Lingo經(jīng)濟(jì)與金融中的優(yōu)化問題ppt課件

1、優(yōu)化建模與LINDO/LINGO軟件 第6章經(jīng)濟(jì)與金融中的優(yōu)化問題,內(nèi)容提要,1. 經(jīng)濟(jì)均衡問題及其應(yīng)用 2. 投資組合問題 3. 市場(chǎng)營(yíng)銷問題,1. 經(jīng)濟(jì)均衡問題及其應(yīng)用,單一生產(chǎn)商、單一消費(fèi)者的情形 例6.1: 市場(chǎng)清算價(jià)格,市場(chǎng)上有一個(gè)生產(chǎn)商（甲）和一個(gè)消費(fèi)者（乙）。對(duì)某種產(chǎn)品，他們?cè)诓煌瑑r(jià)格下的供應(yīng)能力和需求能力為,市場(chǎng)的清算價(jià)格應(yīng)該是多少,甲以1、2、3、4萬元的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量分別是A1 ，A， A， A （噸,供需平衡： A1+A+ A+ A= x1+x2+x3+x4,供應(yīng)限制： A1 ，A， A， A 2,決策變量,目標(biāo)函數(shù),約束條件,建立線性規(guī)劃模型(LP,乙以9、4.5、

2、3、2.25萬元的單價(jià)購(gòu)買的產(chǎn)品數(shù)量分別是x1，x2，x3，x4（噸,非負(fù)限制： A1,A, A, A, x1,x2,x3,x4 0,消費(fèi)限制： x1，x2，x3，x4 2,9x1+4.5x2+3x3+2.5x4 -A1-2A-3A-4 A,模型求解,用LINDO求解，最優(yōu)解:A1=A2=x1=x2=2, A3=A4=x3=x4=0,思考:供需平衡約束的對(duì)偶價(jià)格含義,如果右端項(xiàng)增加一個(gè)很小的量，引起的經(jīng)銷商的損失就是這個(gè)小量的3倍,清算價(jià)格: 3萬元,供需平衡約束目前的右端項(xiàng)為0，影子價(jià)格為-3,結(jié)果解釋,模型擴(kuò)展,假設(shè)甲的供應(yīng)能力隨價(jià)格的變化情況分為K段，即價(jià)格位于區(qū)間pk , pk+1)時(shí)

3、，供應(yīng)量最多為ck (k=1,2,K; 0 p1 p2 pK+1 =; 0 =c0 c1 c2 cK)，我們把這個(gè)函數(shù)關(guān)系稱為供應(yīng)函數(shù)（這里它是一個(gè)階梯函數(shù),假設(shè)乙的消費(fèi)能力隨價(jià)格的變化情況分為L(zhǎng)段，即價(jià)格位于區(qū)間(qk+1,qk時(shí)，消費(fèi)量最多為dk,(k=1,2,L; q1 qLqL+1 =0; 0=d0 d1 d2 dL) ，我們把這個(gè)函數(shù)關(guān)系稱為需求函數(shù)（這里它也是一個(gè)階梯函數(shù),建立線性規(guī)劃模型(LP,設(shè)甲以pk的價(jià)格售出的產(chǎn)品數(shù)量為Ak (k=1,2,K)，乙以qk的價(jià)格購(gòu)入的產(chǎn)品數(shù)量為Xk ( (k=1,2,L）。記c0 = d0 =0,兩個(gè)生產(chǎn)商、兩個(gè)消費(fèi)者的情形 例6.2: 市場(chǎng)

4、清算價(jià)格,市場(chǎng)上有兩個(gè)生產(chǎn)商（甲和丙）和兩個(gè)消費(fèi)者（乙和?。Ｋ麄?cè)诓煌瑑r(jià)格下的供應(yīng)能力和需求能力為,甲銷售到丁的運(yùn)輸成本是1.5（萬元）/噸,丙銷售到乙的運(yùn)輸成本是2（萬元）/噸,甲、乙之間，丙、丁之間沒有運(yùn)輸成本,市場(chǎng)的清算價(jià)格應(yīng)該是多少,甲和丙分別生產(chǎn)多少,乙和丁分別購(gòu)買多少,目標(biāo),關(guān)鍵是考慮這些運(yùn)輸成本,認(rèn)為甲乙是一個(gè)市場(chǎng)（地區(qū)或國(guó)家），而丙丁是另一個(gè)市場(chǎng)（地區(qū)或國(guó)家）。關(guān)稅成本的存在，兩個(gè)市場(chǎng)的清算價(jià)可能是不同 的,問題分析,甲以1、2、3、4萬元的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量分別是A1 ，A， A， A （噸,決策變量,目標(biāo)函數(shù),乙以9、4.5、3、2.25萬元的單價(jià)購(gòu)買的產(chǎn)品數(shù)量分別是x1

