常微分方程考研講義階微分方程解的存在定理

1、第三章 一階微分方程解的存在定理 教學(xué)目標(biāo) 1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，掌握逐次逼近法，熟練近似解的 誤差估計(jì)式。2. 了解解的延拓定理及延拓條件。3. 理解解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的條件和結(jié)論。 教學(xué)重難點(diǎn) 解的存在唯一性定理的證明，解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理的證明。 教學(xué)方法 講授，實(shí)踐。 教學(xué)時(shí)間 12 學(xué)時(shí) 教學(xué)內(nèi)容 解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論及證明思路，解的延拓概念及延拓條件， 解對(duì)初值的連續(xù)性、可微性定理及其證明。 考核目標(biāo) 1. 理解解的存在唯一性定理的條件、結(jié)論，能用逐次逼近法解簡(jiǎn)單的問題。2. 熟練近似解的誤差估計(jì)式，解對(duì)初值的連續(xù)性及可微性

2、公式。3. 利用解的存在唯一性定理、解的延拓定理及延拓條件能證明有關(guān)方程的某些性質(zhì)。 1 解的存在性唯一性定理和逐步逼近法微分方程來源于生產(chǎn)實(shí)踐際，研究微分方程的目的就在于掌握它所反映的客觀規(guī)律，能動(dòng)解釋所出現(xiàn)的各種現(xiàn)象并預(yù)測(cè)未來的可能情況。在第二章介紹了一階微分方程初等解 法的幾種類型，但是，大量的一階方程一般是不能用初等解法求出其通解。而實(shí)際問題中 所需要的往往是要求滿足某種初始條件的解。因此初值問題的研究就顯得十分重要，從前 面我們也了解到初值問題的解不一定是唯一的。他必須滿足一定的條件才能保證初值問題 解的存在性與唯一性，而討論初值問題解的存在性與唯一性在常微分方程占有很重要的地 位，

3、是近代常微分方程定性理論，穩(wěn)定性理論以及其他理論的基礎(chǔ)。例如方程過點(diǎn)(0,0)的解就是不唯一，易知y 0是方程過(0,0)的解，此外，容易驗(yàn)證，y x2或更 一般地，函數(shù)都是方程過點(diǎn)(0,0)而且定義在區(qū)間0 x 1上的解，其中c是滿足0 c 1的任一數(shù)。解的存在唯一性定理能夠很好地解釋上述問題，它明確地肯定了方程的解在一定條 件下的存在性和唯一性。另外，由于能得到精確解的微分方程為數(shù)不多，微分方程的近似 解法具有重要的意義，而解的存在唯一性是進(jìn)行近似計(jì)算的前提，如果解本身不存在，而 近似求解就失去意義；如果存在不唯一，不能確定所求的是哪個(gè)解。而解的存在唯一性定 理保證了所求解的存在性和唯一性

4、。1 存在性與唯一性定理：(1)顯式一階微分方程dy f(x,y) dx(3.1 )這里 f (x, y)是在矩形域：R：|x X)| a,| y y01 b(3.2 )上連續(xù)定理1:如果函數(shù)f (x, y)滿足以下條件：1)在R上連續(xù)：2)在R上關(guān)于變量y滿足 李普希茲(Lipschitz )條件，即存在常數(shù)L 0 ,使對(duì)于R上任何一對(duì)點(diǎn)(x, yi)，(x, y?) 均有不等式f(x, yj f (x, y2) L y1 y2成立，則方程(3.1 )存在唯一的解y (x)，在 區(qū)間|x Xo| h上連續(xù)，而且滿足初始條件(xo)yo其中 h min( a, ), MM(3.3 )max f

