小學(xué)奧數(shù)公式匯總,推薦文檔

1、和差問題和倍問題差倍問題已知條件幾個(gè)數(shù)的和與差幾個(gè)數(shù)的和與倍數(shù)幾個(gè)數(shù)的差與倍數(shù)公式適用范圍已知兩個(gè)數(shù)的和，差，倍數(shù)關(guān)系公式(和差)2=較小數(shù)較小數(shù)差=較大數(shù) 和較小數(shù)=較大數(shù)(和差)2=較大數(shù)較大數(shù)差=較小數(shù)和較大數(shù)=較小數(shù)和(倍數(shù)1)=小數(shù)小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)和小數(shù)=大數(shù)差(倍數(shù)-1)=小數(shù)小數(shù)倍數(shù)=大數(shù)小數(shù)差=大數(shù)關(guān)鍵問題求出同一條件下的和與差和與倍數(shù)差與倍數(shù)和差倍問題：奧數(shù)公式年齡問題的三個(gè)基本特征：兩個(gè)人的年齡差是不變的；兩個(gè)人的年齡是同時(shí)增加或者同時(shí)減少的；兩個(gè)人的年齡的倍數(shù)是發(fā)生變化的；歸一問題的基本特點(diǎn)：?jiǎn)栴}中有一個(gè)不變的量，一般是那個(gè)“單一量”，題目一般用“照這樣的速度”等詞語來表示

2、。關(guān)鍵問題：根據(jù)題目中的條件確定并求出單一量；植樹問題：基本類型在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹， 兩端都不植樹在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹封閉曲線上植樹基本公式棵數(shù)=段數(shù)1棵距段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)1棵距段數(shù)=總長(zhǎng)棵數(shù)=段數(shù)棵距段數(shù)=總長(zhǎng)關(guān)鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數(shù)與段數(shù)的關(guān)系雞兔同籠問題：基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設(shè)問題，就是把假設(shè)錯(cuò)的那部分置換出來；基本思路：假設(shè)，即假設(shè)某種現(xiàn)象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：假設(shè)后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個(gè)差是多少；每個(gè)事物造成的差是固定的，從而找出出現(xiàn)這個(gè)差的原因；再根據(jù)

3、這兩個(gè)差作適當(dāng)?shù)恼{(diào)整，消去出現(xiàn)的差?；竟剑喊阉须u假設(shè)成兔子：雞數(shù)（兔腳數(shù)總頭數(shù)總腳數(shù)）（兔腳數(shù)雞腳數(shù)）把所有兔子假設(shè)成雞：兔數(shù)（總腳數(shù)一雞腳數(shù)總頭數(shù)）（兔腳數(shù)一雞腳數(shù)）關(guān)鍵問題：找出總量的差與單位量的差。盈虧問題：基本概念：一定量的對(duì)象，按照某種標(biāo)準(zhǔn)分組，產(chǎn)生一種結(jié)果：按照另一種標(biāo)準(zhǔn)分組，又產(chǎn)生一種結(jié)果，由于分組的標(biāo)準(zhǔn)不同，造成結(jié)果的差異，由它們的關(guān)系求對(duì)象分組的組數(shù)或?qū)ο蟮目偭炕舅悸罚合葘煞N分配方案進(jìn)行比較，分析由于標(biāo)準(zhǔn)的差異造成結(jié)果的變化， 根據(jù)這個(gè)關(guān)系求出參加分配的總份數(shù)，然后根據(jù)題意求出對(duì)象的總量基本題型：一次有余數(shù)，另一次不足；基本公式：總份數(shù)（余數(shù)不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)

4、兩次都有余數(shù)；基本公式：總份數(shù)（較大余數(shù)一較小余數(shù)）兩次每份數(shù)的差當(dāng)兩次都不足；基本公式：總份數(shù)（較大不足數(shù)一較小不足數(shù)）兩次每份數(shù)的差基本特點(diǎn)：對(duì)象總量和總的組數(shù)是不變的。關(guān)鍵問題：確定對(duì)象總量和總的組數(shù)。牛吃草問題：基本思路：假設(shè)每頭牛吃草的速度為“1”份，根據(jù)兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長(zhǎng)速度和總草量?；咎攸c(diǎn)：原草量和新草生長(zhǎng)速度是不變的； 關(guān)鍵問題：確定兩個(gè)不變的量?；竟剑荷L(zhǎng)量=（較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較短時(shí)間短時(shí)間牛頭數(shù)）（長(zhǎng)時(shí)間-短時(shí)間）；總草量=較長(zhǎng)時(shí)間長(zhǎng)時(shí)間牛頭數(shù)-較長(zhǎng)時(shí)間生長(zhǎng)量；周期循環(huán)與數(shù)表規(guī)律：周期現(xiàn)象：事物在運(yùn)動(dòng)

