北京市西城區(qū)2017-2018學(xué)年高二第一學(xué)期期末考試 數(shù)學(xué)理

1、北京市西城區(qū)2017 2018學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷 高二數(shù)學(xué)（理科） 2018.1試卷滿分：150分 考試時間：120分鐘題號一二三本卷總分151617181920分數(shù)一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1. 直線的傾斜角為（ ） （A）（B）（C）（D）2. 命題“對任意，都有”的否定是（） （A）存在,使得（B）對任意,都有 （C）存在,使得（D）對任意,都有3. 雙曲線的焦點到其漸近線的距離為（ ） （A）（B）（C）（D）4. 設(shè)是兩個不同的平面，是三條不同的直線，（ ） （A）若，則（B）若，則 （C）若，則（D）若，則

2、5. “” 是“方程表示的曲線為橢圓”的（ ） （A）充分不必要條件（B）必要不充分條件 （C）充要條件（D）既不充分也不必要條件6. 設(shè)是兩個不同的平面，是一條直線，若，則（ ） （A）與平行 （C）與異面（B）與相交（D）以上三個答案均有可能7. 設(shè)為坐標原點，是以為焦點的拋物線 上任意一點，是線段的中點，則直線的斜率的最大值為（ ） （A）（B）（C）（D）8. 設(shè)為空間中的一個平面，記正方體的八個頂點中到的距離為的點的個數(shù)為，的所有可能取值構(gòu)成的集合為，則有（ ） （A），（B），（C），（D），二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分.把答案填在題中橫線上.9. 命題“若，則

3、”的逆否命題為_.10. 經(jīng)過點且與直線垂直的直線方程為_. 11. 在中，. 以所在的直線為軸將旋轉(zhuǎn)一周，則旋轉(zhuǎn)所得圓錐的側(cè)面積為_.12. 若雙曲線的一個焦點在直線上，一條漸近線與平行，且雙曲線的焦點在軸上，則的標準方程為_；離心率為_.13. 一個四棱錐的三視圖如右圖所示，那么在這個四棱錐的四個側(cè)面三角形中，有_個直角三角形. 14. 在平面直角坐標系中，曲線是由到兩個定點和點的距離之積等于的所有點組成的. 對于曲線，有下列四個結(jié)論： 曲線是軸對稱圖形； 曲線是中心對稱圖形； 曲線上所有的點都在單位圓內(nèi)； 曲線上所有的點的縱坐標. 其中，所有正確結(jié)論的序號是_.三、解答題：本大題共6小題

4、，共80分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15（本小題滿分13分）如圖，在正三棱柱中，為的中點. （） 求證：平面； （） 求證：平面.16（本小題滿分13分）已知圓，其中.（）如果圓與圓相外切，求的值；（）如果直線與圓相交所得的弦長為，求的值.17（本小題滿分13分）如圖，在四棱柱中，平面， ， 為的中點.（）求四棱錐的體積；（）設(shè)點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長度；（）判斷線段上是否存在一點，使得？（結(jié)論不要求證明） 18（本小題滿分14分）設(shè)為拋物線的焦點，是拋物線上的兩個動點，為坐標原點.（）若直線經(jīng)過焦點，且斜率為2，求； （）當時，證明：求的最小值.

5、19（本小題滿分14分）如圖，在四面體中，平面，為的中點.（）求證: ；（）求二面角的余弦值.（）求四面體的外接球的表面積.（注：如果一個多面體的頂點都在球面上，那么常把該球稱為多面體的外接球. 球的表面積）20（本小題滿分14分）已知橢圓的一個焦點為，離心率為. 點為圓上任意一點，為坐標原點.（）求橢圓的標準方程； （）記線段與橢圓交點為，求的取值范圍；（）設(shè)直線經(jīng)過點且與橢圓相切，與圓相交于另一點，點關(guān)于原點的對稱點為，試判斷直線與橢圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論. 北京市西城區(qū)2017 2018學(xué)年度第一學(xué)期期末試卷高二數(shù)學(xué)（理科）參考答案及評分標準 2018.1一、選擇題：本大題共8小題

6、，每小題5分，共40分.1. D2. C3. A4. D5. A6. A7. B 8. D二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分. 9. 若，則10. 11. 12. ，13. 14. 注：第12題第一空3分，第二空2分；第14題多選、少選或錯選均不得分.三、解答題：本大題共6小題，共80分.15（本小題滿分13分）()證明：因為正三棱柱，為的中點，所以，底面. 1分又因為底面，所以. 3分又因為，平面，平面，所以平面. 6分()證明：如圖，連接，設(shè)，連接， 7分由正三棱柱，得，又因為在中，所以， 10分又因為平面，平面，所以平面. 13分16.（本小題滿分13分）（）解：將圓的方程

7、配方，得， 1分 所以圓的圓心為，半徑. 3分 因為圓與圓相外切， 所以兩圓的圓心距等于其半徑和，即，5分 解得. 7分（）解：圓的圓心到直線的距離. 9分 因為直線與圓相交所得的弦長為， 所以由垂徑定理，可得， 11分 解得. 13分17.（本小題滿分13分）（）解：因為平面，平面， 所以. 又因為， 所以平面. 1分 因為， 所以四棱錐的體積 2分 . 4分 （）解：由平面，可得，兩兩垂直，所以分別以，所在直線為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系，5分 則，. 所以，.設(shè)平面的一個法向量為， 由，得 令，得. 7分設(shè)，其中， 則， 記直線與平面所成角為，則， 解得（舍），或. 9分 所以，

8、 故線段的長度為. 10分（）答：對于線段上任意一點，直線與直線都不平行. 13分 18.（本小題滿分13分）（）解：由題意，得，則直線的方程為. 2分 由 消去，得. 3分 設(shè)點， 則，且， 4分 所以. 6分（）解：因為是拋物線上的兩點，所以設(shè)， 由，得， 8分 所以，即. 則點的坐標為. 10分所以， 12分 當且僅當時，等號成立. 所以的最小值為. 13分19.（本小題滿分14分）（）證明：因為平面，平面， 所以. 1分 又因為， 所以平面. 3分 又因為平面， 所以. 4分（） 解：如圖，設(shè)的中點為，的中點為，連接， 因為平面， 所以平面， 由，且，可得，兩兩垂直，所以分別以，所在直

9、線為軸，軸，軸，如圖建立空間直角坐標系， 5分 則，. 所以，.設(shè)平面的一個法向量為， 由，得 令，得. 7分設(shè)平面的一個法向量為， 由，得 令，得. 8分 所以. 由圖可知，二面角的余弦值為. 10分（）解：根據(jù)（），記的中點為， 由題意，為直角三角形，斜邊， 所以. 12分 由（），得平面， 所以. 在直角中，為斜邊的中點， 所以. 所以為四面體的外接球的球心， 故四面體的外接球的表面積. 14分20.（本小題滿分14分）（）解：由題意，知， 1分 所以， 2分 所以橢圓的標準方程為. 3分（）解：由題意，得. 4分設(shè)，則. 所以， 5分 因為， 所以當時，；當時，. 6分 所以. 7分（）結(jié)論：直線與橢圓相切. 8分 證明：由題意，點在圓上，且線段為圓的直徑， 所以.當直線軸時，易得直線的方程為， 由題意，得直線的方程為，顯然直線與橢圓相切. 同理當直線軸時，直線也與橢圓相切. 9分當直線與軸既不平行也不垂直時，設(shè)點，直線的斜率為，則，直