(新整理)最新北師大版九年級(jí)上相似三角形(最新整理)

1、學(xué)生編號(hào)學(xué)生姓名授課教師輔導(dǎo)學(xué)科九年級(jí)數(shù)學(xué)教材版本下教課題名稱相似三角形課時(shí)進(jìn)度總第（ ）課時(shí)授課時(shí)間10 月 23 日教學(xué)目標(biāo)掌握相似三角形的概念、性質(zhì)及判定方法，能夠靈活應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)和判定方法方法解決實(shí)際問(wèn)題。重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：相似三角形的概念、判定定理和相似三角形的性質(zhì)難點(diǎn)：如何根據(jù)問(wèn)題的結(jié)論，在較復(fù)雜的圖形中找到所要證明的相似三角形同步教學(xué)內(nèi)容及授課步驟知識(shí)點(diǎn)歸納：知識(shí)點(diǎn)1、有關(guān)相似形的概念(1) 、形狀相同的圖形叫相似圖形，在相似多邊形中，最簡(jiǎn)單的是相似三角形.(2) 、如果兩個(gè)邊數(shù)相同的多邊形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，這兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形相似多邊形對(duì)應(yīng)邊長(zhǎng)度的比叫做相似

2、比(相似系數(shù))知識(shí)點(diǎn)2比例線段的相關(guān)概念（1） 、如果選用同一單位量得兩條線段a, b 的長(zhǎng)度分別為m, n ，那么就說(shuō)這兩條線段的比是a = mbn ，或?qū)懗蒩 : b = m : n 注：在求線段比時(shí)，線段單位要統(tǒng)一。（2） 、在四條線段a, b, c, d 中，如果a和b 的比等于c和d 的比，那么這四條線段a, b, c, d 叫做成比例線段，簡(jiǎn)稱比例線段注：比例線段是有順序的，如果說(shuō)a 是b, c, d 的第四比b = d在比例式 a = c (a：b = c：d )中例項(xiàng)，那么應(yīng)得比例式為： ca bda、d叫比例外項(xiàng)，b、c叫比例內(nèi)項(xiàng), a、c叫比例前項(xiàng)，b、d叫比例后項(xiàng)，d叫第

3、四比例項(xiàng)，如果b=c，即a：b = b：d 那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)， 此時(shí)有b2 = ad 。- 27 -（3）、黃金分割：把線段 ab 分成兩條線段 ac, bc( ac bc) ，且使 ac 是 ab和bc 的比例中項(xiàng)，即 ac 2 = ab bc ，叫做把線段 ab 黃金分割，點(diǎn)c 叫做線段 ab 的黃金分割點(diǎn)，其ac =中5 - 1 ab2ac = bc =0.618 ab ，即 abac5 -12長(zhǎng)短，簡(jiǎn)記為： 全 長(zhǎng)5 -12注：黃金三角形：頂角是360的等腰三角形。黃金矩形：寬與長(zhǎng)的比等于黃金數(shù)的矩形知識(shí)點(diǎn)3、 比例的性質(zhì)（注意性質(zhì)立的條件：分母不能為0）（1） 、 基本性質(zhì)

4、：、a : b = c : d ad = bc ；、a : b = b : c b2 = a c 注：由一個(gè)比例式只可化成一個(gè)等積式，而一個(gè)等積式共可化成八個(gè)比例式，如ad = bc 除了 可 化 為a : b = c : d ， 還 可 化 為a : c = b : d ，c : d = a : b ， b : d = a : c ， b : a = d : c ，c : a = d : b ， d : c = b : a ， d : b = c : a ac a = b ，(交換內(nèi)項(xiàng)) cddc（2） 、更比性質(zhì)(交換比例的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng))：= =，(交換外項(xiàng))bd ba d = b (同時(shí)交

5、換內(nèi)外項(xiàng)) ca（3） 、反比性質(zhì)(把比的前項(xiàng)、后項(xiàng)交換)：a = c b = d bdac（4） 、合、分比性質(zhì)： a = c a b = c d bdbd注：實(shí)際上，比例的合比性質(zhì)可擴(kuò)展為：比例式中等號(hào)左右兩個(gè)比的前項(xiàng)，后項(xiàng)之間acab - a = d - c發(fā)生同樣和差變化比例仍成立如： =c等等 bd a - b= a + bc - d c + d（5） 、等比性質(zhì)：如果 a = c= e= l = m (b + d + f+l + n 0) ，那么 a + c + e +l + m= a bdfn注：b + d + f+l + nb、此性質(zhì)的證明運(yùn)用了“設(shè)k 法”（即引入新的參數(shù)k）