5、變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現(xiàn)。周期：我們把連續(xù)兩次出現(xiàn)所經(jīng)過的時(shí)間叫周期。關(guān)鍵問題：確定循環(huán)周期。閏 年：一年有 366 天；年份能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，則年份必須能被 400 整除； 平 年：一年有 365 天。年份不能被 4 整除；如果年份能被 100 整除，但不能被 400 整除；平均數(shù)：基本公式：平均數(shù)=總數(shù)量總份數(shù)總數(shù)量=平均數(shù)總份數(shù)總份數(shù)=總數(shù)量平均數(shù)平均數(shù)=基準(zhǔn)數(shù)每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)差的和總份數(shù)基本算法：求出總數(shù)量以及總份數(shù)，利用基本公式進(jìn)行計(jì)算.基準(zhǔn)數(shù)法：根據(jù)給出的數(shù)之間的關(guān)系，確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)；一般選與所有數(shù)比較接近的數(shù)或者中間數(shù)為基準(zhǔn)數(shù)；以基準(zhǔn)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)

6、，求所有給出數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)的差； 再求出所有差的和；再求出這些差的平均數(shù)；最后求這個(gè)差的平均數(shù)和基準(zhǔn)數(shù)的和，就是所求的平均數(shù)，具體關(guān)系見基本公式抽屜原理：抽屜原則一：如果把（n+1）個(gè)物體放在 n 個(gè)抽屜里，那么必有一個(gè)抽屜中至少放有 2 個(gè)物體。例：把 4 個(gè)物體放在 3 個(gè)抽屜里，也就是把 4 分解成三個(gè)整數(shù)的和，那么就有以下四種情況：4=4+0+0 4=3+1+0 4=2+2+0 4=2+1+1觀察上面四種放物體的方式，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)一個(gè)共同特點(diǎn)：總有那么一個(gè)抽屜里有2 個(gè)或多于 2 個(gè)物體，也就是說必有一個(gè)抽屜中至少放有 2 個(gè)物體。抽屜原則二：如果把 n 個(gè)物體放在 m 個(gè)抽屜里，其中 nm

7、，那么必有一個(gè)抽屜至少有:k=n/m +1 個(gè)物體：當(dāng) n 不能被 m 整除時(shí)。k=n/m 個(gè)物體：當(dāng) n 能被 m 整除時(shí)。理解知識(shí)點(diǎn)：x表示不超過 x 的最大整數(shù)。例4.351=4；0.321=0；2.9999=2；關(guān)鍵問題：構(gòu)造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據(jù)抽屜原則進(jìn)行運(yùn)算。定義新運(yùn)算：基本概念：定義一種新的運(yùn)算符號(hào)，這個(gè)新的運(yùn)算符號(hào)包含有多種基本（混合） 運(yùn)算?；舅悸罚簢?yán)格按照新定義的運(yùn)算規(guī)則，把已知的數(shù)代入，轉(zhuǎn)化為加減乘除的運(yùn)算，然后按照基本運(yùn)算過程、規(guī)律進(jìn)行運(yùn)算。關(guān)鍵問題：正確理解定義的運(yùn)算符號(hào)的意義。注意事項(xiàng)：新的運(yùn)算不一定符合運(yùn)算規(guī)律，特別注意運(yùn)算順序。每

