根軌跡繪制的基本原則.ppt

1、4-2 繪制根軌跡的基本法則,法則1. 根軌跡起源于開環(huán)極點(diǎn)，終于開環(huán)零點(diǎn),下面分三種情況討論： 1m=n,即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)與極點(diǎn)數(shù)相同時(shí)，根軌跡的起點(diǎn)與終點(diǎn)均有確定的值。 2mn，即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)小于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有m條根軌跡終止于開環(huán)零點(diǎn)(稱為有限零點(diǎn))外，還有n-m條根軌跡終止于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限零點(diǎn))。 3mn,即開環(huán)零點(diǎn)數(shù)大于開環(huán)極點(diǎn)數(shù)時(shí)，除有n條根軌跡起始于開環(huán)極點(diǎn)(稱為有限極點(diǎn))外，還有m-n條根軌跡起始于無窮遠(yuǎn)點(diǎn)(稱為無限極點(diǎn))。 這種情況在實(shí)際物理系統(tǒng)中不會(huì)出現(xiàn)，但在參數(shù)根軌跡中，有可能出現(xiàn)在等效開環(huán)傳遞函數(shù)中,法則2. 根軌跡的分支數(shù)、對(duì)稱性和連續(xù)性： 根軌跡的分支數(shù)與開環(huán)有限零

2、點(diǎn)數(shù) m、開環(huán)有限極點(diǎn)數(shù) n 中的大者相等，連續(xù)并對(duì)稱于實(shí)軸,法則3. 當(dāng)nm時(shí)，有n-m條根軌跡分支沿著與實(shí)軸交角為 , 交點(diǎn)為 的一組漸近線趨向無窮遠(yuǎn)處。根軌跡的漸進(jìn)線可由下式而定,交 點(diǎn),交 角,例： 已知： 試由已知規(guī)則，確定根軌跡的相關(guān)數(shù)據(jù)。 解：按根軌跡繪制的規(guī)則： 規(guī)則1，3個(gè)極點(diǎn)也是起點(diǎn)：0，-1，-2； 無零點(diǎn)，則終點(diǎn)為無限零點(diǎn)：，。 規(guī)則2，分支數(shù)： n=3m=0，有3條根軌跡，對(duì)稱于實(shí)軸。 規(guī)則3，漸近線：因?yàn)楸鞠到y(tǒng)中， ，所以共有 n-m=3漸近線。 漸近線的傾角： 取k0，1，2，得到,漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn),三條紅色線為漸近線,實(shí)軸上的根軌跡,法則4 . 實(shí)軸上的某一區(qū)

3、段，若其右邊開環(huán)實(shí)數(shù)零點(diǎn)、極點(diǎn)個(gè)數(shù)之和為奇數(shù)，該區(qū)段必是條完整的根軌跡分支或是某條根軌跡分支的一部分,證明：例如在實(shí)軸上有兩個(gè)開環(huán)極點(diǎn)p1、p2， 復(fù)平面上有一對(duì)共軛極點(diǎn)p3、 p4和一對(duì)共軛零 點(diǎn)z1、 z2 。有3個(gè)試驗(yàn)點(diǎn)S1、S2、S3 先看試驗(yàn)點(diǎn)s1點(diǎn)，因?yàn)楦壽E應(yīng)滿足相角條件,1)成對(duì)出現(xiàn)的共軛極點(diǎn)p3、 p4和共軛零點(diǎn)z1、 z2對(duì)實(shí)軸上任意試探點(diǎn)構(gòu)成的兩個(gè)向量的相角之和為0,所以s1點(diǎn)滿足根軌跡相角條件， 而且S1點(diǎn)一直可以左移到P2處， 于是p2 ,p1為實(shí)軸上的根軌跡,2）試探點(diǎn)左邊的極點(diǎn)p2對(duì)試探點(diǎn)構(gòu) 成的向量的相角為0,3）試探點(diǎn)右邊的極點(diǎn)p1對(duì)試探點(diǎn) 構(gòu)成向量的相角為1

