三角函數(shù)·函數(shù)的周期性

1、三角函數(shù)函數(shù)的周期性 教學(xué)目標(biāo)1使學(xué)生理解函數(shù)周期性的概念，并運(yùn)用它來判斷一些簡單、常見的三角函數(shù)的周期性2使學(xué)生掌握簡單三角函數(shù)的周期的求法3培養(yǎng)學(xué)生根據(jù)定義進(jìn)行推理的邏輯思維能力，提高學(xué)生的判斷能力和論證能力教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)函數(shù)周期性的概念教學(xué)過程設(shè)計(jì)師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了利用單位圓中的正弦線作正弦函數(shù)的圖象今天我們將利用正弦函數(shù)圖象，研究三角函數(shù)的一個(gè)重要性質(zhì)請同學(xué)們觀察y=sinx，xR的圖象：（老師把圖畫在黑板左上方）師：通過觀察，同學(xué)們有什么發(fā)現(xiàn)？生：正弦函數(shù)的定義域是全體實(shí)數(shù)，值域是-1，1圖象有規(guī)律地不斷重復(fù)出現(xiàn)師：規(guī)律是什么？生：當(dāng)自變量每隔2時(shí)，函數(shù)值都相等師：正弦函數(shù)的這種性

2、質(zhì)叫周期性我們將會(huì)發(fā)現(xiàn)，不但正弦函數(shù)具有這種性質(zhì)，其它的三角函數(shù)和不少的函數(shù)也都具有這樣的性質(zhì)，因此我們就把它作為今天研究的課題：函數(shù)的周期性（老師在黑板左上方寫出課題）師：我們先看函數(shù)周期性的定義（老師板書）定義 對于函數(shù)y=f（x），如果存在一個(gè)不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函數(shù)y=f（x）叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期師：請同學(xué)們逐字逐句的閱讀定義，找出定義中的要點(diǎn)生：首先T是非零常數(shù)，第二是自變量x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)都有f（x+T）=f（x）師：找得準(zhǔn)！那么為什么要這樣規(guī)定呢？師：如果T=0，那么f（x+T）=

3、f（x）恒成立，函數(shù)值當(dāng)然不變，沒有研究價(jià)值；如果T為變數(shù)，就失去了“周期”的意義了“每一個(gè)值”的含義是無一例外師：除這兩條外，定義中還有一個(gè)隱含的條件是什么？生：如果x屬于y=f（x）的定義域，則T+x也應(yīng)屬于此定義域師：對否則f（x+T）就沒有意義師：函數(shù)周期性的定義有什么用途？生：它為我們提供判定函數(shù)是否具有周期性的理論依據(jù)師：下面我們看例題（老師板書）例1 證明y=sinx是周期函數(shù)生：因?yàn)橛烧T導(dǎo)公式有sin（x+2）=sinx所以2是y=sinx是一個(gè)周期故它就是周期函數(shù)例2師：要想判斷T是不是函數(shù)y=f（x）的周期有什么方法？我們現(xiàn)有的理論依據(jù)只有定義，如何使用定義？對于定義域內(nèi)的

4、每一個(gè)x，都有f（x+T）=f（x），而不是有（存在著）某一個(gè)x，使f（x+T）=f（x）成立要想證明T不是周期，只要找到一個(gè)x0，使得f（x0+T）f（x0）即可所以乙是正確的師：分析得好！同學(xué)對概念的學(xué)習(xí)應(yīng)該做到真正能弄清每句話的含義，而不能只停留在字面的意思讀懂了這樣才可能透徹地理解概念，為進(jìn)一步的學(xué)習(xí)打下牢固的基礎(chǔ)例3 已知f（x+T）=f（x）（T0），求證f（x+2T）=f（x）師：此題用文字如何敘述？誰能給予證明？生：若不等于零的常數(shù)T是f（x）的一個(gè)周期，證明2T仍是f（x）的周期因?yàn)門是f（x）的周期，所以f（x+T）=f（x），f（x+T）+T=f（x+T），即f（x+2T