6、這樣可以減少未知數(shù)的個(gè)數(shù)，這種方法是有關(guān)比例計(jì)算變形中一種常用方法應(yīng)用等比性質(zhì)時(shí)，要考慮到分母是否為零可利用分式性質(zhì)將連等式的每一個(gè)比的前項(xiàng)與后項(xiàng)同時(shí)乘以一個(gè)數(shù)，再利用等比性質(zhì)也成a = c = e a =- 2c = 3e a - 2c + 3e = a立如： bdfb- 2d3 fb - 2d + 3 fb ；其中b - 2d + 3 f 0 知識(shí)點(diǎn)4、比例線段的有關(guān)定理1、三角形中平行線分線段成比例定理:平行于三角形一邊的直線截其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)a線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.dead = ae 或 bd = ec 或 ad = ae由debc可得： dbecadeaabacbc注意：、

7、重要結(jié)論：平行于三角形的一邊,并且和其它兩邊相交的直線,所截的三角形的三邊與原三角形三邊對(duì)應(yīng)成比例.、三角形中平行線分線段成比例定理的逆定理：如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.那么這條直線平行于三角形的第三邊.此定理給出了一種證明兩直線平行方法,即：利用比例式證平行線.、平行線的應(yīng)用：在證明有關(guān)比例線段時(shí)，輔助線往往做平行線,但應(yīng)遵循的原則是不要破壞條件中的兩條線段的比及所求的兩條線段的比.2、平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所截得的對(duì)應(yīng)線段成比例.已知adbecf,adbeabdeabdebcefbcefabbc=或=或=或=或=可得 bcefa

8、cdfabdeacdfdeef 等.cf注意：平行線分線段成比例定理的推論：平行線等分線段定理：兩條直線被三條平行線所截，如果在其中一條上截得的線段相等，那么在另一條上截得的線段也相等。知識(shí)點(diǎn)5 、相似三角形的概念對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例的三角形，叫做相似三角形相似用符號(hào)“”表示，讀作“相似于” 相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比(或相似系數(shù))相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例注意：、對(duì)應(yīng)性：即兩個(gè)三角形相似時(shí)，一定要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)位置上，這樣寫比較容易找到相似三角形的對(duì)應(yīng)角和對(duì)應(yīng)邊 順序性：相似三角形的相似比是有順序的、兩個(gè)三角形形狀一樣，但大小不一定一樣全等三角形是相似比為1的相

9、似三角形二者的區(qū)別在于全等要求對(duì)應(yīng)邊相等，而相似要求對(duì)應(yīng)邊成比例知識(shí)點(diǎn)6 、 三角形相似的等價(jià)關(guān)系與三角形相似的判定定理的預(yù)備定理(1) 、相似三角形的等價(jià)關(guān)系：、反身性：對(duì)于任一dabc 有dabc dabc 、對(duì)稱性：若dabc da bc，則da bc dabc 、傳遞性：若dabc da bc，且da bc da bc ，則dabc da bc(2) 、三角形相似的判定定理的預(yù)備定理：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似定理的基本圖形：aedaabcdecb(1)de(2)bc(3)用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表述是：q de / bc ，dade dabc

10、 知識(shí)點(diǎn)7 、三角形相似的判定方法1、定義法：三個(gè)對(duì)應(yīng)角相等，三條對(duì)應(yīng)邊成比例的兩個(gè)三角形相似2、平行法：平行于三角形一邊的直線和其它兩邊(或兩邊的延長(zhǎng)線)相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似3、判定定理1：如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另一個(gè)三角形的兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似4、判定定理2：如果一個(gè)三角形的兩條邊與另一個(gè)三角形的兩條邊對(duì)應(yīng)成比例，并且?jiàn)A角相等，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似5、判定定理3：如果一個(gè)三角形的三條邊與另一個(gè)三角形的三條邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)三角形相似簡(jiǎn)述為：三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似6、判

