出每個不同數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)。這一結(jié)果出乎他的意料。 他原來猜想這 10 個數(shù)字出現(xiàn)的次數(shù)應(yīng)大致相等。 數(shù)字 7 的出現(xiàn)次數(shù)怎么會這樣少呢？ 他想， 上帝總不會對 7 懷有歧視吧！尚克斯的計(jì)算是否有誤？ 于是他用當(dāng)時最好的公式和最先進(jìn)的計(jì)算工具 （當(dāng)時電子計(jì)算機(jī)尚未問世），花了一年時間算出了 710 位小數(shù)， 結(jié)果發(fā)現(xiàn)尚克斯計(jì)算的 π 值從第 528 位開始出現(xiàn)錯誤。 后來他和美國人倫奇合作， 于 1948 年 1 月共同發(fā)

7、表了 π 的 808位小數(shù)值。 再次統(tǒng)計(jì)的結(jié)果表明， 數(shù)字 7 出現(xiàn)的次數(shù)并不明顯少于其他數(shù)字。像這樣的數(shù)學(xué)史素材， 不僅有趣， 更能啟發(fā)學(xué)生的思考。 數(shù)學(xué)家也是會犯錯誤的， 許多數(shù)學(xué)結(jié)論是可以懷疑的。 好奇心是取得任何成就的關(guān)鍵。 一般人也可以在數(shù)學(xué)上做出突出貢獻(xiàn)， 概率知識在生活和科學(xué)研究中是多么有用， 進(jìn)而激發(fā)學(xué)生對概率學(xué)習(xí)的興趣和應(yīng)用概率知識解決實(shí)際問題的欲望。2. 激趣功能運(yùn)用數(shù)學(xué)史創(chuàng)設(shè)問題情境或直接引用歷史上的數(shù)學(xué)名題可以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。 對歷史故事和新鮮事物的好奇是學(xué)生的天性， 而這種天性往往體現(xiàn)在人文學(xué)科中， 很難在數(shù)學(xué)課堂上展現(xiàn)出來， 數(shù)學(xué)史的引入在人文學(xué)科和數(shù)學(xué)學(xué)

8、科之間搭建起了一道橋梁。蘇教版在講解案例設(shè)計(jì) 韓信點(diǎn)兵-孫子問題; 時， 花很大篇幅介紹了韓信點(diǎn)兵的歷史背景，且敘述上是以講故事的形式進(jìn)行的， 并附以歷史插圖， 加之適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)， 讓學(xué)生在欣賞歷史故事的同時不知不覺進(jìn)入數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)， 這樣的設(shè)計(jì)比單刀直入式的講解更富有人文關(guān)懷， 更容易被學(xué)生所接受， 也更容易在學(xué)生的記憶中留下深刻的印象。在蘇教版的課后習(xí)題中， 有多道題目是以古算為背景出現(xiàn)的， 如我國古代用詩歌形式提出的一個數(shù)列問題， 遠(yuǎn)望巍巍塔七層， 紅燈向下成倍增，共燈三百八十一， 試問塔頂幾盞燈？; 題目的表現(xiàn)形式簡潔明快， 且饒有趣味， 讓學(xué)生在學(xué)習(xí)知識之余，感受古人的智慧和中國

9、詩歌文化的博大精深。 像這樣以古算為背景的題目， 并不涉及多么深奧的知識，卻非常有趣， 為傳統(tǒng)的習(xí)題設(shè)計(jì)模式注入了新的活力。二、認(rèn)知功能吳文俊院士曾說， 假如把數(shù)學(xué)的歷史發(fā)展， 把一個領(lǐng)域的發(fā)生和發(fā)展， 把一個理論的興旺和衰落，把一個概念的來龍去脈， 把一種重要思想的產(chǎn)生和影響等許多歷史因素都弄清楚了， 就會對數(shù)學(xué)了解多了， 對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀就會知道得更清楚、 更深刻，還可以對數(shù)學(xué)的現(xiàn)狀及未來起到一種知道的作用。1. 了解概念產(chǎn)生的歷史背景有研究者認(rèn)為， 如果不知道數(shù)學(xué)概念為什么出現(xiàn)以及以何種方式出現(xiàn)， 想學(xué)好它幾乎是不可能的。學(xué)生只有清楚了概念產(chǎn)生的歷史背景， 才能將知識學(xué)習(xí)得更明白， 記憶得更

