《相似形》基礎(chǔ)測試提高試題

1、相似形基礎(chǔ)測試(一) 選擇題：(每題2分，共24分)1.已知5y 4x= 0,那么(x+ y):( x y)的值等于11(B) 9(A)( B) 9(C) 9( D)-99【提示】將5y 4x= 0改寫成 = y，用比例性質(zhì)得 X一y =.【答案】C.545 45 4【點評】本題要求運用比例性質(zhì)進行計算.2.已知線段d是線段a、b、c的第四比例項，其中 a = 2 cm，b = 4 cm，c= 5 cm，則d等于58(A) 1 cm ( B) 10 cm (C) cm (D) cm.25【提示】列出比例式：a : b = c: d,解出d.【答案】B .【點評】本題要求運用比例的概念和求第四比

2、例項的基本方法.3如圖，DE / BC，在下列比例式中，不能成立的是仆、AD AE DB EC【提示】用特殊值法來篩選出選項，D、E分別為AB、AC的中點，計算每個線段比.【點評】本題要求運用平行線分線段成比例定理和三角形一邊平行線的性質(zhì)定理，選 為AC的中點時，AB = 1，D為AB的中點，DE = 1 .ECBC 24.下列判斷中，正確的是 各有一個角是 鄰邊之比都為 各有一個角是 鄰邊之比都為(B)匹=生BC EC(C)空二些AD AE(D) DB ECABAC【答案】B .B的原因是，當(dāng)E(A)(B)(C)(D)67 的兩個等腰三角形相似 2:1的兩個等腰三角形相似 45的兩個等腰三角

3、形相似 2 : 3的兩個等腰三角形相似頂角為46,另一D3 : 2,【提示】設(shè)計岀反例淘汰錯誤的選項.【答案】B .【點評】本題要求運用相似三角形的判定定理.A不成立的原因是當(dāng)?shù)捉菫?67時，個三角形的頂角為67時，底角為66.5,這兩個等腰三角形不相似.C不成立的原因也是頂角不等. 不成立的原因是當(dāng)一個等腰三角形的腰與底的比是2 : 3時，另一個等腰三角形的腰與底的比為它們?nèi)呏确謩e為 2 : 2 : 3與3 : 3 : 2.5.如圖，在RtA ABC中，CD是斜邊AB上的高，則圖中的相似三角形共有(A) 1 對(B) 2 對【提示】考慮 RtA ABC與RtA ACD和RtA CBD相似

4、情況.【答案】C.【點評】本題要求運用直角三角形被斜邊上的高所分割成兩個直角三角形這種基本圖形.6.已知：如圖，/ ADE = Z ACD = Z ABC，圖中相似三角形共有(A) 1 對(B) 2 對 (C) 3 對(D) 4 對A【提示】分別把 CD、DE擦去，【點評】本題要求運用三角形相似的基本定理與判定定理的運用.7.如圖，ABCD中，E是AD延長線上一點，BE交AC于點F， 是(A ) ABEDGE(C)A BCFEAF交DC于點G,則下列結(jié)論中錯誤的)(B ) CGBDGE (D)A ACD 、 GCF【答案】D.【提示】考察兩個三角形中是否有對應(yīng)邊互相平行. 【點評】本題要求運用

5、三角形相似的基本定理.8 .如圖，在 ABC中，D為 AC邊上一點, 為(DBC =Z A,)CD的長(A) 1(C) 2【點評】本題要求運用相似三角形的判定定理與性質(zhì)定理.9.如圖，D是厶ABC的邊AB上一點，在條件(1)Z ACD = Z B, 點C距離相等的點D有兩個，(4)Z B=Z ACB中，一定使 ABCACD的個數(shù)是(A) 1(B) 2(B) 3(D) 5(2) AC2= AD AB，( 3)AB邊上與ABCs【提示】由于/ A為公共角，所以考慮另一個對應(yīng)角相等或/A的兩邊對應(yīng)成比例，才能有厶ACD .【答案】B .【點評】本題要求運用相似三角形的判定定理題中條件(4)，/ B與