11、定直角三角形相似的方法： (1)、以上各種判定均適用(2) 、如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，那么這兩個(gè)直角三角形相似(3) 、直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似知識(shí)點(diǎn)8 、相似三角形常見(jiàn)的圖形1、下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：如圖：稱為“平行線型”的相似三角形（有“a型”與“x型”圖）aaeddecb(1)bcdeb(2)ac(3)(2)、如圖：其中1=2，則adeabc稱為“斜交型”的相似三角形。（有“反a共角型”、“反a共角共邊型”、 “蝶型”）e4e 21 2如圖：稱為“垂直型”（有“雙垂直共角型”、

12、“雙垂直共角共邊型（也稱“射影定理型”）”“三垂直型”）aaeeedbcbc(d)bacd(4)、如圖：1=2，b=d，則adeabc，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。 2、幾種基本圖形的具體應(yīng)用：（1） 、若debc（a型和x型）則adeabc（2） 、射影定理若cd為rtabc斜邊上的高（雙直角圖形）則rtabcrtacdrtcbd且ac2=adab，cd2=adbd，bc2=bdab；adeaedcbcbcad b（3） 、滿足1、ac2=adab，2、acd=b，3、acb=adc，都可判定adcacbad = ae（4） 、當(dāng) acab 或adab=acae時(shí)，adeacbdadeabc

13、bc知識(shí)點(diǎn)9：全等與相似的比較：三角形全等三角形相似兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等(asa) 兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等(aas) 兩邊及夾角對(duì)應(yīng)相等(sas) 三邊對(duì)應(yīng)相等(sss)直角三角形中一直角邊與斜邊對(duì)應(yīng)相等(hl)相似判定的預(yù)備定理兩角對(duì)應(yīng)相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例，且?jiàn)A角相等三邊對(duì)應(yīng)成比例直角三角形中斜邊與一直角邊對(duì)應(yīng)成比例知識(shí)點(diǎn)10 、相似三角形的性質(zhì)(1) 、相似三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例(2) 、相似三角形對(duì)應(yīng)高的比，對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比 (3)、相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比(4) 、相似三角形面積的比等于相似比的平方注意：相似三角形性質(zhì)可用來(lái)證明線段成比例、角相等，也可用來(lái)

14、計(jì)算周長(zhǎng)、邊長(zhǎng)等知識(shí)點(diǎn)11 、相似三角形中有關(guān)證（解）題規(guī)律與輔助線作法1、證明四條線段成比例的常用方法：(1) 、線段成比例的定義(2)、三角形相似的預(yù)備定理(3)、利用相似三角形的性質(zhì)(4)、利用中間比等量代換(5)、利用面積關(guān)系知識(shí)點(diǎn)12 、相似多邊形的性質(zhì)(1) 、相似多邊形周長(zhǎng)比，對(duì)應(yīng)對(duì)角線的比都等于相似比(2) 、相似多邊形中對(duì)應(yīng)三角形相似，相似比等于相似多邊形的相似比 (3)、相似多邊形面積比等于相似比的平方注意：相似多邊形問(wèn)題往往要轉(zhuǎn)化成相似三角形問(wèn)題去解決，因此，熟練掌握相似三角形知識(shí)是基礎(chǔ)和關(guān)鍵知識(shí)點(diǎn)13 、位似圖形有關(guān)的概念與性質(zhì)及作法1、如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且

15、每組對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線都交于一點(diǎn)，那么這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形.2、 這個(gè)點(diǎn)叫做位似中心，這時(shí)的相似比又稱為位似比. 注意：（1） 、位似圖形是相似圖形的特例，位似圖形不僅相似，而且對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn).（2） 、位似圖形一定是相似圖形，但相似圖形不一定是位似圖形.（3） 、 位似圖形的對(duì)應(yīng)邊互相平行或共線.3、位似圖形的性質(zhì)： 位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比. 注：位似圖形具有相似圖形的所有性質(zhì).4、 畫位似圖形的一般步驟：（1） 、確定位似中心（位似中心可以是平面中任意一點(diǎn)）（2） 、分別連接原圖形中的關(guān)鍵點(diǎn)和位似中心，并延長(zhǎng)（或截?。?（3） 、根據(jù)已知的位似比

16、，確定所畫位似圖形中關(guān)鍵點(diǎn)的位置.（4） 、 順次連結(jié)上述得到的關(guān)鍵點(diǎn)，即可得到一個(gè)放大或縮小的圖形. 注意：、位似中心可以是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，該點(diǎn)可在圖形內(nèi)，或在圖形外，或在圖形上（圖形邊上或頂點(diǎn)上）。、外位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段之外，稱為“外位似”（即同向位似圖形）、內(nèi)位似：位似中心在連接兩個(gè)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的線段上，稱為“內(nèi)位似”（即反向位似圖形）（5） 、 在平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點(diǎn)o為位似中心，相似比為k（k0）, 原圖形上點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,y）,那么同向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx,ky), 反向位似圖形對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(-kx,-ky),相似三角形經(jīng)典例題透析 類型一、