8、個(gè)新定義的運(yùn)算符號(hào)只能在本題中使用。數(shù)列求和：等差數(shù)列：在一列數(shù)中，任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差是一定的，這樣的一列數(shù)，就叫做等差數(shù)列?；靖拍睿菏醉?xiàng)：等差數(shù)列的第一個(gè)數(shù)，一般用 a1 表示； 項(xiàng)數(shù)：等差數(shù)列的所有數(shù)的個(gè)數(shù)，一般用 n 表示；公差：數(shù)列中任意相鄰兩個(gè)數(shù)的差，一般用 d 表示； 通項(xiàng)：表示數(shù)列中每一個(gè)數(shù)的公式，一般用 an 表示； 數(shù)列的和：這一數(shù)列全部數(shù)字的和，一般用 sn 表示基本思路：等差數(shù)列中涉及五個(gè)量：a1 ,an, d, n,sn,通項(xiàng)公式中涉及四個(gè)量， 如果己知其中三個(gè)，就可求出第四個(gè)；求和公式中涉及四個(gè)量，如果己知其中三個(gè)，就可以求這第四個(gè)。基本公式：通項(xiàng)公式：an = a

9、1+（n1）d； 通項(xiàng)首項(xiàng)（項(xiàng)數(shù)一 1)公差；數(shù)列和公式：sn,= (a1+ an)n2； 數(shù)列和（首項(xiàng)末項(xiàng)）項(xiàng)數(shù)2； 項(xiàng)數(shù)公式：n= (an+ a1)d1；項(xiàng)數(shù)=（末項(xiàng)-首項(xiàng)）公差1；公差公式：d =（ana1）（n1）； 公差=（末項(xiàng)首項(xiàng)）（項(xiàng)數(shù)1）；關(guān)鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式；二進(jìn)制及其應(yīng)用：十進(jìn)制：用 09 十個(gè)數(shù)字表示，逢 10 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義， 十位上的 2 表示 20，百位上的 2 表示 200。所以234=200+30+4=2102+310+4。=an10n-1+an-110n-2+an-210n- 3+an-310n-4+an-410

10、n-5+an-610n-7+a3102+a2101+a1100注意：n0=；n=n（其中 n 是任意自然數(shù)）二進(jìn)制：用 01 兩個(gè)數(shù)字表示，逢 2 進(jìn) 1；不同數(shù)位上的數(shù)字表示不同的含義。（2）= an2n-1+an-12n-2+an-22n-3+an-32n-4+an-42n-5+an-62n-7+a322+a221+a120注意：an 不是 0 就是 1。十進(jìn)制化成二進(jìn)制：根據(jù)二進(jìn)制滿 2 進(jìn) 1 的特點(diǎn)，用 2 連續(xù)去除這個(gè)數(shù)，直到商為 0，然后把每次所得的余數(shù)按自下而上依次寫出即可。先找出不大于該數(shù)的 2 的 n 次方，再求它們的差，再找不大于這個(gè)差的 2 的 n次方，依此方法一直找到

11、差為 0，按照二進(jìn)制展開式特點(diǎn)即可寫出。加法乘法原理和幾何計(jì)數(shù)：加法原理：如果完成一件任務(wù)有 n 類方法，在第一類方法中有 m1 種不同方法， 在第二類方法中有 m2 種不同方法，在第 n 類方法中有 mn 種不同方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1+ m2+mn 種不同的方法。關(guān)鍵問題：確定工作的分類方法?；咎卣鳎好恳环N方法都可完成任務(wù)。乘法原理：如果完成一件任務(wù)需要分成 n 個(gè)步驟進(jìn)行，做第 1 步有 m1 種方法， 不管第 1 步用哪一種方法，第 2 步總有 m2 種方法不管前面 n-1 步用哪種方法，第 n 步總有 mn 種方法，那么完成這件任務(wù)共有：m1m2 mn 種不同的方法。關(guān)鍵問

12、題：確定工作的完成步驟?；咎卣鳎好恳徊街荒芡瓿扇蝿?wù)的一部分。直線：一點(diǎn)在直線或空間沿一定方向或相反方向運(yùn)動(dòng)，形成的軌跡。直線特點(diǎn)：沒有端點(diǎn)，沒有長(zhǎng)度。線段：直線上任意兩點(diǎn)間的距離。這兩點(diǎn)叫端點(diǎn)。線段特點(diǎn)：有兩個(gè)端點(diǎn)，有長(zhǎng)度。射線：把直線的一端無限延長(zhǎng)。射線特點(diǎn)：只有一個(gè)端點(diǎn)；沒有長(zhǎng)度。數(shù)線段規(guī)律：總數(shù)1+2+3+（點(diǎn)數(shù)一 1）；數(shù)角規(guī)律=1+2+3+（射線數(shù)一 1）；數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=長(zhǎng)的線段數(shù)寬的線段數(shù)：數(shù)長(zhǎng)方形規(guī)律：個(gè)數(shù)=11+22+33+行數(shù)列數(shù)質(zhì)數(shù)與合數(shù)：質(zhì)數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，沒有別的約數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)，也叫做素?cái)?shù)。合數(shù)：一個(gè)數(shù)除了 1 和它本身之外，還有別的約數(shù)，

