2015年高考理科數(shù)學試題及答案-全國卷1,推薦文檔

1、2015 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(全國卷 1）理 科數(shù)學一、選擇題1. 設(shè)復數(shù) z 滿足 1+ z = i ，則|z|=（）31- z試卷第 21 頁，總 21 頁2（a）1（b）（c）（d）223sin 20o cos10o - cos160o sin10o2.=（）（a） -32（b）（c） - 12（d）p213. 設(shè)命題： $n n , n2 2n ，則p 為（ ）（a） n n , n2 2n（b） $n n , n2 2n（c） n n , n2 2n（d） $n n , n2 =2n4. 投籃測試中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通過測試。已知某同學每次投籃投中的概

2、率為 0.6，且各次投籃是否投中相互獨立，則該同學通過測試的概率為（ ）（a）0.648（b）0.432（c）0.36（d）0.312 x - 2y=21mf1 mf2 0)點的個數(shù).22（本題滿分 10 分）選修 4-1：幾何證明選講如圖，ab 是 的直徑，ac 是 的切線，bc 交 于 e.（）若 d 為 ac 的中點，證明：de 是 的切線；（）若 oa = 3ce ，求acb 的大小.23（本小題滿分 10 分）選修 4-4：坐標系與參數(shù)方程c1在直角坐標系 xoy 中，直線: x = - 2，圓 c2： (x -1)2 + (y - 2)2 = 1 ,以坐標原點為極點，x 軸的正半軸

3、為極軸建立極坐標系.（）求 c1 ， c2 的極坐標方程；c3的極坐標方程為a= a (a r)，設(shè) ccnm,求dc mn 的面積.（）若直線42 與3 的交點為,224（本小題滿分 10 分）選修 45：不等式選講已知函數(shù)=|x+1|-2|x-a|，a0.（）當 a=1 時，求不等式 f（x）1 的解集；（）若 f（x）的圖像與 x 軸圍成的三角形面積大于 6，求 a 的取值范圍.2015 年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試答案及解析【答案解析】1. 【答案】a(1+ i)(1- i)(-1+ i)(1- i)1- z1+ z = i【解析】由得， z = -1+ i = i ，故|z|=1，

4、故選 a.1+ i考點：本題主要考查復數(shù)的運算和復數(shù)的模等.2. 【答案】d【解析】原式=1sin 30osin 20o cos10o + cos 20o sin10o= ，故選 d.2考點：本題主要考查誘導公式與兩角和與差的正余弦公式.3. 【答案】c【解析】: n n , n2 2n ，故選 c.p考點：本題主要考查特稱命題的否定4. 【答案】a【解析】根據(jù)獨立重復試驗公式得，該同學通過測試的概率為c3 2 0.62 0.4 + 0.63 =0.648，故選 a.考點：本題主要考查獨立重復試驗的概率公式與互斥事件和概率公式5. 【答案】a【解析】由題知u u ruuuurf (- 3, 0

5、), f ( 3, 0) ，120- y = 1 ，22x0所以 mf mf =212x2 + y2 - 3 = 3y2 -1 0000(- 3 - x0 , - y0 ) ( 3 - x0 , - y0 )-3 y 3033 =，解得，故選 a.考點：雙曲線的標準方程；向量數(shù)量積坐標表示；一元二次不等式解法.6. 【答案】b【解析】設(shè)圓錐底面半徑為 r，8 = r = 16 ，所以米堆的體積為1則 2 3r =4393209320113(162 5433=，故堆放的米約為1.6222，故選 b.考點：圓錐的性質(zhì)與圓錐的體積公式7. 【答案】auuuruuuruuuru ur1 u uru u

6、r1 uuuru ur1 ur4 uuur【解析】由題知 ad = ac + cd = ac +bc = ac +33( ac - ab) = = -ab +33ac ，故選 a.考點：平面向量的線性運算8. 【答案】d1a+a= a 42，解得a=a，a a，4 所以f (x) = cos(ax+ a ) ，令=【解析】由五點作圖知， 5a+a= 3a 4 422ka ax + a 2ka+a, k z ，解得 2k - 1 x 2k + 3 ， k z ，故單調(diào)減區(qū)間為（ 2k - 1 ，44442k + 34）， k z ，故選 d.考點：三角函數(shù)圖像與性質(zhì)9. 【答案】c【解析】執(zhí)行第