5、 (x, y) , L 稱為 Lipschitz 常數(shù).x,y R思路：1) 求解初值問題(3.1)的解等價(jià)于積分方程 的連續(xù)解。2) 構(gòu)造近似解函數(shù)列 n(x)任取一個(gè)連續(xù)函數(shù)o(x)，使得| o(x)yo | b，替代上述積分方程右端的y，得到如果1(X)0(x)，那么0(x)是積分方程的解，否則，又用1(X)替代積分方程右端的y ,得到如果2(x)i(x)，那么i(x)是積分方程的解，否則，繼續(xù)進(jìn)行，得到xn(x) y0x f(x, n 1 ( x)dxx0(3.4)于是得到函數(shù)序列 n(x) .3) 函數(shù)序列 n(x)在區(qū)間X。h,X。h上一致收斂于(X)，即存在，對(duì) (3.4) 取極

6、限, 得到x即 (x) y0x f (x, (x)dx.x0x4) (x)是積分方程y y0f (x, y)dx在x。h, x。h上的連續(xù)解.x0這種一步一步求出方程解的方法 逐步逼近法 . 在定理的假設(shè)條件下 , 分五個(gè)命題來證明定理.為了討論方便,只考慮區(qū)間x。x x。h,對(duì)于區(qū)間Xo h x x。的討論完全類似.命題1 設(shè)y (x)是方程(3.1)定義于區(qū)間X0x X0 h上,滿足初始條件（x。） y。3.3）h 上的連續(xù)解 .( xo )yo 的解.的解,則y(x)是積分方程xy y0x f ( x, y)dxx0 x x0 hx0(3.5)的定義于xo x xo h上的連續(xù)解.反之亦

7、然.證明 因?yàn)閥 (x)是方程(3.1)滿足(xo)yo的解,于是有兩邊取 xo 到 x 的積分得到x即有 (x)yof (x, (x)dxxox xo hxox所以 y (x) 是積分方程 y yof(x, y)dx 定義在區(qū)間 xo x xoxo反之，如果y (x)是積分方程(3.5)上的連續(xù)解,則x( x)yof ( x, ( x)dx xo x xo hxo(3.6)由于f (x, y)在R上連續(xù),從而f (x, (x)連續(xù),兩邊對(duì)x求導(dǎo),可得而且(xo)yo,故y (x)是方程(3.1)定義在區(qū)間x0x x0 h上，且滿足初始條件 構(gòu)造 Picard 的逐次逼近函數(shù)序列 n(x) .

8、（3.7）o(x) n (x)yoyoxx f ( , n 1( )dxoxoxxoh (n1,2,L )命題 2對(duì)于所有的n ，（3.6 ）中的函數(shù)n(x)在 Xoxxo h 上有定義，連續(xù)且滿足不等式| n(x) yo| b（3.8）證明 用數(shù)學(xué)歸納法證明x當(dāng)n 1時(shí)， O yof （ ,y）d ，顯然 dx）在x x x h上有定義、連續(xù)x0且有即命題成立 .假設(shè) n k 命題 2 成立，也就是在 x0 x x0 h 上有定義、連續(xù)且滿足不等式當(dāng) n k 1 時(shí)，由于f （x, y）在R上連續(xù),從而f（x, k（x）在x0 x x0 h上連續(xù)，于是得知 k 1（x）在x0 x x0 h

9、上有定義、連續(xù) , 而且有即命題2對(duì)n k 1時(shí)也成立.由數(shù)學(xué)歸納法知對(duì)所有的n均成立.命題3函數(shù)序列 n（X）在x0 x滄h上是一致收斂的.記 lim n（x）（x）, Xo x xo hn證明構(gòu)造函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)o(x) k(x) ki(x)Xo x Xo hk 1(3.9)它的部分和為于是n (x)的一致收斂性與級(jí)數(shù)(3.9)的一致收斂性等價(jià).為此，對(duì)級(jí)數(shù)(3.9)的通項(xiàng)進(jìn)行估計(jì).xI i(x)o(x)| f( , o( )|d M(x Xo)x)(3.10)由Lipschitz條件得知設(shè)對(duì)于正整數(shù)n,有不等式成立,則由Lipschitz 條件得知，當(dāng)x0x x0 h時(shí)，有于是由數(shù)學(xué)歸納法可知