5、，x2，x3，x4（噸,9x1+4.5x2+3x3+2.5x4+15y1+8y2+5y3+3y4 -2BX-1.5AY- A1-2A-3A-4 A-2B1-4B-6B-8B,丙以2、4、6、8萬元的單價(jià)售出的產(chǎn)品數(shù)量分別是B 1 ，B ， B ， B （噸,丁以15、8、5、3萬元的單價(jià)購(gòu)買的產(chǎn)品數(shù)量分別是y1，y2，y3，y4（噸,虛擬經(jīng)銷商的總利潤(rùn)最大,建立線性規(guī)劃模型(LP,供需平衡：AX+AY= A1+A+ A+ A BX+BY = B1+B+ B+ B AX+BX=x1+x2+x3+x4 AY+BY=y1+y2+y3+y4,約束條件,供應(yīng)限制,消費(fèi)限制,非負(fù)限制,決策變量之間關(guān)系,結(jié)

6、果解釋,最優(yōu)解為A1=A2=A3=x1=x2=2, B1=1，B2=3，y1=1，y2=3，y3=3，AX=BY=4，A4=B3=B4=x3=x4=y4=BY=0. AY=2，也即甲將向丁銷售2噸產(chǎn)品，丙不會(huì)向乙銷售,如何才能確定清算價(jià)格呢,針對(duì)甲的供需平衡條件，目前的右端項(xiàng)為0，影子價(jià)格為-3.5，意思就是說如果右端項(xiàng)增加一個(gè)很小的量，引起的經(jīng)銷商的損失就是這個(gè)小量的3.5倍?？梢姡藭r(shí)甲的銷售單價(jià)就是3萬元，這就是甲面對(duì)的清算價(jià)格,生產(chǎn)商丙面對(duì)的清算價(jià)格為5。則乙面對(duì)的清算價(jià)格就是是3.5，丁面對(duì)的清算價(jià)格就是5，因?yàn)榧滓椅挥谕粋€(gè)市場(chǎng)，而丙丁也位于同一個(gè)市場(chǎng)。這兩個(gè)市場(chǎng)的清算價(jià)之差正好等

7、于從甲、乙到丙、丁的運(yùn)輸成本（1.5,拍賣與投標(biāo)問題- 例6.3: 藝術(shù)品拍賣問題,假設(shè)每個(gè)投標(biāo)人對(duì)每類藝術(shù)品最多只能購(gòu)買1件,每個(gè)投標(biāo)人購(gòu)買的藝術(shù)品的總數(shù)不能超過3件,問哪些藝術(shù)品能夠賣出去？賣給誰？每類物品的清算價(jià)應(yīng)該是多少,假設(shè)有一個(gè)中間商希望最大化自己的例潤(rùn),問題分析與假設(shè),設(shè)有N類物品需要拍賣，第j類物品的數(shù)量為Sj（j=1, 2，,N）；有M個(gè)投標(biāo)者，投標(biāo)者i（i=1，2，,M）對(duì)第j類物品的投標(biāo)價(jià)格為bij（假設(shè)非負(fù)）。投標(biāo)者i對(duì)每類物品最多購(gòu)買一件，且總件數(shù)不能超過ci,實(shí)際中可以通過對(duì)所有投標(biāo)的報(bào)價(jià)進(jìn)行排序來解決,目標(biāo)：確定第j類物品的清算價(jià)格pj，它應(yīng)當(dāng)滿足下列假設(shè)條件：