13、這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。質(zhì)因數(shù)：如果某個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的約數(shù)，那么這個(gè)質(zhì)數(shù)叫做這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。分解質(zhì)因數(shù)：把一個(gè)數(shù)用質(zhì)數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法分解質(zhì)因數(shù)。任何一個(gè)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)的結(jié)果是唯一的。分解質(zhì)因數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)表示形式：n= ，其中 a1、a2、a3an都是合數(shù) n 的質(zhì)因數(shù)，且 a1a2a3an。求約數(shù)個(gè)數(shù)的公式：p=(r1+1)(r2+1)(r3+1)(rn+1) 互質(zhì)數(shù)：如果兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)是 1，這兩個(gè)數(shù)叫做互質(zhì)數(shù)。約數(shù)與倍數(shù)：約數(shù)和倍數(shù)：若整數(shù) a 能夠被 b 整除，a 叫做 b 的倍數(shù)，b 就叫做 a 的約數(shù)。公約數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)；其中最大

14、的一個(gè)，叫做這 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。最大公約數(shù)的性質(zhì)：1、 幾個(gè)數(shù)都除以它們的最大公約數(shù)，所得的幾個(gè)商是互質(zhì)數(shù)。2、 幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)都是這幾個(gè)數(shù)的約數(shù)。3、 幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)，都是這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的約數(shù)。4、 幾個(gè)數(shù)都乘以一個(gè)自然數(shù) m，所得的積的最大公約數(shù)等于這幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)乘以 m。例如：12 的約數(shù)有 1、2、3、4、6、12； 18 的約數(shù)有：1、2、3、6、9、18；那么 12 和 18 的公約數(shù)有：1、2、3、6；那么 12 和 18 最大的公約數(shù)是：6，記作（12，18）=6； 求最大公約數(shù)基本方法：1、分解質(zhì)因數(shù)法：先分解質(zhì)因數(shù)，然后把相同的因數(shù)連乘起來。2、短除法：

15、先找公有的約數(shù)，然后相乘。3、輾轉(zhuǎn)相除法：每一次都用除數(shù)和余數(shù)相除，能夠整除的那個(gè)余數(shù)，就是所求的最大公約數(shù)。公倍數(shù)：幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。12 的倍數(shù)有：12、24、36、48；18 的倍數(shù)有：18、36、54、72；那么 12 和 18 的公倍數(shù)有：36、72、108；那么 12 和 18 最小的公倍數(shù)是 36，記作12，18=36； 最小公倍數(shù)的性質(zhì)：1、兩個(gè)數(shù)的任意公倍數(shù)都是它們最小公倍數(shù)的倍數(shù)。2、兩個(gè)數(shù)最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的乘積等于這兩個(gè)數(shù)的乘積。求最小公倍數(shù)基本方法：1、短除法求最小公倍數(shù)；2、分解質(zhì)因數(shù)的方法數(shù)的整除

16、：一、基本概念和符號(hào)：1、整除：如果一個(gè)整數(shù) a，除以一個(gè)自然數(shù) b，得到一個(gè)整數(shù)商 c，而且沒有余數(shù)，那么叫做 a 能被 b 整除或 b 能整除 a，記作 b|a。2、常用符號(hào)：整除符號(hào)“|”，不能整除符號(hào)“ ”；因?yàn)榉?hào)“”，所以的符號(hào)“”；二、整除判斷方法：1. 能被 2、5 整除：末位上的數(shù)字能被 2、5 整除。2. 能被 4、25 整除：末兩位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 4、25 整除。3. 能被 8、125 整除：末三位的數(shù)字所組成的數(shù)能被 8、125 整除。4. 能被 3、9 整除：各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和能被 3、9 整除。5. 能被 7 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組