4、80,再看s2點(diǎn)：不滿足根軌跡相角條件，所以不是根軌跡上的點(diǎn),同樣s3點(diǎn)也不是根軌跡上的點(diǎn),例設(shè)系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為： 試求實(shí)軸上的根軌跡,解：零極點(diǎn)分布如下,紅線所示為實(shí)軸上根軌跡，為：-10，-5和-2，-1 。 注意在原點(diǎn)有兩個(gè)極點(diǎn)，雙重極點(diǎn)用“ ”表示,法則5. 兩條或兩條以上根軌跡分支在s平面上相遇又立即分開的點(diǎn)根軌跡的分離點(diǎn)， 分離點(diǎn)的坐標(biāo)d 是下列方程的解,實(shí)軸上的分離點(diǎn)有以下兩個(gè)特點(diǎn)： (1) 若實(shí)軸上兩個(gè)相鄰極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰零點(diǎn)之間的區(qū)段有根軌跡, 則這兩相鄰點(diǎn)之間必有一個(gè)分離點(diǎn)。這兩個(gè)相鄰的極點(diǎn)或兩個(gè)相鄰的零點(diǎn)中有一個(gè)可以是無限極點(diǎn)或零點(diǎn)。 （2）如果實(shí)軸上開環(huán)零點(diǎn)與開環(huán)極點(diǎn)

5、之間有根軌跡，則此區(qū)段上要么沒有分離點(diǎn), 如有, 則不止一個(gè),分離角：在分離點(diǎn)上，根軌跡的切線和實(shí)軸的夾角稱為分離角 。 與相分離的根軌跡的支數(shù)k有關(guān),例. 設(shè)系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖，試?yán)L制其概略根軌跡,解：畫出 s 面上的開環(huán)零點(diǎn)（-1），極點(diǎn)（0，-2，-3,1). 實(shí)軸上 -3，-2，-1，0 是根軌跡,2). 根軌跡有三條分支，分別始于0，-2，-3； 終于-1和兩個(gè)無限零點(diǎn),有兩條漸近線,3). 實(shí)軸上 -3，-2 內(nèi)有一分離點(diǎn) d,所以分離點(diǎn)為：d -2.47,該方程可化為 d34 d2 +5 d +3=0 其根為： -2.4656，-0.7672 j 0.7926,按上述法則畫出如右根軌跡

6、圖,例. 設(shè)單位反饋系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,試?yán)L制閉環(huán)系統(tǒng)根軌跡,解,在 s 平面上開環(huán)極點(diǎn)有兩個(gè)：-1j，開環(huán)零點(diǎn)-2,1). 實(shí)軸( ，-2為根軌跡,2). 根軌跡有兩條分支，始于-1+j和-1-j終于-2和,3). 在( ，-2上有一分離點(diǎn),作出該系統(tǒng)的根軌跡如下圖所示,2,1+j,1-j,3.414,復(fù)數(shù)根軌跡圖在復(fù)平面上是圓的一部分,實(shí)際上，在有兩個(gè)極點(diǎn)（實(shí)數(shù)極點(diǎn)和復(fù)數(shù)極點(diǎn)）和一個(gè)有限零點(diǎn)組成的開環(huán)系統(tǒng)中，只要有限零點(diǎn)沒有位于兩個(gè)實(shí)數(shù)極點(diǎn)之間，當(dāng)系數(shù)K*從零變到無窮時(shí)，閉環(huán)根軌跡的復(fù)數(shù)部分，就是以有限零點(diǎn)為圓心，以有限零點(diǎn)到分離點(diǎn)的距離為半徑的一個(gè)圓，或圓的一部分,法則6：根軌跡的起始角

7、與終止角： 根軌跡離開開環(huán)復(fù)數(shù)極點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為起始角； 根軌跡進(jìn)入復(fù)數(shù)零點(diǎn)處的切線與正實(shí)軸的夾角，稱為終止角,1. 起始角,其中： 為零點(diǎn)到此極點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角， 為極點(diǎn)到此極點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角,2. 終止角,其中： 為零點(diǎn)到此零點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角， 為極點(diǎn)到此零點(diǎn)連線與正實(shí)軸的夾角,例如圖，試確定根軌跡離開復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)的起始角,解,例.設(shè)系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)為,解：開環(huán)零點(diǎn)為-1.5，-2+j，-2-j 開環(huán)極點(diǎn)為 0，-2.5，-0.5+j1.5，-0.5-j1.5,1). 實(shí)軸上(-，-2.5，-1.5，0為根軌跡,2). 根軌跡有4條分支： 始于0，-2.5， -0

