凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用

1、凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用摘要： 凸函數(shù)是一種性質(zhì)特殊的函數(shù).它在證明比較復(fù)雜的不等式方面有著重大作用. 本文首先給出了凸函數(shù)的三個(gè)典型定義，分析了它們之間的關(guān)系，并證明了三種定義之間的等價(jià)性接著給出了凸函數(shù)的一個(gè)判定定理以及Jesen不等式然后討論了凸函數(shù)的幾條常用性質(zhì)，通過例題展示了凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用凸函數(shù)具有重要的理論研究價(jià)值和實(shí)際廣泛應(yīng)用，利用凸函數(shù)的性質(zhì)證明不等式；很容易證明不等式的正確性因此，正確理解凸函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用，更對(duì)有關(guān)學(xué)術(shù)問題進(jìn)行推廣研究起著舉足輕重的作用在不等式證明中的應(yīng)用并舉例說明解題思路與證明方法，最后證明了幾個(gè)常見的重要不等式并得到了幾種常用凸函數(shù)的

2、形式關(guān)鍵詞凸函數(shù)，不等式，凸性不等式1引言在數(shù)學(xué)思想方法中，函數(shù)思想是很重要的一種思想方法，其精髓在于利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對(duì)討論的問題進(jìn)行推理和論證，進(jìn)而尋求解決問題的途徑。凸函數(shù)是一類常見的重要函數(shù)，上世紀(jì)初建立了凸函數(shù)理論以來，凸函數(shù)這一重要概念已在許多數(shù)學(xué)分支得到廣泛應(yīng)用例如在數(shù)學(xué)分析、函數(shù)論、泛函分析、最優(yōu)化理論等當(dāng)中常用的凸函數(shù)有兩種，一種叫上凸函數(shù)，即曲線位于每一點(diǎn)切線下方或曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線上方的函數(shù)；另一種叫下凸函數(shù)，即曲線位于每一點(diǎn)切線的上方或曲線上任意兩點(diǎn)間的弧段總在這兩點(diǎn)連線下方的函數(shù)現(xiàn)行高等數(shù)學(xué)教材中也都對(duì)函數(shù)的凸性作了介紹，由于各版本根據(jù)自己的需要，對(duì)

3、凸函數(shù)這一概念作了不同形式的定義，本文介紹了凸函數(shù)的三種典型定義，討論了它們的等價(jià)性，并給出了利用凸函數(shù)的定義證明凸函數(shù)的簡單應(yīng)用凸函數(shù)在不等式的研究中尤為重要，而不等式證明最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分重要凸函數(shù)的性質(zhì)相當(dāng)多，已有很多文獻(xiàn)專門就函數(shù)凸性作了研究本文就以凸函數(shù)幾種定義的等價(jià)性給以證明,并給出簡單的應(yīng)用，應(yīng)用凸函數(shù)的概念與性質(zhì)來證明幾個(gè)重要且常用的不等式和凸函數(shù)在證明一般不等式中的應(yīng)用，針對(duì)它在證明比較復(fù)雜的不等式方面有著重要作用，本文對(duì)凸函數(shù)的性質(zhì)在比較經(jīng)典的不等式證明中的簡單應(yīng)用進(jìn)行初步討論.2 凸函數(shù)的等價(jià)定義定義11若函數(shù)對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意以及，恒

4、有，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)其幾何意義為：凸函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)間的割線總在曲線之上定義2若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)連續(xù)，對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意，恒有，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)其幾何意義為：凸函數(shù)曲線上任意兩點(diǎn)間割線的中點(diǎn)總在曲線上相應(yīng)點(diǎn)(具有相同橫坐標(biāo))之上定義3若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)可微，且對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意及，恒有，則稱為區(qū)間上的凸函數(shù)其幾何意義為：凸函數(shù)曲線上任一點(diǎn)處的切線，總在曲線之下以上三種定義中，定義3要求在內(nèi)是可導(dǎo)的，定義2要求在上是連續(xù)的而定義1對(duì)函數(shù)則沒有明顯地要求實(shí)際上可以證明在定義1中，函數(shù)在上是連續(xù)的而定義1和定義2兩個(gè)定義是否要求函數(shù)是可導(dǎo)的，則沒有提出如果加上可導(dǎo)的條件，則可證明三種定義是等價(jià)的2.1