17、成數(shù)之差能被 7 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 2 倍后能被 7 整除。6. 能被 11 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被 11 整除。奇數(shù)位上的數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)的數(shù)字和的差能被 11 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字后能被 11 整除。7. 能被 13 整除：末三位上數(shù)字所組成的數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差能被 13 整除。逐次去掉最后一位數(shù)字并減去末位數(shù)字的 9 倍后能被 13 整除。三、整除的性質(zhì)：1. 如果 a、b 能被 c 整除，那么（a+b）與（a-b）也能被 c 整除。2. 如果 a 能被 b 整除，c 是整數(shù)，那么 a

18、 乘以 c 也能被 b 整除。3. 如果 a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 也能被 c 整除。4. 如果 a 能被 b、c 整除，那么 a 也能被 b 和c 的最小公倍數(shù)整除。余數(shù)及其應(yīng)用：基本概念：對(duì)任意自然數(shù) a、b、q、r，如果使得 ab=qr，且 0rb,那么 r叫做 a 除以 b 的余數(shù)，q 叫做 a 除以 b 的不完全商。余數(shù)的性質(zhì)：余數(shù)小于除數(shù)。若 a、b 除以 c 的余數(shù)相同，則 c|a-b 或 c|b-a。a 與 b 的和除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c 的余數(shù)加上 b 除以 c 的余數(shù)的和除以 c的余數(shù)。a 與b 的積除以 c 的余數(shù)等于 a 除以 c

19、的余數(shù)與 b 除以 c 的余數(shù)的積除以 c 的余數(shù)。余數(shù)、同余與周期：一、同余的定義：若兩個(gè)整數(shù) a、b 除以 m 的余數(shù)相同，則稱 a、b 對(duì)于模 m 同余。已知三個(gè)整數(shù) a、b、m，如果 m|a-b，就稱 a、b 對(duì)于模 m 同余，記作 ab(mod m)，讀作 a 同余于 b 模m。二、同余的性質(zhì)：自身性：aa(mod m)；對(duì)稱性：若 ab(mod m)，則 ba(mod m)；傳遞性：若 ab(mod m)，bc(mod m)，則 a c(mod m)；和差性：若 ab(mod m)，cd(mod m)，則 a+cb+d(mod m)，a-cb-d(mod m)；相乘性：若 a b(

20、mod m)，cd(mod m)，則 ac bd(mod m)；乘方性：若 ab(mod m)，則 anbn(mod m)；同倍性:若 a b(mod m)，整數(shù) c，則 ac bc(mod mc)； 三、關(guān)于乘方的預(yù)備知識(shí)：若 a=ab，則 ma=mab=（ma）b若 b=c+d 則 mb=mc+d=mcmd四、被 3、9、11 除后的余數(shù)特征：一個(gè)自然數(shù) m，n 表示 m 的各個(gè)數(shù)位上數(shù)字的和，則 mn(mod 9)或（mod 3）；一個(gè)自然數(shù) m，x 表示 m 的各個(gè)奇數(shù)位上數(shù)字的和，y 表示 m 的各個(gè)偶數(shù)數(shù)位上數(shù)字的和，則 my-x 或m11-（x-y）(mod 11)；五、費(fèi)爾馬小

21、定理：如果 p 是質(zhì)數(shù)（素?cái)?shù)），a 是自然數(shù)，且 a 不能被 p 整除， 則 ap-11(mod p)。分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用：基本概念與性質(zhì)：分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)。分?jǐn)?shù)的性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（0 除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。分?jǐn)?shù)單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數(shù)。百分?jǐn)?shù)：表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)百分之幾的數(shù)。常用方法：逆向思維方法：從題目提供條件的反方向（或結(jié)果）進(jìn)行思考。對(duì)應(yīng)思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對(duì)應(yīng)關(guān)系。轉(zhuǎn)化思維方法：把一類應(yīng)用題轉(zhuǎn)化成另一類應(yīng)用題進(jìn)行解答。最常見的是轉(zhuǎn)換成比例和轉(zhuǎn)換成倍數(shù)關(guān)系；把不同的

