輔導(dǎo)：利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進(jìn)行幾何證明

1、輔導(dǎo)：利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進(jìn)行幾何證明正方形滾動(dòng)一周，就是滾動(dòng)四個(gè)90 角。如圖：滾動(dòng)第一個(gè) 90 時(shí)， a 點(diǎn)所經(jīng)過的路線長是以點(diǎn)c 為圓心、 ac長為半徑的 - 圓周長，此時(shí)a 點(diǎn)滾動(dòng)到了a1 點(diǎn) (d 點(diǎn)滾動(dòng)到了d1點(diǎn) ); 滾動(dòng)第二個(gè) 90 時(shí)，其路線長是以點(diǎn) d1 為圓心、 a1d1長為半徑的 - 圓周長，此時(shí) a1 點(diǎn)滾動(dòng)到了 a2 點(diǎn)的位置 ; 滾動(dòng)第三個(gè) 90 時(shí)，由于以點(diǎn) a2 為圓心，此時(shí) a2 點(diǎn)的位置未變 (b2 點(diǎn)滾動(dòng)到了 b3 點(diǎn)); 滾動(dòng)第四個(gè) 90 時(shí)其長是以點(diǎn) b3 為圓心、b3c3長為半徑的 - 圓周長，此時(shí) a3 點(diǎn)滾動(dòng)到了 a4 點(diǎn)的位置。a 點(diǎn)滾動(dòng)一周經(jīng)

2、過的路線長為：-8-+-8+0+-8=(4-+8)，當(dāng)正方形滾動(dòng)兩周時(shí)，正方形頂點(diǎn)a 所經(jīng)過的路線的長等于(8-+16) 。 思維延伸 2 ：如圖 2，將邊長為 1 的正方形 oapb沿 x 軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn) 2019 次，點(diǎn) p 依次落在 p1、p2、p3、p4p2019的位置，則 p2019 的橫坐標(biāo)為 _。 解析 正方形沿 x 軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn) 4 次正好翻轉(zhuǎn)了一周翻轉(zhuǎn) 2019 次就是翻轉(zhuǎn)了 502 周。從 p 點(diǎn)經(jīng)過的路線可以看出，在每個(gè)周期內(nèi)， p 點(diǎn)相應(yīng)的沿著 x 軸的正方向移動(dòng)了 4個(gè)單位長度正方形 oapb沿 x 軸正方向連續(xù)翻轉(zhuǎn)2019 次后 p點(diǎn)向前移動(dòng)了4502=201

3、9 個(gè)單位長度p 點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-1+2019=2019 。例 6. 如圖 6 所示，已知在 abc 中，acb=90，ac=bc，p 是 abc第 1頁內(nèi)一點(diǎn)，且pa=3， pb=1， pc=2，求 bpc的度數(shù)。 解析 可先將 apc繞點(diǎn) c 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 到 bec的位置，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)知，此時(shí)cpe 是等腰直角三角形，cpe=45，在 bpe中，由勾股定理逆定理可證出bpe=90，由此可求出bpc的度數(shù)。 全解 將 apc繞點(diǎn) c按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90 到 cbe的位置，連結(jié) pe apc bec ec=pc=2， eb=pa=3， cpe是等腰直角三角形pc=2， cpe=45pe

4、=2，-在 bpe中(2 -)2+12=32 ，即 pe2+pb2=be2bpe 為 rt，bpe=90bpc=cpe+bpe=45+90=135 思維延伸1 如圖已知，在等邊三角形abc內(nèi)有一點(diǎn)m，且ma=3， mb=4， mc=5，求等邊三角形abc的面積。 解析 求等邊三角形的面積，關(guān)鍵是求出等邊三角形的邊長。將 amb繞點(diǎn) b 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn) 60 到 cm1b的位置，連結(jié) mm1，過 b 點(diǎn)做 bdcm1交 cm1的延長線于點(diǎn) d, 可得 bmm1 是等邊三角形 mm1=bm1=bm=4，cm1=am=3，bm1m=60，在 mm1c中，可證m1m2+m1c2=mc2mm1c=90

5、，故 bm1c=150bm1d=30。在 rtbm1d中，可求出 bd=2，m1d=2-。在 rtbdc中， bc2=22+(2-+3)2=25+12-sabc=-bc2=-(25+12-)=9+-(單位面積 ) 點(diǎn)評 本題的前半部分與例6 類似，先求出 bm1c=150，再在rtbm1d中，分別求出bd、m1d的長，最后在rtbdc中求第 2頁出 bc2的長，從而求出 abc 的面積。小結(jié)：通過以上例題可以看出：1. 利用旋轉(zhuǎn)的基本性質(zhì)進(jìn)行幾何證明的關(guān)鍵在于如何正確的使用其基本性質(zhì)。如：例 1、例 2、例 3、例 6 都運(yùn)用了旋轉(zhuǎn)前、后的圖形全等的性質(zhì) ; 例 4 運(yùn)用了對應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等以及對應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心