10、,對(duì)所有正整數(shù)k,有| k(x)k 1(x) |k 1MLk!(xk 1ML 嚴(yán)hk!x0xx0hk由正項(xiàng)級(jí)數(shù)mlk 1k 1k !(3.11)的收斂性，利用Weierstrass判別法，級(jí)數(shù)(3.9)在x0x x0 h上一致收斂.因而序列 n (x)在x0x x0h上一致收斂.設(shè)lim n(x)(x),則(x)也在Xo x Xo h上連續(xù),且n命題 4(x) 是積分方程 (3.5) 的定義在 xo x xo h 上的連續(xù)解 .證明 由 Lipschitz 條件以及 n(x)在Xo x Xo h上一致收斂于(x),可知f(x, n(x)在X。X X。h上一致收斂于f (X, (X).因此x即n

11、(x) yox f ( , ( )dxo故(X)是積分方程(3.5)的定義在X。X X。h上的連續(xù)解.命題5設(shè)(x)是積分方程(3.5)的定義在Xo x Xo h上的一個(gè)連續(xù)解，則(x)(X),X。 X X。 h.證明 設(shè)g(x) | (x)(X) |,則g(x)是定義在Xo X Xo h的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，由于而且 f (X, y) 滿足 Lipschitz 條件 , 可得X令u(x) L g( )d ,則u(x)是Xo X Xo h的連續(xù)可微函數(shù)，且u(x) o ,Xoo g(X) u(X),u(X) Lg(X),u(X) Lu(X), (u(X) Lu(X)eLX o,即(u(x)e Lx)

12、o,于是在xoxxoh 上,u(x)e Lxu(Xo)eLXoo故 g(x) u(x) o ,即 g(x) o, Xo x Xo h ,命題得證.對(duì)定理說明幾點(diǎn)(1) 存在唯一性定理中h min(a,R)的幾何意義.M在矩形域R中|f(x,y) M ,故方程過(Xo,y。)的積分曲線y (X)的斜率必介于 M與M之 間,過點(diǎn)(xo,y)分別作斜率為 M與M的直線.當(dāng)M -時(shí)，即a ,(如圖(a)所示)，解y (x)在Xo a x x a上有定義；當(dāng)aMM b時(shí),即 a,(如圖(b)所示)，不能保證解在xo a x xo a上有定義，它有可aM能在區(qū)間內(nèi)就跑到矩形R外去，只有當(dāng)xo x xo 才

13、能保證解y (x)在R內(nèi)，MM故要求解的存在范圍是| x xo | h .(2) 、由于李普希茲條件的檢驗(yàn)是比較費(fèi)事的，而我們能夠用一個(gè)較強(qiáng)的，但卻易于驗(yàn)證的條件來代替他，即如果函數(shù)f(x,y)在矩形域R上關(guān)于y的偏導(dǎo)數(shù)fy(x,y)存在并有界，即fy(x, y) L，則李普希茲條件條件成立.事實(shí)上這里(x, yi),( x, y2) R,o 1.如果fy(x,y)在R上連續(xù)，它在R上當(dāng)然滿足李普希茲條件.但是,滿足李普希茲條件的函數(shù)f (x, y)不一定有偏導(dǎo)數(shù)存在.例如函數(shù)f (x, y) | y |在任 何區(qū)域都滿足李普希茲條件，但它在y 0處沒有導(dǎo)數(shù).(3) 、設(shè)方程(3.1)是線性的