8、成交的第j類物品的數(shù)量不超過Sj（j=1，2，,N）； 對(duì)第j類物品的報(bào)價(jià)低于pj的投標(biāo)人將不能獲得第j類物品； 如果成交的第 j 類物品的數(shù)量少于Sj（j=1， 2，,N），可以認(rèn)為pj=0 （除非拍賣方另外指定一個(gè)最低的保護(hù)價(jià)）； 對(duì)第j類物品的報(bào)價(jià)高于pj的投標(biāo)人有權(quán)獲得第j類物品，但如果他有權(quán)獲得的物品超過3件，那么假設(shè)他總是希望使自己的滿意度最大（滿意度可以用他的報(bào)價(jià)與市場(chǎng)清算價(jià)之差來衡量,線性規(guī)劃模型(LP,用0-1變量xij表示是否分配一件第j類物品給投標(biāo)者i，即xij=1表示分配，而xij=0表示不分配,目標(biāo)函數(shù),虛擬的中間商的總利潤(rùn)最大 ,即,約束條件,1)每類物品的數(shù)量限制

9、,2)每個(gè)投標(biāo)人所能分到的物品的數(shù)量限制,MODEL: TITLE 拍賣與投標(biāo); SETS: ! S,C,B,X的含義就是上面建模時(shí)給出的定義; AUCTION: S; BIDDER : C; LINK(BIDDER,AUCTION): B, X; ENDSETS DATA: ! 通過文本文件輸入數(shù)據(jù); AUCTION=FILE(AUCTION.TXT); BIDDER =FILE(AUCTION.TXT); S=FILE(AUCTION.TXT); C=FILE(AUCTION.TXT); B=FILE(AUCTION.TXT); ENDDATA MAX=SUM(LINK: B*X);! 目

10、標(biāo)函數(shù); FOR(AUCTION(J): ! 拍賣數(shù)量限制 AUC_LIM SUM(BIDDER(I): X(I,J) S(J) ); FOR(BIDDER(I): ! 投標(biāo)數(shù)量限制; BID_LIM SUM(AUCTION(J): X(I,J) C(I) ); FOR(LINK: BIN(X);! 0-1變量限制; END,LINGO模型為,最優(yōu)解為：投標(biāo)人1得到藝術(shù)品1、3、4，投標(biāo)人2、3都得到藝術(shù)品2、3、5，投標(biāo)人4得到藝術(shù)品4、5. 結(jié)果，第4、5類藝術(shù)品各剩下1件沒有成交,如何才能確定清算價(jià)格呢,約束“AUC_LIM”是針對(duì)每類藝術(shù)品的數(shù)量限制的，對(duì)應(yīng)的影子價(jià)格就是其清算價(jià)格：即

11、5類藝術(shù)品的清算價(jià)格分別是5、5、3、0、0。第4、5類藝術(shù)品有剩余，所以清算價(jià)格為0,推廣:大學(xué)生的選課問題,交通流均衡問題例6.4: 公路網(wǎng)汽車分布,居民區(qū),工作區(qū),B,C,D,A,每天上班時(shí)間有6千輛小汽車要從居民區(qū)A前往工作區(qū)D,5條道路上每輛汽車的平均行駛時(shí)間和汽車流量之間的關(guān)系見下表,這些汽車將如何在每條道路上分布,問題分析,交通流的規(guī)律:每輛汽車都將選擇使自己從A到D運(yùn)行時(shí)間最少的路線,必然的結(jié)果:無論走哪條路線從A到D，最終花費(fèi)的時(shí)間應(yīng)該是一樣的，因?yàn)榛ㄙM(fèi)時(shí)間較長(zhǎng)的那條線路上的部分汽車總會(huì)改變自己的路線，以縮短自己的行駛時(shí)間,汽車在每條道路上的分布將達(dá)到均衡狀態(tài),決策變量,共有

12、20個(gè)決策變量Y(j)和X(i,j)，(i=2， 3，4；j=AB，AC，BC，BD，CD,如Y（AB）表示道路AB上的總的流量，進(jìn)一步分解成三部分： 道路AB上的流量不超過2時(shí)的流量，用X（2，AB）表示； AB上的流量超過2但不超過3時(shí)，超過2的流量部分用X（3，AB）表示； AB上的流量超過3但不超過4時(shí)，超過3的流量部分用X（4，AB）表示,線性規(guī)劃模型(LP,目標(biāo)函數(shù),約束條件,總的堵塞時(shí)間最小,用T(i，j)表示流量X(i，j)對(duì)應(yīng)的堵塞時(shí)間,并不是總 堵塞時(shí)間,T(i，j)關(guān)于i是單調(diào)增加的，即不斷增加的車流只會(huì)使以前的堵塞加劇而不可能使以前的堵塞減緩。故關(guān)于決策變量X(i，j)

