大連理工大學信號17_小波分析【稻香書屋】

1、第17章 小波分析基礎,大連理工大學碩士研究生校管課程 信號處理與數(shù)據(jù)分析,電子信息與電氣工程學部 邱天爽 2013年12月,1,學習幻燈,17.1 預備知識,2,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,3,幾個量的說明 表示實數(shù)全體； 表示復數(shù)全體； 表示自然數(shù)全體； 表示整數(shù)全體； 表示實數(shù)或復數(shù)域。 空間的概念 把具有某種性質的元素的集合或具有某種性質的元素組成的一個類稱為空間,3,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,4,距離空間 設 是一個非空集，稱 為距離或空間，是指在 上定義一個雙變量實值函數(shù) ，并滿足以下條件： 且 ，當且僅當 【歐氏空間,4,學習幻燈,2021/3/7,

2、大連理工大學,5,酉空間 】 【連續(xù)函數(shù)空間 】 是區(qū)間 上的連續(xù)函數(shù)的全體,5,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,6,線性賦范空間 設 為數(shù)域 上的非空集合，若在 中規(guī)定了線性運算，并滿足結合律和分配律，則 為 域上的線性空間。 滿足以下條件： 稱 為 的范數(shù)。按范數(shù)構成線性賦范空間,6,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,7,內積空間 設 為數(shù)域 上的線性空間，若對所有 ，則存在 中唯一確定的數(shù)與之對應，記為 ，滿足： 則稱 是 與 的內積。引入了內積的線性空間，稱為內積空間,7,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,8,Hilbert空間 一個完備的內積空間稱為Hilb

3、ert空間。 Hilbert空間的一個典型例子是平方可積空間 。 另一個Hilbert空間是平方可和空間 。 是有限維Hilbert空間。 Banach空間 Banach空間是完備的賦范線性空間，是Hilbert空間的推廣，其范數(shù)不一定是由內積來唯一決定的,8,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,9,17.2 小波分析原理,9,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,10,引言 人類思維的發(fā)展：從平靜中找變化；從變化中找規(guī)律；由規(guī)律預測未來。 人類思維是非線性的，不是對表面現(xiàn)象的簡單反映，而是透過現(xiàn)象看本質，從雜亂無章中找出規(guī)律。 小波（wavelet）分析： 是宏觀定量描述思維過程的

4、工具； 是求解非線性系統(tǒng)的有力工具； 是一種局部時頻分析方法,10,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,11,小波分析的由來 小波分析是在傅里葉分析和加窗傅里葉分析的基礎上發(fā)展起來的。 傅里葉分析：1822年，傅里葉的巨著“The Analysis Theory of Heat”出版，解決了困擾科學家150年的牛頓微分方程，使得傅里葉分析成為幾乎每個研究領域樂于使用的工具。 傅里葉分析的主要任務： 用數(shù)學語言提出：任何一個周期函數(shù)都能表示成一組正弦和余弦函數(shù)之和，稱為傅里葉級數(shù)。其實質是將函數(shù)投影在正弦余弦的正交基上。 解釋了這一理論的有用性，對周期/非周期性信號均可,11,學習幻燈,2

5、021/3/7,大連理工大學,12,傅里葉分析的解釋 在信號分析中，傅里葉變換將時間信號變換為頻譜； 在光學技術中，傅里葉變換將混合光信號分解為光譜,12,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,13,傅里葉變換的缺點和局限性 是一種全局變換，無法表示信號的時頻局部特性 沒有反映隨時間變化的頻率； 在平方可積以外的空間，變換系數(shù)不能刻畫信號所在的空間； 為了從信號函數(shù)中提取信息頻譜，需要無限的時間長度； 對于高頻信息，時窗要窄，對于低頻信息，時窗要寬。即需要一個靈活可變的時間頻率窗； 對非線性非平穩(wěn)問題力不從心,13,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,14,加窗傅里葉變換（短時傅里葉