8、.5+j1.5，-0.5-j1.5； 終于-1.5，-，-2+j，-2-j,3). 無分離點(diǎn),法則7.根軌跡與虛軸的交點(diǎn),若根軌跡與虛軸相交，則交點(diǎn)上的K*值和 可用勞斯判據(jù)確定，也可令閉環(huán)特征方程中的s=j，然后分別令其實(shí)部和虛部為零而求得,例. 系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試?yán)L制概略根軌跡圖 解：開環(huán)極點(diǎn)：0、-3、-1+j、-1-j 開環(huán)零點(diǎn)：4個(gè)無限零點(diǎn) (1) 實(shí)軸上的根軌跡：0，-3 區(qū)間。 (2) 漸近線：應(yīng)有 n-m=4-0=4 條漸近線。 漸近線的傾角： 漸近線與實(shí)軸的交點(diǎn),3)分離點(diǎn)： 可求得 (4) 極點(diǎn)-p3的起始角：不難求得極點(diǎn)-p1、 -p2、 -p4到-p3的 幅角分別

9、 、 、 . 所以 同理不難求得極點(diǎn)-p4處的起始角： 終止角在無窮遠(yuǎn)處。 (5) 根軌跡與虛軸的交點(diǎn)： 方法一：由特征方程求 特征方程,實(shí)部方程： 虛部方程： 解得,舍去,得,方法二：由勞斯陣列求： 由特征方程 列出勞斯陣列 令s1行首項(xiàng)為零，即 求K1 =8.16得，再根據(jù)行s2系數(shù)得到輔助方程,令,方法一：閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為,將 代入得,例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，試求根軌跡與虛軸的交點(diǎn)和,當(dāng) 時(shí)， 為根軌跡的起點(diǎn)（開環(huán)極點(diǎn),當(dāng) 時(shí)， ，即根軌跡與虛軸的交點(diǎn)為,方法二：用勞斯穩(wěn)定判據(jù)確定 的值,勞斯陣列為,勞斯陣列中某一行全為零時(shí)，特征方程可出現(xiàn)共軛虛根。勞斯陣列中可能全為零的行有二,共軛虛

10、根為輔助方程 的根,1、令 ，得臨界增益為,2、令 ，得 （開環(huán)極點(diǎn),當(dāng)n-m=2時(shí)， ，即,根據(jù)上述8個(gè)規(guī)則，可以大致畫出根軌跡的形狀,規(guī)則8 極點(diǎn)之和,根軌跡作圖步驟,一、標(biāo)注開環(huán)極點(diǎn)和零點(diǎn)，縱橫坐標(biāo)用相同的比例尺； 二、實(shí)軸上的根軌跡； 三、n-m條漸近線； 四、根軌跡的出射角、入射角； 五、根軌跡與虛軸的交點(diǎn)； 六、根軌跡的分離點(diǎn)、會(huì)合點(diǎn)； 結(jié)合根軌跡的連續(xù)性、對(duì)稱性、根軌跡的支數(shù)、起始點(diǎn)和終點(diǎn)，閉環(huán)極點(diǎn)與閉環(huán)極點(diǎn)之和等性質(zhì)畫出根軌跡,漸近線,例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡,出射角,求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為,解： 求出開環(huán)零極點(diǎn)，即,實(shí)軸上的根軌跡：(，0,將 代入得,求分離會(huì)合點(diǎn)：由特征方程,由圖知這兩點(diǎn)并不在根軌跡上，所以并非分離會(huì)合點(diǎn)，這也可將 代入得 為復(fù)數(shù),漸近線,例開環(huán)傳遞函數(shù)為： ，畫根軌跡,出射角,求與虛軸的交點(diǎn)，此時(shí)特征方程為,解：求出開環(huán)零極點(diǎn)，即,實(shí)軸上的根軌跡：