6、/ ACB都不是 ACD的內(nèi)角，不可能成為 ABC和厶ACD的對應(yīng)角.由下圖可見，條件(3)不一定能使 ABC ACD .10.如圖，在 RtA ABC 中，/ C = 90，CD 丄AB 于 D，且 AD : BD = 9 : 4,貝UAC : BC的值為(A) 9 : 4(C) 3 : 4(D) 3 : 2【提示】先設(shè) AD = 9k，BD = 4k，求出CD或AB，再求出AC和BC 【答案】D .【點評】本題要求運用直角三角形被斜邊上的高分成兩個三角形與原三角形相似的定理.AC 2 AD AB AD BD AB，得（）2BC BD AB BD也可利用射影定理,由 AC2 ADAB，BC2

7、11.如圖，點Ai、I，則六邊形1（A） I3A2，B1、B2，C1、C2分別是 ABC的邊BC、CA、AB的三等分點，且 ABC的周長為A1A2B1B2C1C2 的周長為（）(B) 31(C) 21(D) 1 I一 1【提示】C1B2 = A1A2 = BC, B1A2= C1C2= - AB, A1C2= B1B2= - AC .【答案】D .333【點評】本題要求運用相似三角形的周長比等于相似比（即對應(yīng)邊的比）.12如圖，將 ABC的高AD四等分，過每一個分點作底邊的平行線，把三角形的面積分成四部分 S2 S3、S4，則 Si :（A） 1 : 2 : 3 :S2： S3 :(B)S4等

8、于2 : 3 : 4 :( )5( C) 1 : 3 : 5 : 7(D) 3 : 5 : 7 : 9Si、Six 3yx 3y這個數(shù)是【提示】S1【答案】C.【點評】本題要求運用相似三角形的面積比等于相似比的平方（即對應(yīng)邊上的高的比的平方）（二）填空題：（每題2分，共20分）13.如果 x : y : z= 1 : 3 : 5，那么【提示】取x= 1，y= 3，z= 5代入，或設(shè)x= k，則y = 3k，z= 5k.【答案】一.3【點評】本題要求運用比例性質(zhì)求值.14已知數(shù)3、6,再寫出一個數(shù)，使這三個數(shù)中的一個數(shù)是另外兩個數(shù)的比例中項, （只需填寫一個數(shù)）.【提示】將b2 = ac中任意兩

9、個字母用3、6代替，求出第三個字母所表示的數(shù).i_3【答案】 12或土 3223、5、6代替不同字母，答數(shù)也就【點評】本題要求運用比例的有關(guān)概念它是一道開放性問題，用數(shù) 不同.15.如圖，11 / |2/ 13, BC = 3,=2,則 AB=EF【提示】AB = BC DE EF【答案】6.【點評】本題要求運用平行線分線段成比例定理.16.如圖，已知 DE / BC，且 BF / EF= 4 : 3,_則 AC : AE =A【提示】 BCF EDF和厶ABCADE構(gòu)成兩種基本圖形.【答案】4： 3 .【點評】本題要求運用三角形一邊平行線的性質(zhì)定理.17.如圖，在 ABC中，/ BAC= 9

10、0 ，D是BC中點，AE丄AD交CB延長線于點 己，則厶BAE相似于【提示】/ BAE = Z DAC = Z C.【答案】 ACE .【點評】本題要求靈活運用三角形相似的判定定理.ADCD)218.如圖，在矩形【提示】Rt CD的長，或AF ACCF ACAFCFADEC【答案】2【點評】本題要求運用直角三角形的判定定理.19 .如圖/ CAB = Z BCD , AD = 2, BD = 4,貝U BC =【提示】由厶ABCsA CBD，得BC2= BD AB.【答案】26 .【點評】本題要求運用相似三角形的判定定理與性質(zhì).20.如圖，在 ABC中，AB = 15 cm, AC= 12 c

11、m, AD是/ BAC的外角平分線, DE / AB交AC的延長線于點 E,那么CE =cm.【提示】/ EAD = Z FAD = Z ADE,ED = AE= AC+ CE.再利用 ABCEDC .【答案】48.【點評】本題要求靈活運用相似三角形的判定定理和性質(zhì).21.如圖，在 ABC中，M、N是AB、BC的中點，AN、CM交于點O,那么 MON AOC面積的比是 .【提示】利用三角形中位線定理.【答案】1 : 4 .【點評】本題要求運用相似三角形的判定、相似三角形的面積比等于相似比的平方，以及三角形的中位 線定理.22.如圖，在正方形 ABCD中，F(xiàn)是AD的中點，BF與AC交于點BGC與