22、標(biāo)準(zhǔn)（在分?jǐn)?shù)中一般指的是一倍量）下的分率轉(zhuǎn)化成同一條件下的分率。常見的處理方法是確定不同的標(biāo)準(zhǔn)為一倍量。假設(shè)思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設(shè)成相等或者假設(shè)某種情況成立，計(jì)算出相應(yīng)的結(jié)果，然后再進(jìn)行調(diào)整，求出最后結(jié)果。量不變思維方法：在變化的各個(gè)量當(dāng)中，總有一個(gè)量是不變的，不論其他量如何變化，而這個(gè)量是始終固定不變的。有以下三種情況：a、分量發(fā)生變化，總量不變。b、總量發(fā)生變化，但其中有的分量不變。c、總量和分量都發(fā)生變化， 但分量之間的差量不變化。替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數(shù)量關(guān)系單一化、量率關(guān)系明朗化。同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進(jìn)行處理。

23、濃度配比法：一般應(yīng)用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。分?jǐn)?shù)大小的比較：基本方法：通分分子法：使所有分?jǐn)?shù)的分子相同，根據(jù)同分子分?jǐn)?shù)大小和分母的關(guān)系比較。通分分母法：使所有分?jǐn)?shù)的分母相同，根據(jù)同分母分?jǐn)?shù)大小和分子的關(guān)系比較?；鶞?zhǔn)數(shù)法：確定一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)，使所有的分?jǐn)?shù)都和它進(jìn)行比較。分子和分母大小比較法：當(dāng)分子和分母的差一定時(shí)，分子或分母越大的分?jǐn)?shù)值越大。倍率比較法：當(dāng)比較兩個(gè)分子或分母同時(shí)變化時(shí)分?jǐn)?shù)的大小，除了運(yùn)用以上方 法外，可以用同倍率的變化關(guān)系比較分?jǐn)?shù)的大小。（具體運(yùn)用見同倍率變化規(guī)律）轉(zhuǎn)化比較方法：把所有分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)（求出分?jǐn)?shù)的值）后進(jìn)行比較。倍數(shù)比較法：用一個(gè)數(shù)除以另一個(gè)數(shù)，結(jié)果得數(shù)和 1 進(jìn)行

24、比較。大小比較法：用一個(gè)分?jǐn)?shù)減去另一個(gè)分?jǐn)?shù)，得出的數(shù)和 0 比較。倒數(shù)比較法：利用倒數(shù)比較大小，然后確定原數(shù)的大小?；鶞?zhǔn)數(shù)比較法：確定一個(gè)基準(zhǔn)數(shù)，每一個(gè)數(shù)與基準(zhǔn)數(shù)比較。分?jǐn)?shù)拆分：一、 將一個(gè)分?jǐn)?shù)單位分解成兩個(gè)分?jǐn)?shù)之和的公式：完全平方數(shù)：完全平方數(shù)特征：1. 末位數(shù)字只能是：0、1、4、5、6、9；反之不成立。2. 除以 3 余 0 或余 1；反之不成立。3. 除以 4 余 0 或余 1；反之不成立。4. 約數(shù)個(gè)數(shù)為奇數(shù)；反之成立。5. 奇數(shù)的平方的十位數(shù)字為偶數(shù)；反之不成立。6. 奇數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是奇數(shù)；偶數(shù)平方個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)。7. 兩個(gè)相臨整數(shù)的平方之間不可能再有平方數(shù)。平方差公式：x2-y

25、2=（x-y）（x+y）完全平方和公式：（x+y）2=x2+2xy+y2 完全平方差公式：（x-y）2=x2-2xy+y2比和比例：比：兩個(gè)數(shù)相除又叫兩個(gè)數(shù)的比。比號(hào)前面的數(shù)叫比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫比的后項(xiàng)。比值：比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)的商，叫做比值。比的性質(zhì)：比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘以或除以相同的數(shù)（零除外），比值不變。比例：表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。a:b=c:d 或比例的性質(zhì)：兩個(gè)外項(xiàng)積等于兩個(gè)內(nèi)項(xiàng)積(交叉相乘)，ad=bc。正比例：若 a 擴(kuò)大或縮小幾倍，b 也擴(kuò)大或縮小幾倍（ab 的商不變時(shí)），則 a 與b 成正比。反比例：若 a 擴(kuò)大或縮小幾倍，b 也縮小或擴(kuò)大幾倍（ab 的積不變時(shí)）