13、而言，與希望優(yōu)化的目標(biāo)的單調(diào)性一致,每條道路上的總流量Y等于該道路上的分流量X的和 道路交匯處A、B、C、D(稱為節(jié)點(diǎn))的流量守恒（即流入量等于流出量） 決策變量的上限限制，如 X(2，AB)2，X(3，AB)1，X（4，AB）1等,LINGO模型如下,MODEL: TITLE 交通流均衡; SETS: ROAD/AB,AC,BC,BD,CD/:Y; CAR/2,3,4/; LINK(CAR,ROAD): T, X; ENDSETS DATA: ! 行駛時(shí)間; T=20,52,12,52,20 30,53,13,53,30 40,54,14,54,40; ENDDATA OBJ MIN=SUM

14、(LINK: T*X);! 目標(biāo)函數(shù),四個(gè)節(jié)點(diǎn)的流量守恒條件; NODE_A Y(INDEX(AB)+Y(INDEX(AC) = 6; NODE_B Y(INDEX(AB)=Y(INDEX(BC)+Y(INDEX(BD); NODE_C Y(INDEX(AC)+Y(INDEX(BC)=Y(INDEX(CD); NODE_D Y(INDEX(BD)+Y(INDEX(CD)=6; ! 每條道路上的總流量Y等于該道路上的分流量X的和; FOR( ROAD(I): ROAD_LIM SUM(CAR(J): X(J,I) = Y(I) ); ! 每條道路的分流量X的上下界設(shè)定; FOR(LINK(I,J

15、)|I#EQ#1: BND(0,X(I,J),2) ); FOR(LINK(I,J)|I#GT#1: BND(0,X(I,J),1) ); END,均衡時(shí)道路AB、AC、BC、BD、CD的流量分別是4、2、2、2、4（千輛車）。注意這時(shí)得到的目標(biāo)函數(shù)452并不是真正的總運(yùn)行和堵塞時(shí)間,真正運(yùn)行時(shí)間是：每輛車通過AB、AC、BC、BD、CD道路分別需要40、52、12、52、40分鐘，也就是三條路線ABD、ACD、ABCD上都需要92分鐘，所以這也說明交通流確實(shí)達(dá)到了均衡。于是，均衡時(shí)真正的總運(yùn)行時(shí)間應(yīng)該是6*92=552（千輛車*分鐘,結(jié)果解釋,模型討論,均衡解并不一定是最優(yōu)的流量分配方案，故

16、上面的解并不是最優(yōu)解。假設(shè)有一個(gè)權(quán)威的機(jī)構(gòu)來統(tǒng)籌安排，如何最優(yōu)分配這些交通流，使所有汽車的總運(yùn)行時(shí)間最小,計(jì)算新增的流量X(i,j)，(i=2, 3,4；j=AB,AC,BC,BD,CD）造成的實(shí)際堵塞時(shí)間。以道路AB為例,當(dāng)流量為2（千輛）時(shí)，每輛車的通過時(shí)間為20分鐘，所以總通過時(shí)間是40（千輛車*分鐘） 當(dāng)流量增加一個(gè)單位（1千輛）達(dá)到3（千輛）時(shí)，每輛車的通過時(shí)間為30分鐘，所以總通過時(shí)間是90（千輛車*分鐘） 當(dāng)流量再增加一個(gè)單位達(dá)到4（千輛）時(shí)，每輛車的通過時(shí)間為40分鐘，所以總通過時(shí)間是160（千輛車*分鐘,這樣可以得到單位流量的增加導(dǎo)致總行駛時(shí)間的增量和汽車流量之間的關(guān)系，如下

17、表,用總行駛時(shí)間的增量數(shù)據(jù)代替前面模型中的每輛車的行駛時(shí)間數(shù)據(jù)T(i，j)，重新求解LINGO模型,最優(yōu)的車流分配方式是：道路AB、AC、BD、CD的流量都是3千輛車，道路BC上無流量；總運(yùn)行時(shí)間為498（千輛車*分鐘），優(yōu)于均衡時(shí)的結(jié)果552。此時(shí)，每輛車的運(yùn)行時(shí)間=498/6=83（分鐘），少于均衡時(shí)的92（分鐘,2. 投資組合問題,期望年收益率至少達(dá)到15%，應(yīng)當(dāng)如何投資,基本的投資組合模型- 例6.5: 股票投資問題,問題分析,收益不確定,收益的期望值,風(fēng)險(xiǎn) 收益的方差,一種股票收益的均值衡量這種股票的平均收益狀況,一種股票收益的方差衡量這種股票收益的波動(dòng)幅度,兩種股票收益的協(xié)方差表示