12、四邊形CGFD的面 積之比是.22Sa CDF與S正方形的關(guān)系式.或由 BGC SA FGA得AFFGAG-，所以BCGBGC2一 1 1【提示 BGC、 FGA，推出FG = BG,得連結(jié)FC . SAbcf=S正方形，再列出又1Sa ACD =& ACB,從而得出S 四邊形 CGFD =5Sa AFG,11& AFG= S BCG= SAAGB,42Sa BCG= 4Sa afg.【答案】4： 5 .【點評】本題要求運用相似三角形的基本定理與性質(zhì).（三）計算題（每題 6分，共24分）23.如圖，DE / BC , DF / AC, AD = 4 cm , BD = 8 cm, DE = 5

13、 cm,求線段 BF 的長.【提示】先求出FC .【答案】丁 DE / BC, DF / AC ,四邊形DECF是平行四邊形.FC = DE = 5 cm .DF / AC,BF BD. =FC DA即 BF = 8 ,54BF =10 （cm）.【點評】本題要求運用平行四邊形判定定理和性質(zhì)定理、平行線分線段成比例定理.EF AF24 .如圖，已知 ABC 中，AE : EB= 1 : 3, BD : DC = 2 : 1 , AD 與 CE 相交于 F,求 +-FC FD值.【提示】作EG / BC交AD于G .AE 1AE1【答案】作EG / BC交AD于G,則由 =丄，即 =丄，得EB

14、3AB 411EG = BD = CD,42EFEG1. FCCD21 作 DH / BC 交 CE 于 H，貝U DH = _ BE= AE.3AF=AE=1，F(xiàn)DDHEFAF1 3+ =+ 1 =FCFD22【點評】本題要求靈活運用三角形一邊平行線的性質(zhì)定理.25.如圖，點C、D在線段AB上， PCD是等邊三角形.(1)當(dāng)AC、CD、DB滿足怎樣的關(guān)系時， ACPPDB ?2)當(dāng)厶ACPPDB時，求/ APB的度數(shù).A CDB【提示】(1)考慮AC、PD、PC、DB之間比例關(guān)系.(2)利用相似三角形的性質(zhì)“對應(yīng)角相等”.【答案】丁/ ACP = Z PDB = 120，ACPCACCD當(dāng)

15、= ，即 =，也就是 CD2= AC DB 時， ACPs PDB.PDDBCDDB/ A=Z DPB ./ APB=Z APC + / CPD + / DPB=Z APC +/ A+/ CPD=Z PCD + / CPD=120.【點評】本題要求運用相似三角形判定定理和性質(zhì)的運用.26.如圖，矩形PQMN內(nèi)接于 ABC，矩形周長為24, AD丄BC交PN于E，且BC = 10，AE = 16，求 ABC 的面積.【提示】利用相似三角形的性質(zhì)，列出關(guān)于【答案】t 矩形PQMN ,即可求出PN / QM , PN = QM . t AD 丄 BC ,AE 丄PN . t APNA ABC,PN

16、= AEBC AD設(shè)ED = x,又 矩形周長為24,則PN = 12-x, AD = 16+ x.12 x _16即x2+ 4x-32_ 0.解得 x_ 4.1016 xAD _ AE+ ED _ 20.Saabc_ 1 BC AD100 .【點評】本題要求運用相似三角形對應(yīng)高線的比等于相似比.（四）證明題：（每題6分，共24分）27.已知：如圖，在正方形 ABCD中，P是BC上的點，且 BP_ 3PC , Q是CD的中點.求證： ADQ sA QCP.【提示】先證AD _ DG QC PC【答案】在正方形 ABCD 中,Q是CD的中點,AD_2.QCBPPCBC _4.PC又 BC _ 2

17、DQ,DQPC在厶 ADQ 和厶 QCP 中，_ 衛(wèi)9，/ C_Z D _ 90QC PC/ ADQsA QCP .【點評】本題要求運用相似三角形的判定定理.28.已知：如圖， ABC中，AB_ AC, AD是中線，P是AD上一點，過C作CF / AB，延長BP交AC于E , 交 CF 于 F.求證：BP2_ PE PF .【提示】先證 PB = PC,再證 EPCsA CPF.【答案】連結(jié)PC./ AB =AC , AD是中線，二 AD是厶ABC的對稱軸.PC = PB,Z PCE = Z ABP.t CF / AB,/ PFC = Z ABP ./ PCE=Z PFC .又 / cpe=z