5、）=f（x）因此2T是f（x）的周期師：這個(gè)命題推廣可得到什么結(jié)論？生：如果T是f（x）的周期，那么2T，3T，nT（nZ）也都是f（x）的周期師：這說明如果一個(gè)函數(shù)是周期函數(shù)，所有的周期就構(gòu)成一個(gè)無窮集合這無數(shù)個(gè)周期中，我們有必要研究在它們中間是否存在著最小正周期這是為什么？生甲：如果發(fā)現(xiàn)一個(gè)函數(shù)存在最小正周期，就可以確定這個(gè)函數(shù)的所有周期生乙：更具有實(shí)用性如果找到最小正周期，就可以在其定義域的一個(gè)長度為最小正周期的范圍內(nèi)對函數(shù)進(jìn)行研究師：這位同學(xué)思考問題有一定的深刻性他不但弄清最小正周期的實(shí)質(zhì)，還進(jìn)一步想到我們研究函數(shù)周期性的目的，那就是要研究一個(gè)周期函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)，只要研究它在

6、一個(gè)周期內(nèi)的性質(zhì)，然后經(jīng)過周期延拓即可如果能夠確定最小正周期，可使研究的范圍縮小在最小正周期的范圍內(nèi)這無疑給我們研究周期函數(shù)的性質(zhì)帶來方便（老師在函數(shù)的周期性定義下板書）如果在所有的周期中存在著一個(gè)最小正周期，就把它叫做最小正周期例4 證明f（x）=sinx（xR）的最小正周期是2師：例1證明了y=sinx是周期函數(shù)，并且找到了一個(gè)周期T=2例是2要想證明這個(gè)命題，只要證明什么？生：只要證明任何比2小的正數(shù)都不是它的周期師：如何證？能否逐一證明比2小的正數(shù)都不行呢？當(dāng)然不行因?yàn)楸?小的正數(shù)是無限的那這樣的命題應(yīng)如何證？生：反證法假設(shè)存在T（0，2）使得y=sinx對于任意的xR都成立推出矛盾即

7、可師：你能具體的給予證明嗎？生：假設(shè)T是y=sinx，xR的最小正周期，且0T2，那么根據(jù)周期函數(shù)的定義，當(dāng)x為任意值時(shí)都有sin（x+T）=sinx即cosT=1這與T（0，2）時(shí)，cosT1矛盾這個(gè)矛盾證明了y=sinx，xR的最小正周期是2師：請同學(xué)們在課堂練習(xí)本上證明y=cosx的最小正周期是2師：通過上面的例題和練習(xí)我們得出這樣的結(jié)論，正弦函數(shù)y=sinx（xR）和余弦函數(shù)y=cosx（xR）都是周期函數(shù)，2k（kZ且k0）都是它的周期，最小正周期是2例5 求y=3cosx的周期師：以后求周期如果沒有特殊要求，都求的是最小正周期生：因?yàn)閥=cosx的周期是2，所以y=3cosx的周期

8、也是2師：好好在他能利用我們總結(jié)出的結(jié)論，也就是新知識(shí)歸結(jié)到舊知識(shí)上去你能再具體的證明嗎？生：可以從數(shù)和形兩個(gè)角度來證明解（一） 因?yàn)閷σ磺衳R，3cos（x+2）=3cosx，所以y=3cosx的周期是2解（二） 因?yàn)閥=3cosx圖象是把y=cosx圖象上的每點(diǎn)的橫坐標(biāo)不變，縱坐標(biāo)擴(kuò)大3倍得到的，當(dāng)自變量x（xR）增加到x+2且必須增加到x+2時(shí)，函數(shù)cosx的值才重復(fù)出現(xiàn)，因而函數(shù)3cosx的值也才重復(fù)出現(xiàn)，因此y=3cosx的周期是2師：數(shù)和形是我們研究數(shù)學(xué)問題的兩個(gè)方面，他都想到了，并且能完整的敘述清楚，若把此題推廣，能得到什么結(jié)論？生：y=Asinx，y=Acosx（A0，是常數(shù)）

9、的周期都是2，也就是說函數(shù)周期的變化與系數(shù)A無關(guān)例6 求y=sin2x的周期（請不同解法的三位同學(xué)在黑板上板演）生甲：解 因?yàn)閥=sin（2x2）=sin2x，對于任意xR都成立所以y=sin2x的周期是2生乙：解 因?yàn)閥sin（2x2）sin2（x）sin2x，所以ysin2x的周期是生丁：解 設(shè)2xu，因?yàn)閥sinu的周期是2，所以ysin（u2）=sinu，即sin（2x+2）sin2（x+）sin2x，所以y=sin2x的周期是師：我們一起來分析三個(gè)同學(xué)的解法解法一是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤在對于周期函數(shù)定義中任意x都有f（xT）=f（x）的本質(zhì)沒弄清楚，要證明y=sin2x是周期函數(shù)，應(yīng)證明對于