10、深刻， 而數(shù)學(xué)史恰恰為我們提供了一個從歷史的角度審視概念產(chǎn)生和發(fā)展的良好契機(jī)。函數(shù)概念的產(chǎn)生和發(fā)展經(jīng)歷了漫長的歷史過程，從最初的變量說到后來的對應(yīng)說， 直至現(xiàn)在許多大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)課中普遍采用的關(guān)系說， 經(jīng)歷了不斷的創(chuàng)造與否定、 爭論與完善的過程。 學(xué)生通過閱讀函數(shù)概念的發(fā)展史， 加之教師的適當(dāng)引導(dǎo)， 就會對各種函數(shù)定義的局限性有一個清醒的認(rèn)識， 明確初中函數(shù)定義的合理性和不足， 進(jìn)而加深對高中數(shù)學(xué)用集合定義函數(shù)概念的理解。 高中數(shù)學(xué)教材中， 指數(shù)概念的學(xué)習(xí)是先于對數(shù)的， 而歷史上指數(shù)的產(chǎn)生要遠(yuǎn)遠(yuǎn)晚于對數(shù)， 學(xué)生通過學(xué)習(xí)課后閱讀材料 對數(shù)的發(fā)明;, 會明確引入對數(shù)運(yùn)算的重要意義， 認(rèn)識到對數(shù)的發(fā)明

11、之所以早于指數(shù)， 是由于在當(dāng)時的天文和航海等領(lǐng)域， 涉及到許多復(fù)雜的乘除法計(jì)算。 而加減法運(yùn)算較簡單， 能不能把乘除法轉(zhuǎn)化為加減法呢， 于是納皮爾經(jīng)過研究， 發(fā)現(xiàn)了可以簡化運(yùn)算的對數(shù);, 無怪乎后人將對數(shù)的發(fā)現(xiàn)稱之為延長天文學(xué)家壽命的一項(xiàng)發(fā)現(xiàn)。 教材之所以先講指數(shù)， 也只是考慮到學(xué)生之前的知識結(jié)構(gòu)和認(rèn)知發(fā)展的需要。教學(xué)時適當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生閱讀對數(shù)的發(fā)展史， 會加深學(xué)生對指數(shù)和對數(shù)關(guān)系的理解。教材中還安排了許多相關(guān)概念的歷史發(fā)展等閱讀材料， 如解析幾何的發(fā)展史、 向量的產(chǎn)生、 三角學(xué)的發(fā)展、 歷史上的方程求解等。 對相關(guān)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)可以使學(xué)生在頭腦中對一些表面上看起來毫無關(guān)系的數(shù)學(xué)知識之間建立起聯(lián)系，

12、 進(jìn)而學(xué)得更明白，即使會占用一些課堂時間， 但從學(xué)生的長遠(yuǎn)發(fā)展和素質(zhì)教育的培養(yǎng)目標(biāo)來看還是值得的。2. 理解數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)數(shù)學(xué)史更深層次的意義在于加深學(xué)生對數(shù)學(xué)概念本質(zhì)的理解。 許多學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)了很多年， 到頭來并不清楚所學(xué)知識的意義， 當(dāng)問到某一數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)是什么的時候， 并不能給出滿意的回答， 甚至從來沒有思考過這個問題， 這也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中會而不懂; 現(xiàn)象的一種具體體現(xiàn)。 教材中許多章節(jié)以閱讀與思考的形式展現(xiàn)了核心概念的發(fā)展歷史，其中不乏對概念本質(zhì)的揭示。歐幾里得 原本 是一部劃時代的著作， 其偉大的歷史意義是它在人類數(shù)學(xué)史中第一次給出了公理化的數(shù)學(xué)體系， 教材在對 原本 簡單介紹的基礎(chǔ)

13、上， 重點(diǎn)歸納了其中蘊(yùn)含的公理化思想的本質(zhì)。笛卡兒的解析幾何思想對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究甚至對相關(guān)數(shù)學(xué)分支的建立都有著重要的指導(dǎo)作用， 對其本質(zhì)的理解和把握有助于學(xué)生從宏觀上認(rèn)識該思想的精髓， 有利于創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)。 蘇教版在閱讀與思考中對該思想進(jìn)行重點(diǎn)闡述。3. 挖掘數(shù)學(xué)思想方法， 進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)的發(fā)展史就是數(shù)學(xué)家不斷提出問題和解決問題的歷史， 其中不乏數(shù)學(xué)家對思想方法的創(chuàng)新和對推理過程的精彩演繹。 數(shù)學(xué)史中的思想方法是與教學(xué)知識聯(lián)系最為緊密的內(nèi)容， 最有可能轉(zhuǎn)化為實(shí)際的教學(xué)資源。 通過數(shù)學(xué)史再現(xiàn)一些重要思想方法的產(chǎn)生過程， 并且設(shè)計(jì)成相應(yīng)的教學(xué)活動， 讓學(xué)生在 做數(shù)學(xué); 的過程中， 有意識地體