17、相似三角形的概念1、判斷對(duì)錯(cuò)：(1)、兩個(gè)直角三角形一定相似嗎？為什么？ (2)、兩個(gè)等腰三角形一定相似嗎？為什么？(3)、兩個(gè)等腰直角三角形一定相似嗎？為什么？ (4)、兩個(gè)等邊三角形一定相似嗎？為什么？(5)、兩個(gè)全等三角形一定相似嗎？為什么？思路點(diǎn)撥：要說(shuō)明兩個(gè)三角形相似，要同時(shí)滿足對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例.要說(shuō)明不相似，則只要否定其中的一個(gè)條件.解：(1)、不一定相似.反例直角三角形只確定一個(gè)直角，其他的兩對(duì)角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.(2) 、不一定相似.反例等腰三角形中只有兩邊相等，而底邊不固定.因此兩個(gè)等腰三角形中有兩邊對(duì)應(yīng)成比例， 兩底邊的比不一定等于對(duì)

18、應(yīng)腰的比，所以等腰三角形不一定相似.(3) 、一定相似.在直角三角形abc與直角三角形abc中(4) 、一定相似.因?yàn)榈冗吶切胃鬟叾枷嗟?，各角都等?0度，所以兩個(gè)等邊三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例，因此兩個(gè)等邊三角形一定相似.(5) 、一定相似.全等三角形對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等，所以對(duì)應(yīng)邊比為1，所以全等三角形一定相似，且相似比為1.【變式2】下列能夠相似的一組三角形為()a、所有的直角三角形b、所有的等腰三角形c、所有的等腰直角三角形d、所有的一邊和這邊上的高相等的三角形類型二、相似三角形的判定1、如圖所示，已知中，e為ab延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，ab=3be，de與bc相交于f，請(qǐng)找出圖中各對(duì)

19、相似三角形，并求出相應(yīng)的相似比.2、已知在rtabc中，c=90，ab=10，bc=6.在rtedf中，f=90，df=3，ef=4，則abc和edf相似嗎？為什么？舉一反三【變式1】、已知：如圖正方形abcd中，p是bc上的點(diǎn)，且bp=3pc，q是cd的中點(diǎn) 求證：adqqcp.【變式3】、已知：如圖，ad是abc的高，e、f分別是ab、ac的中點(diǎn) 求證：dfeabc類型三、相似三角形的性質(zhì)1、abcdef，若abc的邊長(zhǎng)分別為5cm、6cm、7cm，而4cm是def中一邊的長(zhǎng)度，你能求出def的另外兩邊的長(zhǎng)度嗎？試說(shuō)明理由.2、如圖所示，已知abc中，ad是高，矩形efgh內(nèi)接于abc中，

20、且長(zhǎng)邊f(xié)g在bc上，矩形相鄰兩邊的比為1：2，若bc=30cm，ad=10cm.求矩形efgh的面積.舉一反三【變式1】abc中，debc，m為de中點(diǎn)，cm交ab于n，若，求.類型四、相似三角形的應(yīng)用舉一反三【變式1】、如圖：小明欲測(cè)量一座古塔的高度，他站在該塔的影子上前后移動(dòng)，直到他本身影子的頂端正好與塔的影子的頂端重疊，此時(shí)他距離該塔18 m，已知小明的身高是1.6 m， 他的影長(zhǎng)是2 m【變式2】、已知：如圖，陽(yáng)光通過(guò)窗口照射到室內(nèi)，在地面上留下1.5m寬的亮區(qū)de.亮區(qū)一邊到窗下的墻腳距離ce=1.2m，窗口高ab=1.8m，求窗口底邊離地面的高bc？類型五、相似三角形的周長(zhǎng)與面積1