14、,即方程為易知,當(dāng)P(x),Q(x)在區(qū)間,上連續(xù)時(shí),定理1的條件就能滿足,且對(duì)任一初值 (xo,y),x ,所確定的解在整個(gè)區(qū)間,上有定義、連續(xù).實(shí)際上,對(duì)于一般方程(3.1),由初值所確定的解只能定義在|x xo| h上，是因?yàn)樵?構(gòu)造逐步逼近函數(shù)序列 n(x) 時(shí), 要求它不越出矩形域 R, 此時(shí), 右端函數(shù)對(duì) y 沒有任何限 制,只要取 M max |P(x)y0 Q(x)|.x , (4) 、Lipschitz 條件 是保證初值問題解惟一的充分條件，而非必要條件 .例如 試證方程經(jīng)過xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的.證明 y 0 時(shí)，f (x, y) yln| y|,在 y 0 上連

15、續(xù)，fy(x, y) 1 ln|y| 也在 y 0 上 連續(xù)，因此對(duì)x軸外的任一點(diǎn)(xo, yo),方程滿足y(xo) yo的解都是唯一存在的.又由xxx可得方程的通解為 yece , 其中 y ece 為上半平面的通解 , yece 為下半平面的通解，它們不可能與y 0相交.注意到y(tǒng) 0是方程的解，因此對(duì)x軸上的任一點(diǎn)(Xo,O), 只有y 0通過，從而保證xoy平面上任一點(diǎn)的解都是唯一的.但是因?yàn)?lim |ln|y|, 故不可能存在 L 0, 使得所以方程右端函數(shù)在 y 0的任何鄰域并不滿足 Lipschitz 條件.此題說明 Lipschitz 條件 是保證初值問題解惟一的充分條件，而

16、非必要條件 .2) 考慮一階隱方程F(x,y,y) 0(3.12)由隱函數(shù)存在定理,若在(X0,yo,y。)的某一鄰域內(nèi)F連續(xù)且F(x0,yo,y。)0,而上 0,則必y可把y唯一地表為x, y的函數(shù)y f(x,y)(3.13)并且f (x, y)于(xo, yo)的某一鄰域連續(xù)，且滿足yof(Xo,y)如果F關(guān)于所有變?cè)嬖谶B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則f(x, y)對(duì)x,y也存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且F/(3.14)顯然它是有界的，由定理1可知，方程(3.佝 滿足初始條件的y(xJ 0解存在且唯一.從而 得到下面的定理.定理2如果在點(diǎn)(Xo,y,yo)的某一鄰域中：i ) F (x, y, y )關(guān)于所有變

17、元(x, y, y )連續(xù),且存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù);ii) F(xo,yo, yo) o込)F(x。，yo, y。) oy則方程(3.12)存在唯一的解y y(x) | x xo | h( h為足夠小的正數(shù))滿足初始條件y(xo) yo, y(x) y(3.15)1、近似計(jì)算和誤差估計(jì)求方程近似解的方法Picard的逐次逼近法對(duì)方程的第n次近似解n（x）和真正解（x）在| x xo | h內(nèi)的誤差估計(jì)式I n(x)(x)|MLn(n 1)!hn(3.16)此式可用數(shù)學(xué)歸納法證明設(shè)有不等式成立,則例1討論初值問題dy x2 y2,y（0） 0dx解的存在唯一性區(qū)間，并求在此區(qū)間上與真正解的誤差不超過

18、0.05的近似解,其中,R: 1 x 1, 1 y 1.max | f (x, y | 2, a 1,b1,h(x,y) Rmi na,掙 1,由于 |*|2y|2 L ,根據(jù)誤差估計(jì)式(3.16)可知n 3.于是13(X)就是所求的近似解，在區(qū)間121x 1上，這個(gè)解與真正解得誤差不超過0.05.2 2 解的延拓上節(jié)我們學(xué)習(xí)了解的存在唯一性定理，當(dāng)dy f(x,y)的右端函數(shù)f(x,y)在R上滿dx矽 f(xy)足解的存在性唯一性條件時(shí)，初值問題dx f( y)的解在|x xcl h上存在且唯一.但y。 y(x。)是，這個(gè)定理的結(jié)果是局部的，也就是說解的存在區(qū)間是很小的可能隨著f(x,y)的