18、 epc,. EPG CPF .PCpe.即 PC2 PE PF . BP2 PE PF .PFPC【點評】本題要求運用等腰三角形的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì).29.如圖，BD、CE ABC 的高，求證/ AED = Z ACB.【提示】先證 ABDace，再證 ADEsA abc .【答案】T/ adb = z aec = 90,/ a=z a, ABDsA ace .ad = AB ae ac/ A=Z A,. ADEsA abc./ aed = / acb .BEDC，連結(jié)ae交BC于F, 作【點評】本題要求運用相似三角形的判定與性質(zhì).30.已知：如圖，在 ABC中，/ C = 90

19、,以BC為邊向外作正方形 FG / BE 交 AB 于 G.求證：FG = FC .DC A【提示】證明FG FC eb ed【答案】TFG afFG / BE,.ebaeFC / ED,FC = AFed aeFG = FCeb edEB= ed，二 FG = FC .（五）解答題（8分）31. （1）閱讀下列材料，補全證明過程：已知：如圖，矩形 ABCD中，AC、BD相交于點 O, 0E丄BC于E,連結(jié)DE交OC于點F，作FG丄BC于G .求證：點G是線段BC的一個三等分點.證明：在矩形 ABCD中，OE丄BC，DC丄BC，EF _ OE _ 1. EF _ 1FD DC 2 ED 3OE

20、 / DC.OEDC 2BC的一個四等分點（要求保留畫圖痕跡，可不寫畫法及證2）請你仿照（1）的畫法，在原圖上畫岀 明過程）.FG1 gc2【提示】先證FG / DC,再證 _丄或 _ -.AB3EC3【答案】（1）補全證明過程，方法一：FG 丄BC，DC丄BC，F(xiàn)G / DC.FG EF1DC ED3AB_DC，F(xiàn)G 1AB 3又 FG / AB，CG _ FG _1BC AB3方法二:FG丄BC， DC丄BC， FG / DC.EG EF 1ECED3GC 2EC 3E是BC的中點，GC GC 2 _BC 2EC 63點G是BC的一個三等分點（2）如圖，中點I.相似形提高試題(一) 選擇題

21、：(每題2分，共24分)1梯形兩底分別為 m、n，過梯形的對角線的交點，引平行于底邊的直線被兩腰所截得的線段長 為()m n2mnmnm n(A)( B)(C)(D)mnm nm n2mnxx【提示】設(shè)所要求的線段長為x，則有22 二 1.mn【答案】B .2 .如圖，在正三角形ABC中，D，E分別在AC，ADAB上，且一=，AE = BE，則AC 3AC 3有()(A) AEDBED( B)A AEDCBDC) AEDABD(D)A BADBCD1AD= CD21【提示】AE= BC2【答案】B 3. P是RtA ABC斜邊BC上異于B、C的一點，過點P作直線截厶ABC ,使截得的三角形與

22、ABC相似, 滿足這樣條件的直線共有()(A) 1 條(B) 2 條(C) 3 條(D) 4 條【提示】所截得的三角形為直角三角形，過P點分別作厶ABC三邊的垂線，可作3條.【答案】C.4. 如圖，/ ABD = Z ACD，圖中相似三角形的對數(shù)是(A) 2(B) 3( C) 4(D) 5【提示】 AOBsA cod， AODBOC， FACs PDB，A PADPCB.【答案】C.5. 如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點，P是BC邊上的一點，下列條件中，不能推出ABP與厶ECP相似的是()(A)Z APB = Z EPC( B)Z APE= 90C) P 是 BC 的中點(D) BP :

23、 BC = 2 : 3【提示】當(dāng)P是BC的中點時， EPC為等腰直角三角形.【答案】C.6. 如圖， ABC中，AD丄BC于D，且有下列條件：(1)Z B+/ DAC = 90; (2)Z B=Z DAC ;CD AC2(3)=;(4) AB2 = BD BCAD AB其中一定能夠判定 ABC是直角三角形的共有()(A) 3 個(B) 2 個(C) 1 個(D) 0 個【提示】丁/ B=Z DAC，(1)錯,(2)對.【答案】A.7.如圖，將 ADE繞正方形ABCD頂點A順時針旋轉(zhuǎn)90 ，得厶ABF，連結(jié)EF交AB于H，則下列 結(jié)論中錯誤的是()(A) AE丄AF(C) AF2= FH FE(