7、 1 次，t=0.01,s=1,n=0,m=21=0.5,s=s-m=0.5,m = m =02.25,n=1,s=0.5t=0.01,是，循環(huán)，m =m2執(zhí)行第 2 次，s=s-m=0.25,=0.125,n=2,s=0.25t=0.01,是，循環(huán)，m =m2執(zhí)行第 3 次，s=s-m=0.125,=0.0625,n=3,s=0.125t=0.01,是，循環(huán)，m =m2執(zhí)行第 4 次，s=s-m=0.0625,=0.03125,n=4,s=0.0625t=0.01,是，循環(huán)，m =m2執(zhí)行第 5 次，s=s-m=0.03125,=0.015625,n=5,s=0.03125t=0.01,是，

8、循環(huán)，m =m2執(zhí)行第 6 次，s=s-m=0.015625,=0.0078125,n=6,s=0.015625t=0.01,是，循環(huán)，m =m2執(zhí)行第 7 次，s=s-m=0.0078125,考點：本題注意考查程序框圖10. 【答案】c=0.00390625,n=7,s=0.0078125t=0.01,否，輸出 n=7，故選 c.【解析】在(x2 + x + y)5 的 5 個因式中，2 個取因式中 x2 剩余的 3 個因式中 1 個取 x ，其余因式取 y,故x5 y25 3 2的系數(shù)為 c 2c1c 2 =30，故選 c.考點：本題主要考查利用排列組合知識計算二項式展開式某一項的系數(shù).【

9、名師點睛】本題利用排列組合求多項展開式式某一項的系數(shù)，試題形式新穎，是中檔題，求多項展開式式某一項的系數(shù)問題，先分析該項的構(gòu)成，結(jié)合所給多項式，分析如何得到該項，再利用排列組知識求解.11. 【答案】b【解析】由正視圖和俯視圖知，該幾何體是半球與半個圓柱的組合體，圓柱的半徑與球的半徑都為 r，圓1 4ar2 +ar 2r +ar2 + 2r 2r25ar2 + 4r2a柱的高為 2r，其表面積為=16 + 20，解得 r=2，故選 b.考點：簡單幾何體的三視圖；球的表面積公式、圓柱的測面積公式12.【答案】dg(x0 )【解析】設(shè) g(x) = ex (2x -1) ， y = ax - a

10、，由題知存在唯一的整數(shù) x0 ，使得在直線 y = ax - a 的g(x) = ex (2x +1)下方. 因為，所以當 x - 1 時， g(x) 0，所以當 x = - 1 時，222- 1= -2e 2 ，g(x)maxx = 0當時， g(0) =-1， g(1) = 3e 0 ，直線 y = ax - a 恒過（1,0）斜率且 a ，故-a g(0) = -1，且2e3g(-1) = -3e-1 -a - a ，解得 a 1，故選 d.考點：本題主要通過利用導數(shù)研究函數(shù)的圖像與性質(zhì)解決不等式成立問題13. 【答案】1ln(x +a + x2 ) + ln(-x +a + x2 )【

11、解析】由題知 y = ln(x +a + x2 ) 是奇函數(shù)，所以=ln(a + x2 - x2 ) = ln a = 0 ，解得 a =1.考點：函數(shù)的奇偶性(x - ) + y = 322252414. 【答案】4 - a【解析】設(shè)圓心為（ a ，0），則半徑為， 則(4 - a)2 = a2 + 22 ，解得，故圓的方程為a = 32(x - 3 + y = 252)224.考點：橢圓的幾何性質(zhì)；圓的標準方程15. 【答案】3xy【解析】作出可行域如圖中陰影部分所示，由斜率的意義知，是可行域內(nèi)一點與原點連線的斜率，由圖xy可知，點 a（1,3）與原點連線的斜率最大，故的最大值為 3.考點

12、：線性規(guī)劃解法16. 【答案】（6，-2 ）6 + 2【解析】如圖所示，延長 ba，cd 交于 e，平移 ad，當 a 與 d 重合與 e 點時，ab 最長，在bce 中，bc=besin esin c2=besin 30osin 75ob=c=75，e=30，bc=2，由正弦定理可得，即，解得 be =6 + 2 ，平移 ad，當 d 與 c 重合時，ab 最短，此時與 ab 交于 f，在bcf 中，b=bfc=75，bf=bcsin fcbsin bfcfcb=30，由正弦定理知，即，解得 bf=6，- 所2以ab 的取值范圍為（6，-2 ）.bf=2sin 30osin 75o6 + 2