21、、已知：如圖，在abc與cad中，dabc，cd與ab相交于e點(diǎn)，且aeeb=12，efbc交ac于f點(diǎn)，ade的面積為1，求bce和aef的面積【變式2】、如圖，已知：abc中，ab=5，bc=3，ac=4，pq/ab，p點(diǎn)在ac上(與點(diǎn)a、c不重合)，q 點(diǎn)在bc上(1) 、當(dāng)pqc的面積與四邊形pabq的面積相等時(shí)，求cp的長(zhǎng)； (2)、當(dāng)pqc的周長(zhǎng)與四邊形pabq的周長(zhǎng)相等時(shí)，求cp的長(zhǎng)；類型六、綜合探究1、如圖，abcd，a=90，ab=2，ad=5，p是ad上一動(dòng)點(diǎn)(不與a、d重合)，pebp，p為垂足，pe交dc于點(diǎn)e，(1) 、設(shè)ap=x，de=y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，

22、并指出x的取值范圍；(2) 、請(qǐng)你探索在點(diǎn)p運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，四邊形abed能否構(gòu)成矩形？如果能，求出ap的長(zhǎng)；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.中考鏈接：例 1、如圖，已知等腰abc 中，abac，adbc 于 d，cgab，bg 分別交 ad，ac 于 e、 f，求證：be2efeg證明：如圖，連結(jié) ec，abac，adbc，abcacb，ad 垂直平分 bcbeec，12，abc-1acb-2， 即34，又 cgab，g3，4gceef又cegcef，cefgec， eg = ceec2eg ef，故 eb2=efeg【解題技巧點(diǎn)撥】本題必須綜合運(yùn)用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)，線段的垂直平分線的性質(zhì)和相

23、似三角形的基本圖形來(lái)得到證明而其中利用線段的垂直平分線的性質(zhì)得到 be=ec，把原來(lái)處在同一條直線上的三條線段 be，ef，ec 轉(zhuǎn)換到相似三角形的基本圖形中是證明本題的關(guān)鍵。fb例 2 、 已知：如圖，ad 是 rtabc 斜 bc 上的高，e 是 ac 的中點(diǎn)，ed 與 ab 的延長(zhǎng)線相交于 f，求證： ba =fd ac證法一：如圖，在 rtabc 中，bacrt，adbc，3c，又 e 是 rtadc 的斜邊 ac 上的中點(diǎn)，1ed= 2 acec，2c，又12，13，fbbddfbafd，dfbafd， fd ad（1）bdba又 ad 是 rtabc 的斜邊 bc 上的高，rtab

24、drtcad， ad = ac（2）fbbafbfd由（1）（2）兩式得 fd = ac ，故 ba = acfbfd證法二：過(guò)點(diǎn) a 作 agef 交 cb 延長(zhǎng)線于點(diǎn) g，則 ba = ag（1）e 是 ac 的中點(diǎn)，edac，d 是 gc 的中點(diǎn)，又 adgc，ad 是線段 gc 的垂直平分線，agac（2）fbfd由（1）（2）兩式得： ba = ac ，證畢?！窘忸}技巧點(diǎn)撥】bd本題證法中，通過(guò)連續(xù)兩次證明三角形相似，得到相應(yīng)的比例式，然后通過(guò)中間比“ ad ”過(guò)渡，使問(wèn)題得證，證法二中是運(yùn)用平行線分線段成比例定理的推論，三角形的中位線的判定，線段的垂直平分線的判定與性質(zhì)使問(wèn)題得證一

25、、如何證明三角形相似例 1、如圖：點(diǎn) g 在平行四邊形 abcd 的邊 dc 的延長(zhǎng)線上,ag 交 bc、bd 于點(diǎn) e、f，則agd 。 b g例 2、已知abc 中，ab=ac，a=36，bd 是角平分線，求證：abcbcd例 3：已知，如圖，d 為abc 內(nèi)一點(diǎn)連結(jié) ed、ad，以 bc 為邊在abc 外作cbe=abd，bce=bad求證：dbeabc例 4、矩形 abcd 中，bc=3ab，e、f，是 bc 邊的三等分點(diǎn)，連結(jié) ae、af、ac，問(wèn)圖中是否存在非全等的相似三角形？請(qǐng)證明你的結(jié)論。二、如何應(yīng)用相似三角形證明比例式和乘積式例 5、abc 中，在 ac 上截取 ad，在 c