6、變換和Gabor變換） 以固定寬度的滑動窗對信號進行分析，假定非平穩(wěn)信號在窗函數(shù)范圍內是近似平穩(wěn)的，計算出不同時段的功率譜。 表征出信號的局部頻譜特性。 對于改善傅里葉變換的性質起到一定的作用； 但其窗屬于固定窗，沒有很好解決T-F局部化問題,14,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,15,小波分析的概念與意義 小波分析提供了一種自適應的時域與頻域同時局部化的分析方法。 無論分析低頻還是高頻局部信號，它都能自動調節(jié)時頻窗，以適應實際分析的需求。 它可以聚焦到信號時段和頻段的任意細節(jié)。很適合探測正常信號中夾帶的瞬態(tài)反?，F(xiàn)象，并展示其成分。 稱為時頻分析顯微鏡,15,學習幻燈,2021/3/

7、7,大連理工大學,16,小波分析的發(fā)展 1910年，Haar提出了最早的小波規(guī)范正交基，但未體現(xiàn)“小波”這個術語； 1981年，Morlet在Gabor變換的基礎上，首次提出“小波分析”的概念，建立了Morlet小波； 后來，Morlet（工程師），Balian（物理學家），Grossmann（理論物理學家），Meyer（數(shù)學家）等人聯(lián)合研究； 最后，Mallat，Daubechies，Chui等人進一步研究發(fā)展，奠定了小波分析的基礎,16,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,17,波與小波 Bookbooklet；Wavewavelet 所謂“小波”就是“一段小的波”。說它“小”，是因

8、為它是有限時寬的。說它是“波”，因為它是振蕩的，并且衰減很快,17,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,18,小波分析的基本思想 小波變換的理論是近年來興起的新的數(shù)學分支，它是傅立葉變換之后又一里程碑式的發(fā)展，解決了很多傅立葉變換不能解決的難題。 傅立葉變換不能較好地解決突變信號與非平穩(wěn)信號的問題。 小波變換是空間（時間）和頻率的局部變換。 與傅立葉變換一樣，小波變換的基本思想是將信號展開成一族基函數(shù)的加權和，即用一族函數(shù)來表示或逼近信號或函數(shù)。這一族函數(shù)是通過基本函數(shù)的平移和伸縮構成的,18,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,19,連續(xù)小波變換（CWT）的定義 基本小波（母小波

9、） 設 為平方可積函數(shù)，若其傅里葉變換 滿足： 則稱 為一個基本小波，又稱為小波基函數(shù)，或小波核函數(shù)，或母小波。 上式稱為小波函數(shù)的允許條件， 還需滿足約束條件： 表明 需為振蕩波形，且應選擇快速衰減的短波形,19,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,20,連續(xù)小波變換（CWT）的定義 將基本小波伸縮、平移后，得到一個小波序列： 對于任意平方可積信號 ，其連續(xù)小波變換定義為： 其中： 分別稱為尺度參數(shù)和平移參數(shù)。小波 是母小波 經過時間平移b和尺度伸縮a變換而來的。母小波又稱為基本小波，或小波基函數(shù)。 a1使基函數(shù)展寬，即窗口的時寬增大；a1使基函數(shù)壓縮，即窗口的時寬減小。 a 的大小改

10、變，小波變換的時間分辨率和頻率分辨率都改變了,20,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,21,加窗傅里葉變換與小波變換的比較,加窗傅里葉變換的基函數(shù),小波變換的基函數(shù),21,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,22,加窗傅里葉變換與小波變換的比較,加窗傅里葉變換的時頻平面,小波變換的時頻平面,22,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,23,說明： 三個小波函數(shù)的頻帶范圍分別為10 20、20 40、40 80，帶寬分別是10Hz、20Hz、40Hz。 它們在時頻平面的網格如上頁圖所示，可見小波變換在時頻平面的不同位置具有不同的時頻分辨率，即多分辨率分析能力。 從時頻平面的網格

11、劃分看，較大的尺度參數(shù)a對應于低頻端，頻率分辨率較高，時間分辨率較低；較小的尺度參數(shù)a對應于高頻端，頻率分辨率較低，而時間分辨率較高。 可見由基小波 生成的小波 在小波變換中起著對被分析信號加窗的作用。該窗在時頻平面上隨位置不同，時寬和頻寬相應改變,23,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,24,小波基函數(shù)滿足三個基本要求： （1）能夠完成對一般函數(shù)（信號）進行小波級數(shù)展開。 （2）具有良好的時頻聚集性，即小波的大部分能量聚集在一個有限區(qū)間內。理想情況下，小波基函數(shù)在該區(qū)間外的能量為零。 （3）為了便于計算機實現(xiàn)，由該小波作為基函數(shù)的小波變換，應該有快速算法,24,學習幻燈,2021/3