26、，則 a 與b 成反比。比例尺：圖上距離與實(shí)際距離的比叫做比例尺。按比例分配：把幾個(gè)數(shù)按一定比例分成幾份，叫按比例分配。綜合行程：基本概念：行程問題是研究物體運(yùn)動(dòng)的，它研究的是物體速度、時(shí)間、路程三者之間的關(guān)系.基本公式：路程=速度時(shí)間；路程時(shí)間=速度；路程速度=時(shí)間關(guān)鍵問題：確定運(yùn)動(dòng)過程中的位置和方向。相遇問題：速度和相遇時(shí)間=相遇路程（請(qǐng)寫出其他公式） 追及問題：追及時(shí)間路程差速度差（寫出其他公式）流水問題：順?biāo)谐?（船速+水速）順?biāo)畷r(shí)間逆水行程=（船速-水速）逆水時(shí)間順?biāo)俣?船速+水速逆水速度=船速-水速靜水速度=（順?biāo)俣?逆水速度）2 水 速=（順?biāo)俣?逆水速度）2流水問題：關(guān)

27、鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的速度，參照以上公式。過橋問題：關(guān)鍵是確定物體所運(yùn)動(dòng)的路程，參照以上公式。主要方法：畫線段圖法基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時(shí)間（相遇時(shí)間、追及時(shí)間）、速度（速度和、速度差）中任意兩個(gè)量，求第三個(gè)量。工程問題：基本公式：工作總量=工作效率工作時(shí)間工作效率=工作總量工作時(shí)間工作時(shí)間=工作總量工作效率基本思路：假設(shè)工作總量為“1”（和總工作量無關(guān)）；假設(shè)一個(gè)方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時(shí)間的最小公倍數(shù)），利用上述三個(gè)基本關(guān)系，可以簡(jiǎn)單地表示出工作效率及工作時(shí)間.關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時(shí)間、工作效率間的兩兩對(duì)應(yīng)關(guān)系。經(jīng)驗(yàn)簡(jiǎn)評(píng)：合久必分，分久必合。邏

28、輯推理：基本方法簡(jiǎn)介：條件分析假設(shè)法：假設(shè)可能情況中的一種成立，然后按照這個(gè)假設(shè)去判斷， 如果有與題設(shè)條件矛盾的情況，說明該假設(shè)情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設(shè) a 是偶數(shù)成立，在判斷過程中出現(xiàn)了矛盾，那么 a 一定是奇數(shù)。條件分析列表法：當(dāng)題設(shè)條件比較多，需要多次假設(shè)才能完成時(shí)，就需要進(jìn)行列表來輔助分析。列表法就是把題設(shè)的條件全部表示在一個(gè)長(zhǎng)方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對(duì)象與情況，觀察表格內(nèi)的題設(shè)情況，運(yùn)用邏輯規(guī)律進(jìn)行判斷。條件分析圖表法：當(dāng)兩個(gè)對(duì)象之間只有兩種關(guān)系時(shí)，就可用連線表示兩個(gè)對(duì)象之間的關(guān)系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀

29、態(tài)。例如 a 和 b 兩人之間有認(rèn)識(shí)或不認(rèn)識(shí)兩種狀態(tài)，有連線表示認(rèn)識(shí)，沒有表示不認(rèn)識(shí)。邏輯計(jì)算：在推理的過程中除了要進(jìn)行條件分析的推理之外，還要進(jìn)行相應(yīng)的計(jì)算，根據(jù)計(jì)算的結(jié)果為推理提供一個(gè)新的判斷篩選條件。簡(jiǎn)單歸納與推理：根據(jù)題目提供的特征和數(shù)據(jù)，分析其中存在的規(guī)律和方法， 并從特殊情況推廣到一般情況，并遞推出相關(guān)的關(guān)系式，從而得到問題的解決。幾何面積：基本思路：在一些面積的計(jì)算上，不能直接運(yùn)用公式的情況下，一般需要對(duì)圖形進(jìn)行割補(bǔ)， 平移、旋轉(zhuǎn)、翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進(jìn)行計(jì)算；另外需要掌握和記憶一些常規(guī)的面積規(guī)律。常用方法：1. 連輔助線方法2. 利用等底等高的