10、任意xR，都有y=sin2x=sin2（x+T），而不是y=sin2x=sin（2x+T）解法（二），（三）是正確的區(qū)別在于解法（三）經(jīng)過換元，把要研究的新問題ysin2x的周期轉(zhuǎn)化為已有的舊知識(shí)ysinu的周期這種轉(zhuǎn)換的意識(shí)、換元的思想是很重要的師：其實(shí)這個(gè)問題也可以從圖象的變換來考慮我們先看如何由ysinx的圖象得到y(tǒng)sin2x的圖象使y=sinx的圖象上的每點(diǎn)的縱坐標(biāo)當(dāng)自變量每增加2且必須增加2時(shí)，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，現(xiàn)在就是當(dāng)sin2x的周期是師：通過這個(gè)例題我們看到，誰對函數(shù)的周期有影響？是x的系數(shù)有怎樣的影響？帶著這個(gè)問題同學(xué)們做下面的題目例7y2sin（u2）=2sinu，師：通過這

11、個(gè)例題，進(jìn)一步驗(yàn)證了我們的猜想，函數(shù)的周期的變化僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)我們把例7寫成一般式例8 求y=Asin（x+ ）的周期（其中A， 為常數(shù)，且A0，0，xR）解 設(shè)ux 因?yàn)閥sinu的周期是2，所以sin（u2）=sinu，師：這樣就證明了我們的猜想，不但函數(shù)的周期僅與自變量的系數(shù)（老師板書）師：以后再求正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的周期，可由上面的結(jié)論直接寫出它的周期師：（總結(jié)）通過今天的課，同學(xué)們應(yīng)明確以下幾個(gè)問題（一）研究函數(shù)周期的意義是什么？周期函數(shù)是反映現(xiàn)實(shí)世界中具有周期現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型如果能找到函數(shù)的最小正周期T，那么只要在以T為氏度的區(qū)間內(nèi)就可以研究函數(shù)的圖象與性質(zhì)，然后推斷出函數(shù)在

12、整個(gè)定義域的圖象和性質(zhì)這給我們研究函數(shù)帶來了方便（二）對于函數(shù)周期的定義應(yīng)注意：1f（xT）=f（x）是反映周期函數(shù)本質(zhì)屬性的條件對于任意常數(shù)T（T0），如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個(gè)x，使f（xT）f（x）不成立，我們就斷言y=f（x）不是周期函數(shù)對于某個(gè)確定的常救T0如果在函數(shù)定義域中至少能找到一個(gè)x，使f（xT）f（x）不成立我們能斷言T不是函數(shù)y=f（x）的周期，但不能說明yf（x）不是周期函數(shù)2定義中的“每一個(gè)值”是關(guān)鍵詞此函數(shù)對于任意確定的常數(shù)T0，盡管f（xT）=f（x）對函數(shù)定義域（-，+）中幾乎所有x都成立但僅僅由于x的個(gè)別值x=0，x=-T時(shí)，等式不成立因此函數(shù)f（x）不是周期函數(shù)（三）周期函數(shù)的周期與最小正周期的區(qū)別與聯(lián)系1周期函數(shù)的周期一定存在，但最小正周期不一定存在，最小正周期如果存在必定唯一周期函數(shù)的周期有無數(shù)個(gè)如：f（x）=c（常數(shù)），任意非零實(shí)數(shù)都是它的周期，但由于不存在不等于零的最小正實(shí)數(shù)，所以f（x）=c沒有最小正周期這個(gè)例子也同時(shí)說明不是只有三角函數(shù)才具有周期性2周期函數(shù)的最小正周期一定是這個(gè)函數(shù)的周期，反之不然例如，2是y=sinx的最小正周期，也是函數(shù)的周期；4是函數(shù)的周期，但不是最小正周期作業(yè)：課本P178第6題，P132第4題課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明此教學(xué)方案是按照“教師為主導(dǎo)，學(xué)生為主體，課本為主線”的原則而設(shè)計(jì)的教師的主導(dǎo)作用在于激發(fā)