直線的參數(shù)方程的幾何意義

1、 課 題直線的參數(shù)方程的幾何意義教學(xué)目標(biāo)要 求與直線的參數(shù)方程有關(guān)的典型例題教學(xué)重難點(diǎn)分 析與直線的參數(shù)方程有關(guān)的典型例題教 學(xué) 過(guò) 程知識(shí)要點(diǎn)概述 過(guò)定點(diǎn)、傾斜角為的直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），其中t表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)M（x，y）為終點(diǎn)的有向線段的數(shù)量，的幾何意義是直線上點(diǎn)到M的距離.此時(shí),若t0,則的方向向上;若t0,則的方向向上;當(dāng)t0,則的方向向下,所以A,B中點(diǎn)的M所對(duì)應(yīng)的t的值等于,這與二點(diǎn)之點(diǎn)的中點(diǎn)坐標(biāo)有點(diǎn)相同.例2已知雙曲線 ，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問(wèn)題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t

2、1 +t2=0。解：設(shè)M(x0，y0)為軌跡上任一點(diǎn)，則直線P1P2的方程是(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由題意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直線P1P2的斜率 ，點(diǎn)P（2，1）在直線P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。五,求點(diǎn)的軌跡問(wèn)題例1已知雙曲線 ，過(guò)點(diǎn)P（2，1）的直線交雙曲線于P1，P2，求線段P1P2的中點(diǎn)M的軌跡方程。分析：中點(diǎn)問(wèn)題與弦長(zhǎng)有關(guān)，考慮用直線的參數(shù)方程，并注意有t1 +t2=0。解：設(shè)M(x0，y0)為軌

3、跡上任一點(diǎn)，則直線P1P2的方程是(t是參數(shù))，代入雙曲線方程得：(2cos2 sin2) t2 +2(2x0cos y0sin)t + (2x02 y02 2) = 0，由題意t1 +t2=0，即2x0cos y0sin =0，得。又直線P1P2的斜率 ，點(diǎn)P（2，1）在直線P1P2上，即2x2 y2 4x +y = 0為所求的軌跡的方程。六、求定點(diǎn)到動(dòng)點(diǎn)的距離例1直線l過(guò)點(diǎn)P(1，2)，其參數(shù)方程為(t是參數(shù))，直線l與直線 2x +y 2 =0 交于點(diǎn)Q，求PQ。解：將直線l的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，代入 2x +y 2 =0得 t = ， PQ = | t| = 。點(diǎn)評(píng)：題目給出的直線的參數(shù)

4、并不是位移，直接求解容易出錯(cuò)，一般要將方程改成以位移為參數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)形式。例2經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(1，2)，傾斜角為 的直線 l與圓 x2 +y2 = 9相交于A，B兩點(diǎn)，求PA +PB和PA PB的值。解：直線l的方程可寫成，代入圓的方程整理得：t2 +t4=0，設(shè)點(diǎn)A，B對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別是t1 ，t2，則t1 +t2 = ，t1 t2 = 4，由t1 與t2的符號(hào)相反知PA +PB = |t1| +|t2| = | t1 t2| = = 3，PA PB =| t1 t2 | = 4。點(diǎn)評(píng)：解決本題的關(guān)鍵一是正確寫出直線的參數(shù)，二是注意兩個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)的符號(hào)的異同。七、求直線與曲線相交弦的長(zhǎng)例1已知拋物線y

5、2 = 2px，過(guò)焦點(diǎn)F作傾斜角為的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，求證：。分析：弦長(zhǎng)AB = |t1 t2|。解：由條件可設(shè)AB的方程為(t是參數(shù))，代入拋物線方程，得 t2 sin2 2pt cos p2 = 0，由韋達(dá)定理：， AB = |t1 t2| = = = 。例2已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，過(guò)橢圓左焦點(diǎn)F且傾斜角為60的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，若FA =2FB，求則橢圓的離心率。分析：FA =2FB轉(zhuǎn)化成直線參數(shù)方程中的 t1= 2t2或|t1| =2|t2|。解：設(shè)橢圓方程為 ，左焦點(diǎn)F1（c，0），直線AB的方程為，代入橢圓整理可得：(b2 +a2)t2 b2ct b4 =

6、 0，由于t1= 2t2，則，22+得：，將b2 =a2 c2代入，8 c2 = 3 a2 + a2 c2，得 ，故e = 。在研究線段的長(zhǎng)度或線段與線段之間的關(guān)系時(shí)，往往要正確寫出直線的參數(shù)方程，利用 t 的幾何意義，結(jié)合一些定理和公式來(lái)解決問(wèn)題，這是直線參數(shù)的主要用途；通過(guò)直線參數(shù)方程將直線上動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)用同一參變量 t 來(lái)表示，可以將二元問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一元問(wèn)題來(lái)求解，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想。知識(shí)鞏固訓(xùn)練應(yīng)用一：求距離例1、直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，且與圓相交于A、B兩點(diǎn)。（1）求弦長(zhǎng)AB.（2）求和的長(zhǎng)。應(yīng)用二：求點(diǎn)的坐標(biāo)例2、直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，求出直線上與點(diǎn)相距為4的點(diǎn)的坐標(biāo)。應(yīng)用三：

7、解決有關(guān)弦的中點(diǎn)問(wèn)題例3、過(guò)點(diǎn)，傾斜角為的直線和拋物線相交于A、B兩點(diǎn)，求線段AB的中點(diǎn)M點(diǎn)的坐標(biāo)。教師課后小結(jié)簽字教學(xué)主任： 教學(xué)組長(zhǎng)： 學(xué)生/家長(zhǎng)： 解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，即，（t為參數(shù)），代入圓方程，得，整理得（1）設(shè)A、B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為，所以，所以（2）解方程得，所以，解：因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，即，（t為參數(shù)）， （1）設(shè)直線上與已知點(diǎn)相距為4的點(diǎn)為M點(diǎn)，且M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為t，則，所以，將t的值代入（1）式，當(dāng)t4時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)t4時(shí)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為，綜上，所求M點(diǎn)的坐標(biāo)為或. 點(diǎn)評(píng)：若使用直線的普通方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩，而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t的幾何意義求M點(diǎn)的坐標(biāo)較容易。解：直線過(guò)點(diǎn)，傾斜角為，所以直線的參數(shù)方程為，（t為參數(shù)），因?yàn)橹本€和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程中，得：，整理得，設(shè)這個(gè)二次