18、他們之間的相關(guān)程度,方差越大，風(fēng)險(xiǎn)越大；方差越小，風(fēng)險(xiǎn)越小,數(shù)學(xué)期望： ER1=0.0890833, ER2=0.213667, ER3=0.234583 協(xié)方差矩陣： COV,假設(shè)股票A、B、C每年的收益率分別為R1，R2和R3,模型建立,年收益率（的數(shù)學(xué)期望）不低于15,資金 全部用于投資這三種股票,決策變量,x1投資股票A,x2投資股票B,x3投資股票C,約束條件,x1, x2 , x3 0，x1+x2 +x3 = 1,x1ER1+x2ER2+x3ER3 0.15,目標(biāo)函數(shù),年投資收益率的方差極小,二次規(guī)劃模型(QP,A占53%，B占36%，C占11,現(xiàn)有一種無風(fēng)險(xiǎn)的投資方式(如購(gòu)買國(guó)庫

19、券)。假設(shè)國(guó)庫券的年收益率為5%，如何考慮例6.5中的問題,存在無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)時(shí)的投資組合模型- 例6.6,問題分析,無風(fēng)險(xiǎn)的投資方式的收益固定,方差為0,特例,假設(shè)國(guó)庫券的投資方式記為D,投資A占8%，B占42%，C占14%，D占34,期望收益:15% 10,投資A大約占4%，B占21%，C占7%，D（國(guó)庫券）占67,結(jié)果分析,風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的投資比例與期望收益和風(fēng)險(xiǎn)偏好無關(guān),風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)本身相互之間的比例不變,變化的只是投資于風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)與無風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)之間的比例,分離定理,Tobin教授,1981, 諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng),繼續(xù)考慮例6.5（期望收益率仍定為15%）。假設(shè)握有的股票比例為：股票A占50%，B占35

20、%，C占15%。如按交易額的1% 收取交易費(fèi),考慮交易成本的的投資組合模型- 例6.7,問題:是否需要對(duì)手上的股票進(jìn)行買賣（換手）,模型建立,決策變量,x1投資股票A,x2投資股票B,x3投資股票C,假設(shè)購(gòu)買股票A、B、C的比例為y1 、y2和 y3,假設(shè)賣出股票A、B、C的比例為z1 、z2和 z3,投資A大約占52.647%，B占35%，C占12.299,約束條件,x1, x2 , x3 0，y1, y2 , y3 0 , z1, z2 , z3 0,注:yi與zi （i=1，2，3）中最多只能有一個(gè)嚴(yán)格取正數(shù),x1+x2 +x3 +0.01( y1+y2 +y3 + z1+z2 +z3

21、)= 1,注:持有的總資金守恒,ci為當(dāng)前握有的各支股票的份額,xi = ci + yi - zi（i=1，2，3,三者之和略小于100% ,為什么,能否通過一定方式避免協(xié)方差的計(jì)算，對(duì)模型進(jìn)行簡(jiǎn)化呢,利用股票指數(shù)簡(jiǎn)化投資組合模型- 例6.8,線性回歸,利用股票指數(shù),假設(shè)每只股票的收益與股票指數(shù)成線性關(guān)系,M表示股票指數(shù),均值為m0=E(M)，方差為s02=D(M,股票i，其價(jià)值Ri = ui + biM+ ei,ei是一個(gè)隨機(jī)誤差項(xiàng),均值為E(ei)=0，方差為si2=D(ei,假設(shè)隨機(jī)誤差項(xiàng)ei是與其他股票j（ji）和股票指數(shù)M都是獨(dú)立的,E(eiej) = E(eiM) =0,如何根據(jù)所

22、給數(shù)據(jù)經(jīng)過回歸計(jì)算得到ui 和 bi,記12年的數(shù)據(jù)為 M (k)，Ri (k)，（k=1，2，,12,優(yōu)化問題,結(jié)果,M的均值m0=1.191458，方差為s02=0.02873661,標(biāo)準(zhǔn)差為s0=0.1695188,A:u1 =0.5639761， b1 =0.4407264， s12=0.005748320， s1=0.07581767,B:u2 = -0.2635059， b2 = 1.239802， s22= 0.01564263， s2= 0.1250705,C :u3 = -0.5809590， b3 = 1.523798， s32= 0.03025165， s3= 0.173