13、考點：正余弦定理；數(shù)形結(jié)合思想1 -164n + 617.【答案】（） 2n +1 （）【解析】試題分析：（）先用數(shù)列第項與前 n 項和的關(guān)系求出數(shù)列 an 的遞推公式，可以判斷數(shù)列an 是等n差數(shù)列，利用等差數(shù)列的通項公式即可寫出數(shù)列 an 的通項公式；（）根據(jù)（）數(shù)列 bn 的通項公式，再用拆項消去法求其前 n 項和.試題解析：（）當 n = 1 時， a2 + 2a = 4s + 3 = 4a +3 ，因為 a 0 ，所以 a =3，1111n1當 n 2 時， a2 + a - a2 - a= 4s + 3 - 4s- 3 = 4a ，即(a + a)(a - a) = 2(a + a

14、) ，因nnn-1為 an 0 ，所以 an - an-1 =2，n-1nn-1nnn-1nn-1nn-1an所以數(shù)列是首項為 3，公差為 2 的等差數(shù)列，an所以= 2n +1 ；（）由（）知， bn 1= 1 (1-1)=，(2n +1)(2n + 3)2 2n +12n + 3所以數(shù)列前 n 項和為 b + b +l+ b =bn1-164n + 6=.11-1+1 - 1+1-1)235572n +12n + 312n考點：數(shù)列前 n 項和與第 n 項的關(guān)系；等差數(shù)列定義與通項公式；拆項消去法3318. 【答案】（）見解析（）【解析】試題分析：（）連接 bd，設(shè) bdac=g，連接 e

15、g，fg，ef，在菱形 abcd 中，不妨設(shè) gb=1 易證 egac， 通過計算可證 egfg，根據(jù)線面垂直判定定理可知 eg平面 afc，由面面垂直判定定理知平面 afc平面u ur uuuru uraec；（）以 g 為坐標原點，分別以 gb, gc 的方向為x 軸，y 軸正方向， | gb| 為單位長度，建立空間直角坐標系 g-xyz，利用向量法可求出異面直線 ae 與 cf 所成角的余弦值.試題解析：（）連接 bd，設(shè) bdac=g，連接 eg，fg，ef，在菱形 abcd 中，不妨設(shè) gb=1，由abc=120，可得 ag=gc= 3 .由 be平面 abcd，ab=bc 可知，a

16、e=ec，又aeec，eg=3 ，egac，222在 rtebg 中，可得 be=，故 df=.62在 rtfdg 中，可得 fg=.2在直角梯形 bdfe 中，由 bd=2，be=，df=可得 ef=，23 222 eg2 + fg2 = ef 2 ，egfg，acfg=g，eg平面 afc，eg 面 aec，平面 afc平面 aec.u ur uuuru ur（）如圖，以 g 為坐標原點，分別以 gb, gc 的方向為x 軸，y 軸正方向， | gb| 為單位長度，建立空間直角坐標系 g-xyz，由（）可得 a（0，3 ，0），e（1,0,222），f（1,0，），u uraec（0， 3

17、 ，0），=（1， 3 ，uuur222）， cf =（-1，- 3 ，）.10 分u ur u uruuur uuurae cf3aec,ocsf故u ur u ur = -.| ae | cf |333所以直線 ae 與 cf 所成的角的余弦值為.考點：空間垂直判定與性質(zhì)；異面直線所成角的計算；空間想象能力，推理論證能力y = c + dx19. 【答案】（）y適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費用x的回歸方程類型；（）$y = 100.6 + 68 x （）46.24【解析】x試題分析：（）由散點圖及所給函數(shù)圖像即可選出適合作為擬合的函數(shù)；（）令 w =x ，先求出建y立 y關(guān)于 w 的線性回歸方

