直接證明與間接證明練習題

1、2、直接證明與間接證明三種證明方法的定義與步驟：1. 綜合丄是由原因推導到結果的證明方法，它是利用已知條件和某些數(shù)學定 義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立的 證明方法。2. 分析法 是從要證明的結論出發(fā),逐步尋求推證過程中，使每一步結論成立的 充分條件，直到最后，把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件 (已知條 件、定義、公理、定理等)為止的證明方法。3. 反證法 假設原命題的結論不成立,經過正確的推理,最后得出矛盾，由此說明 假設錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的方法叫反證法;它是一種間接的證明方 法.反證法法證明一個命題的一般步驟：(1)假設命題的結論

2、不成立；(2)根據(jù)假設進行推理，直到推理中導出矛盾為止 斷言假設不成立肯定原命題的結論成立題型一：用綜合法證明數(shù)學命題例1 :對于定義域為0,1 的函數(shù)f(x)，如果同時滿足以下三條：對任意的X忘 0,1】，總有 f(x)3 0; f(1 卜 1 若 X1 0,X2 0X1+ X2 f(0) +f(0)= f(0)0，故f (0) =0 .(2)顯然g(x)=2x-1在0 , 1滿足條件g(x)30 ;也滿足條件g(1) =1.若X1二0 , X2二0 , X1 + X2乞1，則g()C X2)- g(X1)+ g(X2) = 2心-1 - -1)+ (2X2 -1)-2X1如2 - 2為-

3、2冷十1 =2 - 1)(2為-1尸0，即滿足條件, 故g(x)理想函數(shù).注：緊扣定義，證明函數(shù)g(x)=2X-1 ( 0,1)滿足三個條件題型二：用分析法證明數(shù)學命題例2:已知：0 ca d，求證:14 C-+9 .a 1 -a證明：0 ca 9，a 1 -a去分母后需要證：(1 - a) +4a 9a (1 a)，移項合并同類項，即需要證：9a2 6a+1 0,2即要證；(3a-1 ) 0 (1)而(1)式顯然成立，原不等式成立。題型三：用反證法證明數(shù)學命題或判斷命題的真假例3 :已知f(X)=aX+于辛刈，證明方程f(X)=0沒有負數(shù)根解析：假設Xo是f(X)=0的負數(shù)根，貝U XoO且

4、XoH-1且aX0 =Xo - 2x。+ 1二1= 0 丈2 1，解得 1X02，這與Xo十1故方程f(x)=0沒有負數(shù)根Xo 0a3 K 則使得都成立的x取值范圍是1A. ( 0，)a,2B (0,-)6C.1(0,-)a3D.2(0,-)a3)，由ai2 2a2 a3得出結論。填空題f(x-x-4 +2x*C1 _f()+ f()+(-1 0 10 0 1 0 1答案：5005.如圖，在平面直角坐標系xoy中，設三角形ABC的頂點分別為A(0,a),B(b,0),C(c,0)，點P (0, p)在線段AO上的一點(異于端點)，這里a,b,c, P均為非零實數(shù)，設直線BP,CP分別與邊AC,

5、 AB交于點E, F ,某同學已正確求得直線OE的方程為+心_丄I =0，請你完成直線OF的 c/ Ip a/11)0lb方程：_(x+f11 ly =0。Ip a丿答案：1-1c b6.將全體正整數(shù)排成一個三角形數(shù)陣:111234 567891012131415按照以上排列的規(guī)律，第門行（n工3）從左向右的第3個數(shù)為2n -n +2答案：20，6解答題7.若 a：b：c：d0 且 a+d=b + c，求證：/d + 島 Jb + Jc解析要證勺心 + Ja+7C，只需證（Td + 7a）2 C （Jb +7C）2即 a+d+27ad b+C+27BC，因 a+d=b + c，只需證4bc 即

6、 ad bc，設 a + d =b +c =t，貝U ad be =(t d)d (t c)c = (c d)(c + d t) y-B， y = Sin x在.(0,)上是增函數(shù)，二 sin A sin( B) ：= cos B同理可得 sinB cosC， sinC cosA二 sin A +sin B +sin C cosA +cosB +cosC9.設 a,b 為非零向量，且a, b不平行,求證a十b，a b不平行解析假=入(a_ b)ba, b不平行，兒110，因方程組無解，故假設不成立，即原命題成立10.已知a、b、c成等差數(shù)列且公差dHO，求證:111-、-、一不可能成等差數(shù)abcb、c成等差數(shù)列， 一成等差數(shù)列，則2 =cb1從而d =0與d h0矛盾，二丄a2b = a + c2 112 2：+ =(a+c) = 4ac = (a - c) =0 , a a = c b a c1 1一、一不可能成等差數(shù)列b c11.已知f(x) =1 nx 證明:f (1 + X) X解析即證：ln(x+ 1)-x0,. k(x)為單調遞增函數(shù); 當x(0,x)時，k (x)0，A k(x)為單調遞減函數(shù); x=0為k(x)的極大值點， k(x) k(0)=0.即 ln(x+ 1)-x0. f (1 +x)CAd:0 且 a+ d =b +c，求證：