5、凸函數(shù)三種定義的等價(jià)性的討論2.1.1定義1定義2證明 定義1定義3，取， 由定義1推得定義2定義2定義1首先，論證對(duì)于任意的及有理數(shù)，不等式，成立事實(shí)上，對(duì)于此有理數(shù)總可以表示為有窮二進(jìn)位小數(shù)，即，其中或1，由于也是有理數(shù)所以也可以表示為有窮二進(jìn)位小數(shù)，即，由于，有或1，于是所以 下面再論證對(duì)為無理數(shù)時(shí)定義1也成立事實(shí)上，對(duì)任意無理數(shù)，存在有理數(shù)列，所以，由于在內(nèi)連續(xù)，所以綜上即知，定義1與定義2等價(jià)2.1.2定義1定義3證明 定義1 定義3：對(duì)內(nèi)任意的及，若，則取，使于是，可以得到，上式中令，由于可微，所以有，即若，則取，使，同理可證定義3定義1：對(duì)于區(qū)間內(nèi)的任意（不妨設(shè)）以及，令，則有，

6、由泰勒公式，得及，其中，于是再進(jìn)一步由，所以即，最后，由等價(jià)的傳遞性即知定義2與定義3也是等價(jià)的2.2判定定理與Jesen不等式判定定理2設(shè)為區(qū)間上的二階可導(dǎo)函數(shù)，則在上為凸函數(shù)的充要條件是，用定義直接來判斷一個(gè)函數(shù)是不是凸函數(shù)，往往是很困難的但用該判定定理來判斷一個(gè)光滑函數(shù)是否凸，則是相當(dāng)簡便的在實(shí)際應(yīng)用中常常先用導(dǎo)數(shù)來肯定函數(shù)的凸性，再反過來引出它必定滿足凸性不等式在許多證明題中，我們常常遇到一些不等式的證明，其中有一類不等式利用凸函數(shù)的性質(zhì)定理來證明可以非常簡潔、巧妙證明不等式就是凸函數(shù)的一個(gè)應(yīng)用領(lǐng)域，但關(guān)鍵是構(gòu)造能夠解決問題的凸函數(shù)定理 (Jensen不等式)3設(shè)函數(shù)在上處處二次可微，

7、且 (對(duì)任意，則為上的凸函數(shù)，即對(duì)任意，及成立如下不等式， （1）該不等式稱為Jensen不等式，該性質(zhì)是凸函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)，也是定義的一般情況可以說，凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用很大程度上是由Jensen不等式來體現(xiàn)的，因?yàn)槊總€(gè)凸函數(shù)都有一個(gè)Jensen不等式，因而它在一些不等式證明中有著廣泛的應(yīng)用利用它可以推出常用的一些重要公式，為證明不等式開辟了一條新路注：由定理，經(jīng)簡單計(jì)算知下列函數(shù)在其定義域上都是凸函數(shù)，從而都滿足不等式（1）（a），（b），（c）凸函數(shù)及其性質(zhì)在解題中有著十分廣泛的應(yīng)用，下面試舉數(shù)例述之3性質(zhì)利用函數(shù)的凸性來證明不等式，是一種重要的方法，通常需要構(gòu)造適當(dāng)?shù)耐购瘮?shù)，再

8、運(yùn)用函數(shù)的凸性的定義及幾個(gè)等價(jià)論斷，可將一些初等不等式，積分不等式轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)的性態(tài)，從而使不等式簡化進(jìn)而得到證明函數(shù)的凸性是函數(shù)在區(qū)間上變化的整體性態(tài)，把握區(qū)間上整體性態(tài)，不僅可以更加科學(xué)、準(zhǔn)確的描繪函數(shù)的圖象，而且有助于對(duì)函數(shù)的定性分析凸函數(shù)是一類重要的函數(shù)凸函數(shù)在不等式的研究中尤為重要，而不等式最終歸結(jié)為研究函數(shù)的特性，所以研究凸函數(shù)的性質(zhì)就顯得十分必要了性質(zhì)14 設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間也為凸函數(shù)證明：因函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，從而，且于是有因此在區(qū)間為凸函數(shù)性質(zhì)2設(shè)函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)，則在區(qū)間為凸函數(shù)證明 ，因函數(shù)在區(qū)間為凸函數(shù)從而有，且令，則因此，在區(qū)間為凸函數(shù)性質(zhì)3 5設(shè)函數(shù)

9、在區(qū)間為遞增的非負(fù)凸函數(shù)，則在區(qū)間為凸函數(shù)證明 ，設(shè)，因?yàn)榉秦?fù)凸函數(shù)，由定理3知，在點(diǎn)連續(xù)，且，因此在區(qū)間連續(xù)，因遞增，從而且由定義知在區(qū)間為凸函數(shù)當(dāng)然凸函數(shù)的性質(zhì)還遠(yuǎn)不止施工述幾條，這里就不一一列舉4凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用41利用凸函數(shù)定義證明不等式例1 求證：對(duì)任意實(shí)數(shù)，有證明 設(shè)，則，故為上的凸函數(shù)從而對(duì)，由定義有，即例2 設(shè)，則有證明 設(shè) ，那么，于是時(shí)，由嚴(yán)格凸函數(shù)的定義，其中得，即例36 若為內(nèi)的凸函數(shù)，求證 證明 對(duì)，不等式是顯然的，設(shè)對(duì)不等式成立，則因?yàn)椋@里，由定義有，例4若，則證明 令 ，由于則為上的嚴(yán)格凸函數(shù)，所以由例3的不等式有，即，由得，上式等號(hào)僅在成立4.2 利