26、b 延長(zhǎng)線上截取 be，使 ad=be，求證：df ac=bc fe例 6、已知：如圖，在abc 中，bac=900，m 是 bc 的中點(diǎn)，dmbc 于點(diǎn) e，交 ba 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) d。求證：（1）ma2=md me；（2）ae 2ad 2= memd例 7、如圖abc 中，ad 為中線，cf 為任一直線，cf 交 ad 于 e，交 ab 于 f，求證：ae：ed=2af：fb。da1e2bmc三、如何用相似三角形證明兩角相等、兩線平行和線段相等。例 8、已知：如圖 e、f 分別是正方形 abcd 的邊 ab 和 ad 上的點(diǎn)，且 eb =abaf =ad1 。求證：aef=fbd3ga f

27、deb c例 9、在平行四邊形 abcd 內(nèi)，ar、br、cp、dp 各為四角的平分線， 求證：sqab，rpbc例 10、已知 a、c、e 和 b、f、d 分別是o 的兩邊上的點(diǎn)，且 abed，bcfe，求證：afcd例 11、直角三角形 abc 中，acb=90，bcde 是正方形，ae 交 bc 于 f，fgac 交 ab 于 g，求證：fc=fg例 12、rtabc 銳角c 的平分線交 ab 于e，交斜邊上的高 ad 于o，過(guò) o 引bc 的平行線交 ab 于f，求證：ae=bf 學(xué)生姓名所屬年級(jí)九年級(jí)輔導(dǎo)學(xué)科數(shù)學(xué)任課教師作業(yè)時(shí)限90 分鐘布置時(shí)間月 日一、填空題1、已知：在abc 中

28、，p 是 ab 上一點(diǎn)，連結(jié) cp，當(dāng)滿足條件acp=或apc=或 ac2=時(shí)，acpabc2、兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)之比為 49，面積之和為 291，則面積分別是。3、如圖，defg 是 rtabc 的內(nèi)接正方形，若 cf8，dg4 2 ，則 be。4、如圖，直角梯形 abcd 中，adbc，adcd，acab，已知 ad4，bc9，則 ac。5、abc 中，ab15，ac9，點(diǎn) d 是 ac 上的點(diǎn)，且 ad=3，e 在 ab 上，ade 與abc 相似，則 ae 的長(zhǎng)等于。6、如圖，在正方形網(wǎng)格上畫有梯形 abcd，則bdc 的度數(shù)為。7、abc 中，abac，a36，bc1，bd 平分ab

29、c 交于 d，則 bd，ad，設(shè) abx,則關(guān)于 x 的方程是.8、如圖，已知 d 是等邊abc 的 bc 邊上一點(diǎn)，把a(bǔ)bc 向下折疊，折痕為 mn，使點(diǎn) a 落在點(diǎn) d 處，若 bd dc23，則 ammn=。課后作業(yè)二、選擇題ad19、如圖，在正abc 中，d、e 分別在 ac、ab 上，且 ac = 3 ，ae=be，則有（）a、aedbedb、aedcbdc、aedabdd、badbcd610、如圖，在abc 中，d 為 ac 邊上一點(diǎn)，dbca，bc=，ac3，則 cd 的長(zhǎng)為（）3a、1b、 25c、2d、 211、如圖，abcd 中，g 是 bc 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ag 與 bd

30、交于點(diǎn) e，與 dc 交于點(diǎn) f，則圖中相似三角形共有（）a、3 對(duì)b、4 對(duì)c、5 對(duì)d、6 對(duì)12、 p 是 rtabc 的斜邊 bc 上異于 b、c 的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) p 作直線截abc，使截得的三角形與abc 相似， 滿足這樣條件的直線共有（）a、1 條b、2 條c、3 條d、4 條13、如圖，在直角梯形 abcd 中，ab7，ad2，bc=3，若在 ab 上取一點(diǎn) p，使以 p、a、d 為頂點(diǎn)的三角形和以 p、b、c 為頂點(diǎn)的三角形相似，這樣的 p 點(diǎn)有（）a、1 個(gè)b、2 個(gè)c、3 個(gè)d、4 個(gè)三、解答下列各題14、如圖，長(zhǎng)方形 abcd 中，ab=5，bc10，點(diǎn) p 從 a 點(diǎn)出發(fā)