14、會學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)思想方法的重要意義。挖掘數(shù)學(xué)史中的思想方法編制數(shù)學(xué)題目， 是一種比較直接地利用數(shù)學(xué)史的方式。 學(xué)生可通過相應(yīng)數(shù)學(xué)史的學(xué)習(xí)掌握其中的思想方法， 再通過具體的解題實(shí)踐加深對思想方法的理解。 人教 A 版有一則閱讀與思考是關(guān)于 祖暅原理與柱體、 錐體和球體的體積;, 通過自主閱讀和教師的適當(dāng)引導(dǎo)， 學(xué)生掌握了 祖暅原理; 的思想和具體操作， 教師不妨設(shè)計(jì)以下的問題。例如， 我國齊梁時代的數(shù)學(xué)家祖暅提出了一條原理 冪勢既同， 則積不容異;, 這句話的意思是夾在兩個平行平面間的兩個幾何體， 被平行于這兩個平面的任何平面所截， 如果截得的兩個截面的面積總是相等， 那么這兩個幾何體的體積相等。設(shè)由

15、曲線 x2=4y 和直線 x=4, y=0 所圍成的平面圖形繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為 1, 由同時滿足 x≥0, x2+y2≤16, x2+（y-2）2≥4 的點(diǎn) （x, y） 構(gòu)成的平面圖形， 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體為2, 根據(jù)祖暅原理等知識， 通過考查 2可以得到 1的體積是 .需要指出的是運(yùn)用數(shù)學(xué)史中的思想方法進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)， 首先需要緊密聯(lián)系教學(xué)知識， 不可喧賓奪主， 無謂地增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。 其次要考慮學(xué)生的可接受性， 數(shù)學(xué)史的引入， 是為了更好地促進(jìn)數(shù)學(xué)教學(xué)， 如果史料本身的內(nèi)容過難過偏， 只會平添學(xué)生的認(rèn)知負(fù)擔(dān)， 反而起不到激發(fā)學(xué)習(xí)興趣的作用

16、，其效果自然適得其反。三、文化育人功能我們認(rèn)為， 數(shù)學(xué)教學(xué)研究可以基于這樣兩個視角， 即心理學(xué)的視角和歷史文化的視角， 前者從微觀角度考查在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中學(xué)生頭腦中認(rèn)知結(jié)構(gòu)發(fā)生了哪些變化， 是如何表現(xiàn)在外部的教學(xué)活動中的， 教師如何發(fā)揮外部活動的效用， 以便積極影響學(xué)生的內(nèi)部活動， 進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生知識結(jié)構(gòu)的良好建構(gòu)。后者從宏觀角度審視學(xué)科的歷史發(fā)展， 為數(shù)學(xué)教學(xué)提供歷史借鑒， 使學(xué)生從文化的角度理解數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的歷史必然性以及與其他領(lǐng)域的廣泛聯(lián)系。 傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)觀認(rèn)為數(shù)學(xué)是與社會文化毫無關(guān)系的， 數(shù)學(xué)史的引入在一定程度上改變了這種觀念。克萊因認(rèn)為， 在人類文明中， 數(shù)學(xué)如果脫離了其豐富的文化基

17、礎(chǔ)， 就會簡化成一系列的技巧， 它的形象也就被完全歪曲了， 由于外行人很少使用數(shù)學(xué)技巧及其知識， 因此他們對這些通常顯得枯燥無味的東西很反感。 這樣一來， 對于數(shù)學(xué)這樣一門基礎(chǔ)性的、富有生命力的、 崇高的學(xué)科， 就連一些受過良好教育的人也持無視甚至輕蔑態(tài)度。 克萊因想努力表達(dá)這樣一個觀點(diǎn)， 在西方文明中， 數(shù)學(xué)一直是一種主要的文化力量。 我們知道， 在西方許多數(shù)學(xué)家本來就是大哲學(xué)家， 或者在其他人文領(lǐng)域有著重要建樹， 萊布尼茲既是數(shù)學(xué)家又是偉大的哲學(xué)家。 牛頓的數(shù)學(xué)名著 自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理 是以哲學(xué)命名的。 我們所熟知的羅素悖論; 是由諾貝爾文學(xué)獎得主羅素發(fā)現(xiàn)的， 他被譽(yù)為抽象數(shù)學(xué)的代表人物。 傅里葉級數(shù); 是以理想社會主義的代表人物傅里葉的名字命名的。 歷屆諾貝爾獎得主或菲爾茲獎得主所做的演講往往不是專業(yè)的數(shù)學(xué)課題， 而是關(guān)于哲學(xué)或文學(xué)如何影響其獲得發(fā)現(xiàn)的。 丘成桐先生曾說： 我本人曾經(jīng)深受中國古代文學(xué)、 古代詩詞歌賦的影響， 從 詩經(jīng) 我看到比興的方法對尋找數(shù)學(xué)方向的重要性， 吟誦 楚辭 和史記 激勵起我對數(shù)學(xué)的感