10、用凸函數(shù)性質(zhì)證明不等式例5 證明不等式： ，其中 證明 考慮對(duì)數(shù)函數(shù)，因?yàn)楣屎瘮?shù)是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的性質(zhì)，即得，由對(duì)數(shù)性質(zhì)，即證明了 （2）又考慮函數(shù)，所以故也是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的性質(zhì)，得，即 ，因此， （3）綜合（2），（3）整個(gè)命題證明結(jié)束例6 設(shè)均為正數(shù)，且求證：證明考慮函數(shù)因?yàn)?，所以是下凸函?shù)，令，由下凸函數(shù)的性質(zhì)，則有 （4），由柯西不等式：得，于是有，并代入（4）式即得，證畢例77 在中，求證證明 考慮函數(shù)，因?yàn)?，所以在?nèi)是上凸函數(shù)，由上凸函數(shù)的性質(zhì)有，由于故例88 設(shè)，則證明 記則，取，易知，有判定定理知為凸函數(shù)，取，由于故由性質(zhì)得例9 設(shè)，有，其中，證明 令，因?yàn)椋膳?/p>

11、定定理知，在上是嚴(yán)格凸函數(shù)，由Jensen不等式得到，今設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù)且，在上述表達(dá)式中以代替，得到由題設(shè)知令，不妨設(shè)，代入上式便得不等式特別地，取時(shí)得就到柯西不等式4.3 凸函數(shù)在經(jīng)典不等式證明中的應(yīng)用在初等數(shù)學(xué)中，調(diào)和平均值不大于幾何平均值，幾何平均值不大于算術(shù)平均值，算術(shù)平均值不大于平方平均值，而證明用數(shù)學(xué)歸納法. 其實(shí)，這些不等式可在凸函數(shù)框架下統(tǒng)一證明.例17 設(shè)，證明： . 證明：設(shè)，有，從而，函數(shù)在是嚴(yán)格凸函數(shù)，取,，有 即即 .取,，同樣方法，有 于是，有 .例27 證明,有 . 上式稱為算術(shù)平均不大于次平均，特別地，當(dāng)時(shí)，得到算術(shù)平均值不大于平方平均值.證明：考察函數(shù)，由于有，

12、所以為凸函數(shù)，從而 ， 有 在上式中，令 即得 .例37 若，且，求證：Young不等式 . 證明：從所求證的不等式的形式來看，不容易直接找到合適的凸函數(shù)，因此，可對(duì)它進(jìn)行一定的變形. 不妨在不等式兩邊同取自然對(duì)數(shù)，則有由此很容易找到合適的凸函數(shù). 考察函數(shù)，因?yàn)?，由定?知，在時(shí)為凸函數(shù)，又有，所以于是 即 . 特別地，當(dāng),時(shí)，此不等式就是前面例1的結(jié)果，即平均值不等式. 例48 證明Cauchy-Hlder不等式. 設(shè)；為兩組非負(fù)實(shí)數(shù)，則 . 證明：考察函數(shù)，由可知為凸函數(shù)，從而 ， 有 在上式中，令， .而，可得 .在上式中特別取，得到著名的Cauchy-Schwartz不等式 .結(jié)束語

13、通過研究凸函數(shù)的幾種定義，分析它們之間的關(guān)系，證明了給出三種典型定義之間的等價(jià)性給出了凸函數(shù)的一個(gè)判定定理以及Jesen不等式然后討論了凸函數(shù)的幾條常用性質(zhì)，接著通過例題展示了凸函數(shù)在不等式證明中的應(yīng)用凸函數(shù)的應(yīng)用領(lǐng)域非常廣泛，主要是在不等式的證明中，運(yùn)用它解題顯得巧妙，簡練，通過對(duì)上述問題的證明，我們認(rèn)識(shí)到利用凸函數(shù)的定義、等價(jià)定義、性質(zhì)及判定定理證明不等式，關(guān)鍵是尋找合適的函數(shù)，若不能直接找出，則可以對(duì)不等式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃?，從而達(dá)到證明不等式的目的至于凸函數(shù)在其他領(lǐng)域的應(yīng)用則未涉及參考文獻(xiàn)1 杜厚雄凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用J現(xiàn)代企業(yè)教育2007:173-1742 白景華凸函數(shù)的性質(zhì)、等價(jià)定義及應(yīng)用J開封大學(xué)學(xué)報(bào)2003，17(2):59-643 曹良干凸函數(shù)的定義