31、，沿 ab 作勻速運(yùn)動(dòng)，1 分鐘可以到達(dá) b 點(diǎn)， 點(diǎn) q 從 b 點(diǎn)出發(fā)，沿 bc 作勻速直線運(yùn)動(dòng)，1 分鐘可到 c 點(diǎn)，現(xiàn)在點(diǎn) p 點(diǎn) q 同時(shí)分別從 a 點(diǎn)、b 點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)多少時(shí)間，線段 pq 恰與線段 bd 垂直？15、已知：如圖，正方形 defg 內(nèi)接于 rtabc，ef 在斜邊 bc 上，ehab 于 h 求證：（1）adghed；（2）ef2befc（答案）例 1 分析：關(guān)鍵在找“角相等”，除已知條件中已明確給出的以外，還應(yīng)結(jié)合具體的圖形，利用公共角、對(duì)頂角及由平行線產(chǎn)生的一系列相等的角。本例除公共角g 外,由bcad 可得1=2，所以agdegc。再1=2（對(duì)頂角），由 ab

32、dg 可得4=g，所以egceab。例 2 分析：證明相似三角形應(yīng)先找相等的角，顯然c 是公共角，而另一組相等的角則可以通過(guò)計(jì)算來(lái)求得。借助于計(jì)算也是一種常用的方法。證明：a=36，abc 是等腰三角形，abc=c=72又 bd 平分abc，則dbc=36在abc 和bcd 中，c 為公共角，a=dbc=36abcbcd例 3 分析： 由已知條件abd=cbe，dbc 公用。所以dbe=abc，要證的dbe 和abc，有一對(duì)角相等，要證兩個(gè)三角形相似，或者再找一對(duì)角相等，或者找?jiàn)A這個(gè)角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例。從已知條件中可看到cbeabd，這樣既有相等的角，又有成比例的線段，問(wèn)題就可以得到解決。bc

33、bebc證明：在cbe 和abd 中，cbe=abd, bce=badcbeabd=即：=abbdbeab bdbcdbe 和abc 中，cbe=abd, dbc 公用cbe+dbc=abd+dbcdbe=abc 且=beab dbeabcbd例 4 分析：本題要找出相似三角形，那么如何尋找相似三角形呢？下面我們來(lái)看一看相似三角形的幾種基本圖形：（1） 如圖：稱為“平行線型”的相似三角形e(2) 如圖：其中1=2，則adeabc 稱為“相交線型”的相似三角形。e 21 2e4 (3) 如圖：1=2，b=d，則adeabc，稱為“旋轉(zhuǎn)型”的相似三角形。2觀察本題的圖形，如果存在相似三角形只可能是

34、“相交線型”的相似三角形，及eaf 與eca 解：設(shè) ab=a，則 be=ef=fc=3a，由勾股定理可求得 ae=2a ， 在eaf 與eca 中，aef 為公共角，且 ae = ec =所以eafecaefae例 5 分析：證明乘積式通常是將乘積式變形為比例式及 df：fe=bc：ac，再利用相似三角形或平行線性質(zhì)進(jìn)行證明：證明：過(guò) d 點(diǎn)作 dkab，交 bc 于 k，dkab，df：fe=bk：be又ad=be，df：fe=bk：ad，而 bk：ad=bc：ac即 df：fe= bc：ac，df ac=bc fe例 6證明：（1）bac=900，m 是 bc 的中點(diǎn)，ma=mc，1=c

35、，dmbc，c=d=900-b，1=d，2=2，maemda， ma = me ，ma2=md me，（2）maemda， ae =admdma=maae，mdadmeae 2maad 2= ma me = me mdmamd評(píng)注：命題 1如圖，如果1=2，那么abdacb，ab2=ad ac。命題 2如圖，如果 ab2=ad ac，那么abdacb，1=2。例 7分析：圖中沒(méi)有現(xiàn)成的相似形，也不能直接得到任何比例式，于是可以考慮作平行線構(gòu)造相似形。怎樣作？觀察要證明的結(jié)論，緊緊扣住結(jié)論中“ae：ed”的特征，作 dgba 交 cf 于 g，得aefdeg， ae=de= af 。dgae與結(jié)

36、論ed2 af fb= af1 bf相比較，顯然問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證 dg =fb 。122證明：過(guò) d 點(diǎn)作 dgab 交 fc 于 g 則aefdeg。（平行于三角形一邊的直線截其它兩邊或兩邊的延長(zhǎng)線所得三角形與原三角形相似） ae = af（1）dedgd 為 bc 的中點(diǎn)，且 dgbfg 為 fc 的中點(diǎn)則 dg 為cbf 的中位線， dg = 1 bf2（2）將（2）代入（1）得：ae =deaf1 bf2= 2af fb例 8 分析：要證角相等，一般來(lái)說(shuō)可通過(guò)全等三角形、相似三角形，等邊對(duì)等角等方法來(lái)實(shí)現(xiàn)，本題要證的兩個(gè)角分別在兩個(gè)三角形中，可考慮用相似三角形來(lái)證，但要證的兩個(gè)角所在的三角