18、程，即可關(guān)于 x 的回歸方程；（）（）利用 關(guān)于的回歸方程先求出年y銷售量 y的預報值，再根據(jù)年利率 z 與 x、y 的關(guān)系為 z=0.2y-x 即可年利潤 z 的預報值；（）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤 z 的預報值，列出關(guān)于 x 的方程，利用二次函數(shù)求最值的方法即可求出年利潤取最大值時的年宣傳費用.xy試題解析：y = c + dx（）由散點圖可以判斷，適合作為年銷售關(guān)于年宣傳費用的回歸方程類型.（）令 w =x ，先建立 y關(guān)于 w 的線性回歸方程，由于 d$8 108.8 =6816(wi - w)( yi - y)8= i=1=，(wi - w)2i=1 c$ = y - d$ w =5

19、63-686.8=100.6. y關(guān)于 w 的線性回歸方程為$y = 100.6 + 68w ，y 關(guān)于 x 的回歸方程為 $y = 100.6 + 68 x .（）（）由（）知，當 x =49 時，年銷售量y的預報值$y = 100.6 + 68 49 =576.6，z$= 576.6 0.2 - 49 = 66.32 .（）根據(jù)（）的結(jié)果知，年利潤 z 的預報值z$ = 0.2(100.6 + 68 x ) - x = -x +13.6 x + 20.12，x213.6 =6.8當=，即時， z$ 取得最大值.x = 46.24故宣傳費用為 46.24 千元時，年利潤的預報值最大.12 分

20、ax + y + a = 0考點：非線性擬合；線性回歸方程求法；利用回歸方程進行預報預測；應用意識20. 【答案】（）ax - y - a = 0 或（）存在【解析】試題分析：（）先求出 m,n 的坐標，再利用導數(shù)求出 m,n.（）先作出判定，再利用設(shè)而不求思想即將y = kx + a 代入曲線 c 的方程整理成關(guān)于 x 的一元二次方程，設(shè)出 m,n 的坐標和 p 點坐標，利用設(shè)而不求思想，將直線 pm，pn 的斜率之和用 a 表示出來，利用直線 pm，pn 的斜率為 0,即可求出 a, b 關(guān)系，從而找出適合條件的 p 點坐標.a試題解析：（）由題設(shè)可得 m (2 a , a) ， n (-

21、2 2, a) ，或 m (-2 2, a) ， n (2a , a) . y=1 x ，故x2y =42在= 2 2a 處的到數(shù)值為，c 在(2 2a, a) 處的切線方程為xy - a =a (x - 2 a)ax - y - a = 0 ) ，.即x2y =4a故在 x =- 2 2a 處的到數(shù)值為-，c 在(-2 2a, a) 處的切線方程為ax + y + a = 0y - a =- a (x + 2 a ) ，即.故所求切線方程為ax - y - a = 0 或.ax + y + a = 0（）存在符合題意的點，證明如下：設(shè) p（0，b）為復合題意得點， m (x1, y1) ，

22、n (x2 , y2 ) ，直線 pm，pn 的斜率分別為 k1, k2 .將 y = kx + a 代入 c 得方程整理得 x2 - 4kx - 4a = 0 . x1 + x2 = 4k, x1x2 = -4a . k + k = y1 - b + y2 - b =12x1x2ak (a + b)x1 x22kx1 x2 + (a - b)(x1 + x2 )=.b = -a當時，有 k1 + k2 =0，則直線 pm 的傾斜角與直線 pn 的傾斜角互補，故opm=opn，所以p(0, -a) 符合題意.考點：拋物線的切線；直線與拋物線位置關(guān)系；探索新問題；運算求解能力a -3421.【答

23、案】（） a = 3 ；（）當4或 a - 5 時， h(x) 由一個零點；當4或時，a = -34a = -54h(x) 有兩個零點；當- 5 a 1, x = 1, 0 x 1據(jù)對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)將分為a 再分類討論.試題解析：（）設(shè)曲線 y = f (x) 與x =, a =10234x3 + ax + 1 = 0研究 h(x) 的零點個數(shù)，若零點不容易求解，則對x 軸相切于點(x0 , 0) ，則 f (x0 ) = 0 ， f (x0 ) = 0 ，即 00403x 2+ a = 0，解得.因此，當 a = 3 時， x 軸是曲線 y =4f (x) 的切線.（）當 x (1, +