12、/7,大連理工大學,25,如何選擇和構造小波基函數(shù)： 怎樣構造和選擇小波基函數(shù)呢？這是小波分析的重要內容之一，而且跟被分析信號有關。 構造適合特定應用的小波基函數(shù)不僅需要較深的理論基礎還需要較多的研究經驗。 對于一般的應用者或初學者來說，采用經典小波基函數(shù)就可以了。 常見的經典小波基有：Haar小波，高斯小波，墨西哥草帽小波，Gabor小波等。它們的表達式和波形分別如下,25,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,26,常用的小波基函數(shù),Haar小波 高斯小波 墨西哥草帽小波 一個Gabor小波的實部,26,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,27,常用小波基函數(shù)的數(shù)學描述： Har

13、r小波 高斯小波 墨西哥草帽小波 Gabor小波,27,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,28,小波變換的時頻分析窗： 小波變換的時頻分析窗： 窗口中心為： 時窗和頻窗寬分別為： 和 其中， 是母小波函數(shù) 的半時寬， 是 的半頻寬。 僅影響窗口的水平位置， 影響頻率軸位置和形狀,28,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,29,時頻分析窗特點： 小波變換對不同頻率在時域上的取樣是調節(jié)性的。 在低頻時，小波變換的時間分辨率較差，頻率分辨率較高； 在高頻時，小波變換的時間分辨率較高，而頻率分辨率較低。 這正符合低頻信號變化緩慢而高頻信號變化迅速的特點。 這就是小波變換優(yōu)于經典傅里葉變換

14、的地方。即具有更好的時頻分析窗,29,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,30,小波的容許條件 積分為0： 能量為1,30,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,31,連續(xù)小波變換的性質 疊加性：一個多分量信號的小波變換等于各個分量小波變換之和。 時移不變性：若 的小波變換為 ，則 的小波變換為 。 伸縮共變性：若 的小波變換為 ，則 的小波變換為 ，其中 。 自相似性：對應不同的尺度參數(shù) ，和不同的平移參數(shù) 的連續(xù)小波變換之間是自相似的。 冗余性：連續(xù)小波變換中存在信息表述的冗余性,31,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,32,離散小波變換 小波變換的離散化主要指對尺度參數(shù)

15、和平移參數(shù)的離散化。 考慮連續(xù)小波函數(shù) 將其中的 參數(shù)離散化為： 所對應的離散小波變換定義為： 離散化小波系數(shù)寫為： 重構公式,32,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,33,二進小波變換 二進小波： 利用二進小波對信號進行小波變換，得到 二進小波只對尺度參數(shù)進行了離散化，平移參量未變，不影響時域上的平移不變性。 二進小波對信號的分析有變焦距的作用。假定有以放大倍數(shù)為 ，為了看到進一步的細節(jié)，需要增加放大倍數(shù)，減小 值；反之，若想了解更粗的內容，則需加大 值。在這個意義上，小波變換被稱為數(shù)學顯微鏡,33,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,34,正交小波 若離散小波族 滿足正交條件

16、，即 則稱 為正交小波,34,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,35,多分辨分析 基本思想：非平穩(wěn)信號的統(tǒng)計特征是隨時間變化的，這種變化可分為慢變部分 （稱為信號的粗節(jié)）和快變部分 （稱為信號的細節(jié)）。 粗節(jié)對應信號的低頻部分，代表其主體輪廓；細節(jié)對應于信號的高頻部分。 對信號的粗節(jié)，可以再進一步分為粗節(jié) 和細節(jié) 。如此重復，如下圖所示。 沿著相反的方向，可逐步重構出原信號，原信號表示為 。這就是Mallat提出的塔式分解與塔式綜合算法,35,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,36,多分辨分析的圖示,36,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,37,信號的分解方法 怎樣才能