19、存在區(qū)域的增大，而能肯定的解得存在區(qū)間反而縮小。例如，上一節(jié)的例1,當(dāng)定義區(qū)域變?yōu)? 11 一R： 2 x 2, 2 y 2時(shí)，M 8,h min2, ,解的范圍縮小為|x x0 |.在實(shí)際844引用中，我們也希望解的存在區(qū)間能盡量擴(kuò)大，下面討論解的延展概念，盡量擴(kuò)大解的存在區(qū)間，把解的存在唯一性定理的結(jié)果由局部的變成大范圍的1、飽和解及飽和區(qū)間定義1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的微分方程魚 f(x,y)dx(3.1)設(shè)y (x)是方程(3.1)定義在區(qū)間hR上的一個(gè)解，如果方程(3.1)還有一個(gè)定義在區(qū)間J R上的另一解y (x),且滿足(1) Ii I2 ；但是 Ii I2(2)當(dāng) x h 時(shí)，(

20、x)(x)則稱y (x),x I1是可延拓的，并稱y (x)是y(x)在I2上的延拓.否則如果不存在滿足上述條件的解y (x),則稱y (X), x I1是方程(3.1)的不可延拓解或飽和解，此時(shí) 把不可延拓解的區(qū)間A稱為一個(gè)飽和區(qū)間.2、局部李普希茲條件定義2若函數(shù)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且對(duì)G內(nèi)每一點(diǎn)P，都存在以P點(diǎn)為中心， 完全含在G內(nèi)的閉矩形域Rp，使得在Rp上f(x,y)關(guān)于y滿足李普希茲條件(對(duì)于不同的 點(diǎn)，閉矩形域Rp的大小和李普希茲常數(shù)L可能不同)，則稱f (x, y)在G上關(guān)于y滿足局 部李普希茲條件.定理3 (延拓定理)如果方程dy f(x,y)的右端函數(shù)f (x, y

21、)在(有界或無界)區(qū)域 dxG R2上連續(xù)，且在關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任意一點(diǎn)(xo,y。)G ,方程 dy f (x, y)以(Xo,y)為初值的解(x)均可以向左右延展，直到點(diǎn)(x, (x)任意接近區(qū)域 dxG的邊界.以向x增大的一方來說，如果y(x)只能延拓到區(qū)間上，則當(dāng)x m時(shí)，(x, (x)趨于區(qū)域G的邊界。證明(1)dydxyf(x, y)y(xo)(Xo,y) G ,由解的存在唯一性定理，初值問題存在唯一的解y (x)，解的存在唯一區(qū)間為|x x0 | h0.取x-i x0 h0,yi (xj,以(x-,y-)為中心作一小矩形R G ,則初值問題孚 f(x,y)dxyi

22、y(xj存在唯一的解y (x)，解的存在唯一區(qū)間為|x x1 | h .因?yàn)?xj(x1),有唯一性定理，在兩區(qū)間的重疊部分應(yīng)有(x)(x),即當(dāng)xi hi x Xi時(shí)(x)(x).定義函數(shù)則y (X)是方程(3.1)滿足(1)(或(2)的，在X。h,Xihj上有定義的唯一的解這樣,把方程(3.1)滿足(1)的解y (x)在定義區(qū)間上向右延伸了一段.即把解y (x)看作方程(3.1)的解y(x)在定義區(qū)間|x xo | ho的向右延拓，延拓到更大區(qū)間Xo ho x Xo ho h.同樣的方法，也可把解y (x)向左延拓.這種將曲線向左右延拓的辦法可繼續(xù)進(jìn)行下去，最后將得到一個(gè)解y (x),不能