24、B) EF : AF =2 : 1(D) FB : FC = HB : EC【提示】先檢驗 A、B、D的正確性.【答案】C.8如圖，在矩形 ABCD中，點E是AD上任意一點，則有()(A) ABE的周長+ CDE的周長= BCE的周長(B) A ABE的面積+ CDE的面積= BCE的面積(C) A ABEDEC(D) A ABEEBC【提示】作EF丄BC，垂足為F.【答案】B .9.如圖，在 口 ABCD 中，E 為 AD 上一點，DE : CE = 2 : 3,連結(jié) AE、BE、BD，且 AE、BD 交于點 F，貝U & DEF : Sa EBF : SgBF 等于 ()(A) 4 ： 1

25、0 ： 25( B) 4 : 9 : 25(C) 2 : 3 : 5(D) 2 : 5 : 25【提示】 DEF sA ABF , 5 def 【答案】A.10.如圖，直線 a/ b,(A) 5 :12AF : FB =3 :(B) 9:55，BC : CD= 3 : 1,貝U AE : EC 為(C) 12 : 5(D) 3 : 2)AE【提示】EC【答案】c .AG4AGCDBD11 .如圖，在 ABC中,M是AC邊中點，E是AB上一點，且 AE =延長線于D,此時(A) 2 : 1BC : CD 為(B) 3 : 2(C)1AB，4)連結(jié)EM并延長,交BC的【提示】過C點作CF / BA

26、交ED于F點，_則AE= CF .【答案】A.12.如圖，矩形紙片 ABCD的長AD =9 cm，寬AB = 3 cm,將其折疊，使點 后DE的長和折痕EF的長分別為(.10 cm2 . 3 cmD與點B重合,那么折疊(A) 4 cm、(C) 4 cm、(B) 5 cm、.10 cm(D) 5 cm、2 . 3 cmEEDEF = 2FO，EF 丄 BD .由 RtA BOF s RtA BCD，【提示】連結(jié)BD交EF于O點，則可得OB = OFBC OC1，求出OF的長.又 DE AD【答案】B .（二）填空題：（每題2分，共20分）cm, a+ b 與13.已知線段a = 6 cm, b=

27、 2 cm,則a、b、a + b的第四比例項是 a b的比例中項是cm.【提示】6 : 2 = 8 : x; y2 = 8X4.則m =c a b【提示】分a+b+ c工0和a+ b + c= 0兩種情況.【答案】 1.15.如圖，在 ABC 中，AB= AC = 27, D 在 AC 上,且 BD = BC = 18, DE / BC 交 AB 于 E,則 DE =【提示】由厶ABCsA BCD，列出比例式，求出 CD，再用 ABCsA AED .【答案】10.16.如圖，ABCD中，E是AB中點，F(xiàn)在AD上，且AF =FD , EF 交 AC 于 G,貝U AG : AC =2【提示】延長

28、 FE交CB延長線于H點，_則AF = BH，考慮 AFGCHG .【答案】1 : 5 .17.如圖，AB / CD，圖中共有對相似三角形.【提示】分“ |丁類和“三L ”類兩類.【答案】6對.CP,要使 ACPs ABC，只需添加條件（只要18.如圖，已知 ABC, P是AB上一點，連結(jié) 寫出一種合適的條件）.【提示】T/ A為公共角，考慮/ A的兩邊或其他內(nèi)角相等.【答案】/ B=Z ACP，或/ ACB=Z APC,或 AC2 = AP AB.19.如圖，AD是厶ABC的角平分線，DE / AC, EF / BC , AB= 15, AF = 4,_則DE的長等于【提示】【答案】DE =

