高等數(shù)學(xué)課件 極限和連續(xù)

1、第一講 極限和連續(xù)一、 極限的定義：數(shù)列定義、函數(shù)定義。（略）例1：證明。證明：取，我們有 （1） 因?yàn)?，所以由夾逼準(zhǔn)則可得。 對任取的，當(dāng)充分小時(shí)，由（1）可得可以成立，又因?yàn)椋源嬖?，?dāng)有 此時(shí)有 由此可得。二、 極限的計(jì)算方法：1）代入法（利用函數(shù)的連續(xù)性）；2）單調(diào)有界準(zhǔn)則和夾逼準(zhǔn)則；3）兩個(gè)重要極限：；4）極限的四則運(yùn)算法則；5）有界量與無窮小的積還是無窮??；6）等價(jià)無窮小的替換：時(shí)， ；7）復(fù)合函數(shù)求極限法則：條件，則有 ；8）洛必達(dá)法則；9）利用泰勒公式求極限；10）利用定積分的定義計(jì)算極限；11）利用級數(shù)的一些結(jié)果計(jì)算極限；12）海涅歸結(jié)原則：（利用它可以把一些數(shù)列問題化為函

2、數(shù)極限問題）；定理1：1、函數(shù)極限的充要條件是：對任何數(shù)列，若，則有；2、函數(shù)極限的充要條件是：對任何數(shù)列，若，則有。13）施托爾茨（Stolz）定理（數(shù)列極限的洛必達(dá)法則）；定理2：設(shè)數(shù)列單調(diào)增加且，如果存在或?yàn)?，則有 。證明：設(shè)，則對任給的，存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)恒有 由于數(shù)列單調(diào)增加，所以有 由此可得 又因?yàn)?由于，所以存在，當(dāng)時(shí)有，并且有，所以當(dāng)時(shí)有 由此即得。的情形類似證明。例2：證明極限的平均值定理 1、設(shè)存在或?yàn)?，則有； 2、設(shè)，且存在或?yàn)?，則有 證明：利用施托爾茨定理證明 1、 2、因?yàn)?，所?。例3：設(shè)，證明數(shù)列收斂于。證明：由極限與無窮小的關(guān)系，存在數(shù)列且有，使得， 由例1可得，

3、由可得數(shù)列有界，即存在有；由可得，再由例1得，由于 所以有再利用極限與無窮的關(guān)系得。例4：設(shè)數(shù)列有界，對任給的總有，證明存在。證明：由于及有界，由單調(diào)有界準(zhǔn)則，數(shù)列收斂，再由及有界可得數(shù)列是收斂的。又因?yàn)榉謩e是的子列，分別是的子列，所以，即有存在。例5：設(shè)，數(shù)列，證明極限。證明：考慮函數(shù)，可得。當(dāng)時(shí)，即函數(shù)是單調(diào)遞減的，所以當(dāng)時(shí)有 又因?yàn)闀r(shí)有，由即可得 ， 由單調(diào)有界準(zhǔn)則存在，無妨設(shè)，則有 例6：設(shè)，求極限。解：由可得 所以有。例7：設(shè)是正數(shù)，它們的和為1。定義數(shù)列 證明：當(dāng)時(shí)，三個(gè)數(shù)列的極限都存在，并求出極限。證明：因?yàn)?，所以我們?（1） 由此可得數(shù)列都是有界數(shù)列，設(shè)的最大值與最小值分別為

4、，則數(shù)列也是有界數(shù)列，又因?yàn)?所以有，由單調(diào)有界準(zhǔn)則存在。由于 同理可得，因此有 再根據(jù)可得。因?yàn)?由夾逼準(zhǔn)則可得，利用（1）可得 例8：證明數(shù)列收斂，并求其極限。解：設(shè)此數(shù)列為，則有，容易看出，如果極限存在設(shè)，則有 由于有一個(gè)實(shí)根在3和4之間，所以有。考慮函數(shù)， 利用拉格朗日中值定理 其中在之間，由此我們有 由夾逼準(zhǔn)則得。三、 連續(xù)函數(shù)及其性質(zhì)1）閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：最大值最小值定理；零點(diǎn)定理；介值定理。2）一致收斂與一致連續(xù)定義1：對于函數(shù)列和常數(shù)，如果對任給的，存在，當(dāng)時(shí)，對于任意的恒有 則稱在上一致收斂于。定義2：對于函數(shù)，如果對任給的，存在，對于任意的，當(dāng)時(shí)恒有 則稱在上一致連續(xù)。例9：設(shè)在上連續(xù)，且，對于任給的恒有 證明：。證明：由于或，如果則有，這與已知矛盾，所以。對于任意正有理數(shù)為正整數(shù)有 若是負(fù)有理數(shù)，則如果是無理數(shù)，則存在有理數(shù)列使得 例10：設(shè)在閉區(qū)間上連續(xù)，。證明：對于任給的正整數(shù)，總存在使得。證明：對于任給的正整數(shù)，因?yàn)?，所?如果存在，則取即可；如果，則一定存在 無妨設(shè)，函數(shù)在上連續(xù)，且，由零點(diǎn)定理可得，存在有，即 例11：計(jì)算極限。解：設(shè)，則原式 。四、 練習(xí)題1）設(shè)是正整數(shù)，計(jì)算。2）設(shè)，證明數(shù)列極限都存在且相等。3）求極限。4）某短跑選手再一次百米賽跑時(shí)的成績剛好是10秒，有人