23、再向左右延拓了 .這個(gè)解稱為方程(3.1)的飽和解.推論1對(duì)定義在平面區(qū)域G上的初值問題dx f(X，y)其中(Xo,y) Gyoy(xo)若f (X, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于y滿足局部Lipschtiz條件,則它的任一非飽和解均可延拓為飽和解.推論2 設(shè)y (x)是初值問題字 f (x, y) 其中()Gdx其中(xo,y) Gyoy(x。)的一個(gè)飽和解，則該飽和解的飽和區(qū)間I一定是開區(qū)間.證明 若飽和區(qū)間I不是開區(qū)間，不妨設(shè)I (,則(，( ) G,這樣解y (x)還可以 向右延拓，從而y (x)是非飽和解，矛盾.對(duì)I ,)時(shí)，同樣討論，即x (或x ) 時(shí)，(x, (X) G.推論3如

24、果G是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)通過(x0,y0)點(diǎn)的解y (x)可以延拓，以向x增大(減小)一方的延拓來說，有以下兩種情況：(1)解y(x)可以延拓到區(qū)間x0,)(或(，x0)； 解y (x)只可延拓到區(qū)間x,m)(或(m,x。)，其中為有限數(shù)，則當(dāng)x m時(shí), 或者y (x)無界，或者點(diǎn)(x, (x) G .例1討論方程 業(yè) 1分別通過點(diǎn)(0,0)和點(diǎn)(In 2, 3)的解的存在區(qū)間.dx 2解此方程右端函數(shù)f (x, y)學(xué)在整個(gè)xy平面上滿足解的存在唯一性定理及解的延拓定理的條件易知方程的通解為故通過點(diǎn)(0,0)的解為y (1 ex)/(1ex),這個(gè)解的存在區(qū)

25、間為通過點(diǎn)(In 2, 3)的解為y (1 ex)心ex),這個(gè)解的存在區(qū)間為0 x的延拓定理的條件.又ya為方程在()上的解，由延拓定理可知，對(duì)x0,| y01 a,滿(如圖所示).注意，過點(diǎn)(In 2, 3)的解為y (1 ex)/(1 ex)向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0,因?yàn)楫?dāng)x 0時(shí)，y例2討論方程dy 1 In x過(1,0)點(diǎn)的解的存在區(qū)間.dx解 方程右端函數(shù)f(x,y) 1 In x在右半平面x 0上滿足解的存在唯一性定理及解的 延拓定理的條件.區(qū)域G (右半平面)是無界開域，y軸是它的邊界.易知問題的解為y xl nx,它于區(qū)間0 x 上有定義、連續(xù)且當(dāng)x 0時(shí)，y

26、 0,即 所求問題的解向右方可以延拓到，但向左方只能延拓到0,且當(dāng)x 0時(shí)積分曲線上的點(diǎn)(x, y)趨向于區(qū)域G的邊界上的點(diǎn).例3考慮方程d ( y2 a2) f (x, y),假設(shè)f (x, y)和fy(x, y)在xoy平面上連續(xù)，試證 dx明：對(duì)于任意X。及y0a ,方程滿足y(x)y的解都在(，)上存在.證明根據(jù)題設(shè),易知方程右端函數(shù)在整個(gè)xoy平面上滿足解的存在唯一性定理及解足y(xo)yo的解yy(x)應(yīng)當(dāng)無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，但是,由解的唯一性,yy(x)又不能穿過直 線y a,故只能向兩側(cè)延拓，而無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，從而解應(yīng)在(，)存在.注：如果函數(shù)f (x, y)于整個(gè)xoy平面上定義、連

27、續(xù)和有界，同時(shí)存在關(guān)于y的一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則方程(3.1)的任一解均可以延拓到區(qū)間x .練習(xí)試證對(duì)任意X。，yo，方程dy滿足初始條件y(x。) yo的解都在dx x y 1(,)上存在. 3解對(duì)初值的連續(xù)性和可微性定理在初值問題dx f (x，)中我們都是把初值(X。, yo)看成是固定的數(shù)值，然后再去討yoy(x。)論方程dy f(x, y)經(jīng)過點(diǎn)(Xo,yo)的解.但是假如(xo, yo)變動(dòng)，貝U相應(yīng)初值問題的解也隨 dx之變動(dòng)，也就是說初值問題的解不僅依賴于自變量x ,還依賴于初值(Xo, yo).例如：f (x, y) y時(shí)，方程y y的解是y cex,將初始條件y(x) y帶入，