30、兩個(gè)三角形面積相等。3. 大膽假設(shè)（有些點(diǎn)的設(shè)置題目中說的是任意點(diǎn)，解題時(shí)可把任意點(diǎn)設(shè)置在特殊位置上）。4. 利用特殊規(guī)律等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以 4 等于等腰直角三角形的面積）梯形對(duì)角線連線后，兩腰部分面積相等。圓的面積占外接正方形面積的 78.5%。立體圖形：時(shí)鐘問題快慢表問題：基本思路：1、 按照行程問題中的思維方法解題；2、 不同的表當(dāng)成速度不同的運(yùn)動(dòng)物體；3、 路程的單位是分格（表一周為 60 分格）；4、 時(shí)間是標(biāo)準(zhǔn)表所經(jīng)過的時(shí)間；5、 合理利用行程問題中的比例關(guān)系；時(shí)鐘問題鐘面追及：基本思路：封閉曲線上的追及問題。關(guān)鍵問題：確定分針與時(shí)針的初始

31、位置；確定分針與時(shí)針的路程差； 基本方法：分格方法：時(shí)鐘的鐘面圓周被均勻分成 60 小格，每小格我們稱為 1 分格。分針每小時(shí)走 60分格，即一周；而時(shí)針只走 5 分格，故分針每分鐘走 1 分格，時(shí)針每分鐘走112 分格。度數(shù)方法：從角度觀點(diǎn)看，鐘面圓周一周是 360，分針每分鐘轉(zhuǎn) 360/60 度，即 6，時(shí)針每分鐘轉(zhuǎn) 360/12x60 度，即 1/2 度。濃度與配比：經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。溶質(zhì)：溶解在其它物質(zhì)里的物質(zhì)（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質(zhì)。溶劑：溶解其它物質(zhì)的物質(zhì)（例如水、汽油等）叫溶劑。溶液：溶質(zhì)和溶劑混

32、合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液?；竟剑喝芤褐亓?溶質(zhì)重量+溶劑重量；溶質(zhì)重量=溶液重量濃度；濃度= 溶質(zhì)/溶液100%=溶質(zhì)/（溶劑+溶質(zhì)）100%理論部分小練習(xí)：試推出溶質(zhì)、溶液、溶劑三者的其它公式。經(jīng)驗(yàn)總結(jié)：在配比的過程中存在這樣的一個(gè)反比例關(guān)系，進(jìn)行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的變化成反比。經(jīng)濟(jì)問題：利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）成本100%； 賣價(jià)=成本（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；成本=賣價(jià)（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來確定；定價(jià)=成本（1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比； 利息=本金利率期數(shù)；含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格（1+增值稅稅率）

33、；經(jīng)濟(jì)問題：利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)=（賣價(jià)-成本）成本100%； 賣價(jià)=成本（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）；成本=賣價(jià)（1+利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 商品的定價(jià)按照期望的利潤(rùn)來確定；定價(jià)=成本（1+期望利潤(rùn)的百分?jǐn)?shù)）； 本金：儲(chǔ)蓄的金額；利率：利息和本金的比；利息=本金利率期數(shù)；含稅價(jià)格=不含稅價(jià)格（1+增值稅稅率）；不定方程：一次不定方程：含有兩個(gè)未知數(shù)的一個(gè)方程，叫做二元一次方程，由于它的解不唯一，所以也叫做二元一次不定方程；常規(guī)方法：觀察法、試驗(yàn)法、枚舉法；多元不定方程：含有三個(gè)未知數(shù)的方程叫三元一次方程，它的解也不唯一；多元不定方程解法：根據(jù)已知條件確定一個(gè)未知數(shù)的值，或者消去一個(gè)未知數(shù)， 這樣就把三元一次方程變成二元一次不定方程，按照二元一次不定方程解即可； 涉及知識(shí)點(diǎn)：列方程、數(shù)的整除、大小比較；解不定方程的步驟：1、列方程；2、消元；3、寫出表達(dá)式；4、確定范圍；5、確定特征；6、確定答案；