24、) 時， g(x) = -ln x 0 ，從而 h(x) = min f (x), g(x) g(x) 0 ， h(x) 在（1，+）無零點.f (1) = a + 5 04當 x =1 時，若 a - 5 ，則4f (1) = a + 5 04若 a - 5 ，則4， h(1) = min f (1), g(1) = g(1) = 0 ,故 x =1 是 h(x) 的零點；， h(1) = min f (1), g(1) = f (1) 0 ，所以只需考慮 f (x) 在（0,1）的零點個數(shù).f (x)（）若 a -3 或 a 0 ，則 f (x) = 3x2 + a 在（0,1）無零點，故

25、在（0,1）單調(diào)，而，f (0) = 14f (1) = a + 5 ，所以當4a -3 時， f (x) 在（0，1）有一個零點；當 a 0 時， f (x) 在（0，1）無零點.（）若-3 a 0 ，則f (x) 在（0，）單調(diào)遞減，在（，1）單調(diào)遞增，故當 x =時，- a3- a3- a3f (x) 取的最小值，最小值為f ( - a ) =.2a-a+13343若 f ( - a ) 0，即- 3 a 0， f (x) 在（0,1）無零點.34a = - 34若 f ( - a ) =0，即3，則 f (x) 在（0,1）有唯一零點；f (0) = 14若 f ( - a ) 0，即

26、-3 a - 3 ，由于， f (1) = a + 5 ，所以當- 5 a - 3 時，f (x) 在34444（0,1）有兩個零點；當-3 a - 5 時， f (x) 在（0,1）有一個零點.10 分4綜上，當或 a - 5 時， h(x) 由一個零點；當 a = - 3 或 a = - 5 時， h(x) 有兩個零點；當- 5 a - 34h(x) 有三個零點.44考點：利用導數(shù)研究曲線的切線；對新概念的理解；分段函數(shù)的零點；分類整合思想22.【答案】（）見解析（）60【解析】試題分析：（）由圓的切線性質(zhì)及圓周角定理知，aebc，acab，由直角三角形中線性質(zhì)知de=dc，oe=ob，利

27、用等量代換可證dec+oeb=90，即oed=90，所以 de 是圓 o 的切線；（）設(shè)ce=1,由 oa = 3ce 得，ab= 2 3 ，設(shè) ae= x ，由勾股定理得 be =12 - x2 ，由直角三角形射影定理可x得 ae2 = ce be ，列出關(guān)于的方程，解出 x ，即可求出acb 的大小.試題解析：（）連結(jié) ae，由已知得，aebc，acab， 在 rtaec 中，由已知得 de=dc，dec=dce，連結(jié) oe，obe=oeb，acb+abc=90，dec+oeb=90，oed=90，de 是圓 o 的切線.x（）設(shè) ce=1，ae=,由已知得 ab= 2 3 ， be =

28、12 - x2 ，由射影定理可得，ae2 = ce be ，x2 = 12 - x2，解得 x = 3 ，acb=60.考點：圓的切線判定與性質(zhì)；圓周角定理；直角三角形射影定理21- 2acosa- 4asina+ 4 = 0 （）23.【答案】（） acosa= -2 , a2【解析】試題分析：（）用直角坐標方程與極坐標互化公式即可求得c1 ， c2 的極坐標方程；（）將將a=a代入a2-2acosa-4asina+4 = 0 即可求出|mn|，利用三角形面積公式即可求出ac mn 的面積.42x = acosa, y = asina，試題解析：（）因為 c1 的極坐標方程為acosa= -

29、2 ， c2的極坐標方程為a2 - 2acosa- 4asina+ 4 = 0 .5 分2（）將a= a 代入a2 - 2acosa- 4asina+ 4 = 0 ，得a2 - 3 2a+ 4 = 0 ，解得a = 2 2 ， a =4122，|mn|= a1 a2=，因為 c的半徑為 1，則ac mn 的面積 1212 1sin 45o = .222考點：直角坐標方程與極坐標互化；直線與圓的位置關(guān)系24.【答案】（） x | 2 x 1 化為一元一次不等式組來解；（）將 f (x) 化為分段函數(shù)，求出與 x 軸圍成三角形的頂點坐標，即可求出三角形的面積，根據(jù)題意列出關(guān)于a 的不f (x)等式，即可解出 a 的取值范圍.2 x 1 化為|x