28、可得y yex xo.很顯dy然它是自變量x和初始條件(xo,yo)的函數(shù).因此將對(duì)初值問題 f (x, y)的解記為yoy(x)y (x,Xo, yo),它滿足 yo(Xo,Xo, y).當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的解是如何變化的？當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí)，方程解的變化是 否也很小呢？為此就要討論解對(duì)初值的一些性質(zhì) .1、解關(guān)于初值的對(duì)稱性設(shè)方程(3.1)滿足初始條件y(xo) y的解是唯一的,記為y(x, x,yo),則在此關(guān)系式中，(x, y)與(xo,yo)可以調(diào)換其相對(duì)位置.即在解的存在范圍內(nèi)成立關(guān)系式證明 在方程(3.1)滿足初始條件y(x。)yo的解的存在區(qū)間內(nèi)任取一點(diǎn) 人，顯然yi(xi

29、,xo,y),則由解的唯一性知,過點(diǎn)(,yi)的解與過點(diǎn)(x,y)的解是同一條積分曲線即此解也可寫為并且，有yo(xo,xi,yj.又由(為孑)是積分曲線上的任一點(diǎn)，因此關(guān)系式y(tǒng)(x,x,y)對(duì)該積分曲線上的任意點(diǎn)均成立 .2 、 解對(duì)初值的連續(xù)依賴性由于實(shí)際問題中初始條件一般是由實(shí)驗(yàn) 測(cè)量得到的，肯定存在誤差 . 有的時(shí)候誤差比較大，有的時(shí)候誤差比較小，在實(shí)際應(yīng)用中我們當(dāng)然希望誤差較小，也就是說當(dāng)(xo,yo)變動(dòng)很小的時(shí)候，相應(yīng)的方程的解也只有微小的變動(dòng)，這就是解對(duì)初值的連續(xù)依賴性所要 研究的問題：在討論這個(gè)問題之前，我們先來看一個(gè)引理：引理 ：如果函數(shù) f(x,y) 于某域 D 內(nèi)連續(xù)，

30、且關(guān)于 y 滿足 Lipschtiz 條件( Lipschtiz常數(shù)為L(zhǎng) )，則對(duì)方程(3.1 )的任意兩個(gè)解(x)及(x)，在它們公共存在的區(qū)間內(nèi)成立 著不等式| (x)(x)| | (xo)(xo)|eL|x xo|( 3.i7)其中xo為所考慮區(qū)域內(nèi)的某一值.證明 設(shè)(x),(x)于區(qū)間a x b上均有定義，令于是 V(x) |V(x)| 2| (x)(x)|f(x, ) f(x, )| 2LV(x)從而(V(x)e 2Lx)0dx所以，對(duì)X。a,b,有對(duì)于區(qū)間a x xo ,令x t,并記X。t。，則方程(3.1)變?yōu)槎乙阎薪鈟 ( t)和y ( t).類似可得 V(x) V(x

31、o)e2L(xo x),a x x。因此，V (x) V(xo)e2L|x xol,a x b,a xo b兩邊開平方即得(3.17).利用此引理我們可以證明解對(duì)初值的連續(xù)依賴性：解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理假設(shè)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件，如果(X。)G,初、 dy f (x y)、值問題dx ，有解y(x,x,y。)，它于區(qū)間a x b上有定義(a x。b),則對(duì)任y。y(xo)意 。，(，a,b)。，使得當(dāng)(Xo xo)2 (yo y。)22時(shí)，方程(3.1)滿足條件y(x。)y。的解y&,。,9。)在區(qū)間a x b上也有定義，并且有（x, x3,y。）（x, x。