29、 AE , CF = DE ,6.并考慮ABAC20.如圖， ABC 中，AB= AC, AD 丄 BC 于 D , AE= EC , AD= 18, BE = 15,則 ABC的面積是.OD長和OB長，最后用勾股定理求出【提示】作EF / BC交AD于F .BD的長.【答案】144.21.如圖，直角梯形 ABCD中，AD / BC, AC丄AB , AD = 8, BC= 10,則梯形 ABCD面積是【提示】作 AE / DC交BC于E點，由RtAABEs RtA CBA，依次算出BE、AB的長，最后求出 AE的 長，即可求出梯形面積.【答案】36.22.如圖，已知 AD / EF / BC

30、,且 AE= 2EB, AD = 8 cm, AD =8 cm, BC = 14 cm, 則S 梯形 AEFD S 梯形 BCFE =.【提示】延長 EA,與CD的延長線交于 P點，則 APDEPFBPC .20【答案】一.13（三）畫圖題：（4分）1023方格紙中，每個小格的頂點叫做格點，以格點連線為邊的三角形叫做格點三角形請你在圖示的 X10的方格紙中，畫出兩個相似但不全等的格點三角形，并加以證明（要求所畫三角形是鈍角三 角形，并標(biāo)明相應(yīng)字母）.【提示】先任意畫一個格點鈍角三角形，然后三邊都擴大相同的倍數(shù)，畫岀另一個格點鈍角三角形.（四）證明題：（每題7分，共28分）24.如圖， ABC中

31、，CD丄AB于D，E為BC中點，延長 AC、DE相交于點F，求證AC _ AFBC DF【提示】過F點作FG / CB，只需再證GF _ DF .【答案】方法一：作 FG / BC交AB延長線于點G.BC / GF，AC _ AFBC GF又 / BDC _ 90 ，BE_ EC，BE _DE .BE / GF，DF DE d/. _ _ 1.GF BEDF _ GF.AC AF _ .BC DF 方法二：作 EH / AB交AC于點H . AC _ AH AF _ JAHBC BE DF DE/ BDC _ 90，BE_ EC，BE _DE .AC _ AFBC DF25.如圖，在 ABC中

32、，AB = AC,延長BC至D，使得CD= BC, CE丄BD交AD于E，連結(jié)BE交AC 于F，求證AF = FC .【提示】先證 BCF DBA，再證【答案】tBC= CD，EC丄BD，F(xiàn)C = 1AC 2BE =DE，/ FBC = Z D.又 AB=AC，/ BCF = Z DBA ./ BCFDBA .FC = BCAB DB又 BD = 2BC，AB = AC，F(xiàn)C BC 1 AC 2BC 21FC = AC.2因此 AF= FC.26.已知：如圖，F(xiàn)是四邊形ABCD對角線AC上一點,EF / BC，F(xiàn)G / AD .求證:AB CD【提示】利用AC= AF + FC.【答案】tEF

33、/ BC，F(xiàn)G / AD，AE =AFCG=CFABAC，CDCAAECGAFCFAC d+ =1ABCDACCAAC27 .如圖，BD、CE分別是 ABC的兩邊上的高，過 D作DG丄BC于G ,分別交CE及BA的延長線于F、H，求證：(1) DG2 = BG CG; ( 2) BG CG= GF GH .H【提示】 【答案】(2 )vB(1 )證厶 BCGDCG; (2)證 RtAHBGsRtA CFG .(1) DG為RtA BCD斜邊上的高，RtA BDGs RtA DCG .，即 DG2= BG CG.DG BGDG 丄 BC，/ ABC +/H = 90，CE丄AB./ ABC +/

34、 ECB = 90./ ABC +/ H = Z ABC + / ECB./ H = Z ECB ./ HGB = Z FGC = 90 ，RtA HBGs RtA CFG .BG GH（五）解答題：28.如圖，（1）（2）GF GCBG GC= GF GH .（每題8分，共24分）/ ABC=Z CDB = 90, AC = a, BC = b.當(dāng)BD與a、b之間滿足怎樣的關(guān)系時， ABCsA CDB ?過A作BD的垂線，與 DB的延長線交于點 己，若厶ABCsA CDB .求證四邊形AEDC為矩形（自己完成圖形）Abb2【提示】利用三角形相似，推出BD =.a/ ABC = Z CDB = 90，BC丄= 時， ABCCDB .BDb【答案】(1 )T當(dāng)些BCBDBDb2ab2即當(dāng) BD =時， ABCCDB.a ABCs CDB，/ AC