37、形顯然不可能相似（一個(gè)在直角三角形中，另一個(gè)在斜三角形中），所以證明本題的關(guān)鍵是構(gòu)造相似三角形，證明：作 fgbd，垂足為 g。設(shè) ab=ad=3k 則 be=af=k，ae=df=2k，bd= 3 2k2adb=450，fgd=900dfg=450dg=fg= df =af = fg = 12k bg= 32k -2k = 22k aebg2又a=fgb=900aefgbfaef=fbd例 9分析：要證明兩線平行較多采用平行線的判定定理，但本例不具備這樣的條件，故可考慮用比例線段去證明。利用比例線段證明平行線最關(guān)鍵的一點(diǎn)就是要明確目標(biāo)，選擇適當(dāng)?shù)谋壤€段。要證明 sqab，只需證明 ar：a

38、s=br：ds。證明：在ads 和arb 中。11arbrdar=rab=dab，dcp=pcb=abcadsabr=22arbrasds但adscbq，ds=bq，則as=，sqab，同理可證，rpbcbq例 10 分析：要證明 afcd，已知條件中有平行的條件，因而有好多的比例線段可供利用，這就要進(jìn)行正確的選擇。其實(shí)要證明 afcd，只要證明 oaoc= ofod即可，因此只要找出與這四條線段相關(guān)的比例式再稍加處理即可成功。證明：abed，bcfe oaoe= ob ， oe odoc= ofoboa兩式相乘可得：oc= ofod例 11分析：要證明 fc=fg，從圖中可以看出它們所在的三

39、角形顯然不全等，但存在較多的平行線的條件，因而可用比例線段來(lái)證明。要證明 fc=fg，首先要找出與 fc、fg 相關(guān)的比例線段，圖中與 fc、fg 相關(guān)的比例式較多，則應(yīng)選擇與 fc、fg 都有聯(lián)系的比作為過(guò)渡，最終必須得到 fc?可完成。= fg?（“？”代表相同的線段或相等的線段），便證明： fgacbe，abeagf則有 gfbe= afae而 fcdeaedafc則 有 cf = afdeae gf = cf = af bedeae又be=de（正方形的邊長(zhǎng)相等）df = gf bebe，即 gf=cf。例 12證明：co 平分c，2=3，故 rtcaertcdo， aeod= acc

40、d又 ofbc， bf =odab 又 rtabdrtcad， ac =adcdabae，即adod= bfodae=bf。一、b、acb、apab2.48,2433.44.65.5 或 1.86.1357.1,1,x2-x-1=08.78二、9.b10.c11.d12.c13.c三、14.1/5 分鐘15.(1)（略）（2）證gfcbed16.(1)證bfddgc 和baddac；（2） 證abdabe。17.50m40m18.證abcacp 和證abdadp19.（1）略（2）由（1）bc的結(jié)論和證 rtadcrtcdb 即得。20.(1)略（2）36cm21.先探索 ad 只能與 bc

41、成對(duì)應(yīng)邊，則 ad =cdbdbd = ab ，得 bd=100，bc=64，故abdbdc22.在abc 中，作acg=e，cg 交 ab 于點(diǎn) g，在def 中，作efh=a，fh 交 de 于點(diǎn) h，直線 cg、fh就是所求的分割線。8、bd：dc=2：3，設(shè) bd=2a，則 cd=3a，abc 是等邊三角形，ab=bc=ac=5a，abc=acb=bac=60，由折疊的性質(zhì)可知：mn 是線段 ad 的垂直平分線，am=dm，an=dn，bm+md+bd=7a，dn+nc+dc=8a，mdn=bac=abc=60，ndc+mdb=bmd+mbd=120，ndc=bmd，abc=acb=60，bmdcdn，（bm+md+bd）：（dn+nc+cd）=am：an， 即 am：an=7：8，故答案為 7：89、ad：ac=1：3，ad：dc=1：2；abc 是正三角形，ab=bc=ac；ae=be，ae：bc=ae：ab=1：2ad：dc=ae：bc；a 為公共角，aedcbd；11、解：在abcd 中，abcd，所以，abefde，abgfcg，adbc，所以，ade