32、）,a x b.證明 記積分曲線段S: y(x, x),y0)(x), a x b是xy平面上一個(gè)有界閉集.第一步:找區(qū)域D ,使S D ,而且f (x, y)在D上關(guān)于y滿足Lipschitz 條件.由已知條件，對(duì)(x,y) S,存在以它為中心的開圓C,C G,使f(x,y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足Lipschitz條件.因此，根據(jù)有限覆蓋定理,可以找到有限個(gè)具有這種性質(zhì)的圓Ci(i 1,2,L , N)(不同的Ci ,其半徑ri和Lipschitz常數(shù)Li的大小可能不同),它們的全體覆N蓋了整個(gè)積分曲線段S,令少UG,則S(% G,對(duì) 0,記i 1d( (%S),min(，,L max(L1,L

33、Ln),則以S上的點(diǎn)為中心,以 為半徑的圓的全體及其邊界構(gòu)成包含S的有界閉域D(% G,且f(x, y)在D上關(guān)于y滿足Lipschitz條件，Lipschitz 常數(shù)為L(zhǎng) .第二步：證明(，a,b) 0()，使得當(dāng)(xo xo)2 (yo y。)22 時(shí)，解y (x)(x,xo, yo)在區(qū)間a x b上也有定義.由于D是一個(gè)有界閉域，且f (x, y)在其內(nèi)關(guān)于y滿足Lipschitz條件,由解的延拓定理可知，解y (x)(x,xo, yo)必能延拓到區(qū)域D的邊界上.設(shè)它在D的邊界上的點(diǎn)為(c, (c)和(d, (d),c d ,這時(shí)必有c a,d b .否則設(shè)c a,d b ,由引理有利

34、用(x)的連續(xù)性，對(duì)i - e L(b a),必有2 o存在，使當(dāng)|x Xo|2時(shí)有2| (x)(Xo)|1,取 min( i,2),則當(dāng)(xox)(yoyo)時(shí)就有(x)在區(qū)間a,b上有,則方程(3.1)的解I (x)(x)|2 | (Xo)(Xo)|2e2L|x0|1(I (Xo)(Xo)| I (Xo)(Xo)|)2e2L|xaJ2(| (Xo)(Xo) |2| (Xo)(Xo)f)e2L|XX|22 2L(b a)2( i|yo yo | )e ()4 ；e2L(b a) 2(c X d)(3.18)于是對(duì)一切x c,d,| (x)(x) | 成立,特別地有| (c)(c)|, | (

35、d)(d)|即點(diǎn)(c, (c)和(d, (d)均落在域D的內(nèi)部,這與假設(shè)矛盾,故解y 定義第三步 證明| (x)(x) | ,a X b.在不等式(3.18 )中將區(qū)間c,d換成a,b，可知當(dāng)(Xo Xo)2 (yo yo)22 時(shí)，就有(x,Xo,yo)(x,xo, yo),a x b.根據(jù)方程解對(duì)初值的連續(xù)依賴定理及解對(duì)自變量的連續(xù)性有3、解對(duì)初值的連續(xù)性定理若函數(shù)f (x, y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部李普希茲條件 y (x, xo, yo)作為x, xo, y。的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的證明 對(duì)(Xo,y) G ,方程(3.1)過(Xo,y)的飽和解y(x,Xo,y)定義于(Xo,y) x(Xo,yo)上,令下證y(x,x, yo)在V上連續(xù)對(duì)(x,xo, yo) V, a,b,使解 y(x, xo, yo)在a,b上有定義,其中 x,xo a,b 對(duì) 0,! 0,使得當(dāng)(xo X。)2 (yo yo)2；時(shí)，又y (x, Xo,y)在x a,b上對(duì)x連續(xù)，故2 o ,使得當(dāng)| x x| 2時(shí)有取 min( 1, 2),則只要(x x)2 (Xo Xo)2 (yo yo)22就有從而得知y(x,Xo,