23、9300,年收益率(數(shù)學(xué)期望)不低于15,決策變量,x1投資股票A,x2投資股票B,x3投資股票C,約束條件,x1, x2 , x3 0，x1+x2 +x3 = 1,目標(biāo)函數(shù),年投資收益率的方差極小,優(yōu)化模型,對(duì)應(yīng)的收益,二次規(guī)劃模型(QP,與前結(jié)果A占53%，B占36%，C占11%比較,略有差異,A占53%，B占38%，C占9,結(jié)果,其他目標(biāo)下的投資組合模型- 例6.9:保守股票投資,市場(chǎng)上只有兩只股票A、B可供某個(gè)投資者購(gòu)買 ,市場(chǎng)只能出現(xiàn)兩種可能的情況（1和2,現(xiàn)要使兩種情況下最小的收益最大化（即不管未來發(fā)生哪種情況，都能至少獲得這個(gè)收益），如何建立模型和求解,優(yōu)化模型與求解,決策變量,

24、約束條件,目標(biāo)函數(shù),X1年初投資股票A,X2年初投資股票B,x1, x2 0，x1+x2 = 1,最小收益最大的“保守”目標(biāo)實(shí)際上就是希望： Max min(1.0 x1+1.2x2 , 1.5x1+0.7x2),引入一個(gè)輔助變量y，這個(gè)模型就可以線性化。相應(yīng)的LINDO模型為,MAX y Subject to x1 + x2 = 1 x1 + 1.2 x2 - y 0 1.5 x1 + 0.7 x2 - y 0,求解得到 ：應(yīng)該投資A、B股票各50%，至少可以增值10,求解得到 ：應(yīng)該投資A股票54.5455%， B 股票45.4545%，至少可以增值13.6364,現(xiàn)在，假設(shè)有一條重要信息

25、：如果情形1發(fā)生，股票B的增值將達(dá)到30%而不是表中給出的20%。那么，一般人的想法應(yīng)該是增加對(duì)股票B的持有份額。果真如此嗎？這個(gè)投資人如果將上面模型中的1.2改為1.3計(jì)算,也就是說，應(yīng)該減少對(duì)股票B的持有份額，增加對(duì)股票A的持有份額！這真是叫人大吃一驚！這相當(dāng)于說：有人告訴你有某只股票漲幅要增加了，你趕緊說：那我馬上把這只股票再賣點(diǎn)吧。之所以出現(xiàn)如此奇怪的現(xiàn)象，就是由于這個(gè)例子中的目標(biāo)的特殊性引起的,3.市場(chǎng)營(yíng)銷問題,現(xiàn)有新產(chǎn)品A和已有的同類產(chǎn)品B、C、D ，市場(chǎng)調(diào)查如下表,例6.10：新產(chǎn)品的市場(chǎng)預(yù)測(cè)問題,新產(chǎn)品A未來的市場(chǎng)份額大概是多少,問題分析,模型建立,離散動(dòng)態(tài)隨機(jī)過程,A未來的市

26、場(chǎng)份額,產(chǎn)品編號(hào)記為 i（i=1，2，,N,轉(zhuǎn)移概率矩陣的元素記為Tij,穩(wěn)定狀態(tài)下每種產(chǎn)品的概率,優(yōu)化模型(無目標(biāo)函數(shù),穩(wěn)定狀態(tài)下產(chǎn)品i的市場(chǎng)份額記為pi,pi非負(fù),A的市場(chǎng)份額是47.5,效用函數(shù)- 例6.11: 小汽車屬性的效用函數(shù),考慮某牌號(hào)小汽車的兩種屬性：價(jià)格和安全氣囊。價(jià)格分為12.9、9.9、7.9萬元 ；安全氣囊的配置為兩個(gè)、一個(gè)、沒有。顧客對(duì)該產(chǎn)品的不同配置的偏好程度（效用）如下表所示,價(jià)格和安全氣囊的效用函數(shù)如何,模型建立,記價(jià)格選項(xiàng)分別為H(高)、M(中)、L(低)，對(duì)應(yīng)的效用為pj（j=H，M，L）；安全氣囊選項(xiàng)分別為0、1、2，對(duì)應(yīng)的效用為qi（i=0，1，2,目的:求出pj 和qi,假設(shè)價(jià)格