17、把信號分解成粗節(jié)和細節(jié)呢？ 由兩個濾波器來完成，一個進行粗節(jié)分解，歸一化頻帶為0 0.5，另一個進行細節(jié)分解，歸一化頻帶為0.5 1。 這兩個濾波器稱為濾波器組。于是小波分解和重構的問題變成，如何設計合適的濾波器組,37,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,38,多分辨逼近 假設被分析信號 是嚴格平方可積的，即 。 從上面的定性分析發(fā)現(xiàn)，“用分辨率對信號進行分析”也可等價地敘述為“用可變分辨率去逼近”。 因此，多分辨率分析等價于多分辨率逼近。從空間的角度看，多分辨率逼近是在空間內構造一個子空間鏈,38,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,39,子空間鏈的性質 單調性：對任意 ，有

18、。 說明原信號中較低分辨率的部分對應于信號的粗節(jié)，從而對應更大的子空間，即低一級的空間包含于高一級的空間。 逼近性： 和 說明所有分辨率的子空間的并集代表整個平方可積空間。 伸縮性： 時間尺度的增大意味著信號被展寬，時間分辨率降低；反之，時間尺度減小意味著信號被壓縮，時間分辨率增大。子空間也有類似的伸縮性,39,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,40,子空間鏈的性質（續(xù)） 平移不變性： 說明函數(shù) 的平移不改變其形狀，時間分辨率也保持不變，因此 和 屬于同一子空間。 Riesz基的存在性：存在一個函數(shù) 及其平移 構成參考子空間 的Riesz基。 Riesz基存在性說明由函數(shù) 及其平移可逼

19、近原信號 。函數(shù) 稱為多分辨分析的生成元。因多分辨分析又稱為多尺度分析，因此 也稱為尺度函數(shù),40,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,41,子空間分解與頻帶分解 設信號 所占據(jù)的總頻帶( )定義的空間 。 經第一級分解后，劃分為兩個子空間： 低頻的 （頻帶 ），高頻的 （頻帶 ）； 經第二級分解后， 又被分解為低頻 （ ）和高頻 （ ），等,41,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,42,小波分析的MATLAB實現(xiàn) 小波函數(shù)與尺度函數(shù) phi, psi, Xval=wavefun(wname,iter) 該函數(shù)計算小波函數(shù) 和相應的尺度函數(shù) 的近似值。 wname小波函數(shù)，以字符

20、串形式給出。例如db1。 Xval在支撐區(qū)間上有 個點 小波重構函數(shù) X=waverec(C,L,wname) 該函數(shù)用指定的小波函數(shù)對小波分解結構C,L進行多尺度一維小波重構。 C，L1-N尺度下所有低頻，高頻系數(shù)組合。矢量,42,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,43,提取低頻系數(shù) A=appcoef(C,L,wname,N) 該函數(shù)是一個一維小波分析函數(shù)，用于從小波分解結構C,L中提取尺度N的一位信號低頻系數(shù)。 提取高頻系數(shù) D=detcoef(C,L,N) 用于從小波分解結構C,L中提取尺度N指定的一位信號高頻系數(shù) 獲取消噪中默認閾值的函數(shù) THR,SORH,KEEPAPP=D

21、DENCNP(IN1,wv,X) 獲取在消噪或壓縮過程中的默認閾值,43,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,44,消除噪聲函數(shù) XC,CXC,LXC=wdencmp(gb1,C,C,wname,N,THR,SORH,KEEPAPP) 該函數(shù)是一個一維消噪或壓縮函數(shù)。它用小波對信號進行消噪或壓縮。 利用給定閾值進行消噪處理函數(shù) Y=wthresh(X,SORH,T) 用于對矢量X進行軟閾值處理或硬閾值處理。 X被處理的信號矢量； SORH字符串，軟閾值s，硬閾值h； T閾值大小； Y輸出結果,44,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,45,小波包分析簡介 小波分解的缺點：高頻段頻率

22、分辨率差，低頻段時間分辨率差。 小波包分解對小波分解未分解的高頻段進一步分解，并能夠根據(jù)被分解信號的特征自適應地選擇相應的頻帶，使之與信號頻譜匹配，從而提高時頻分辨率,45,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,46,17.X 小波分析的應用,46,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,47,小波分 析的主要 內容和主 要應用,47,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,48,基于小波分析的一維信號消噪 【例】利用小波分析方法消除電網電壓中的噪聲，并分析用電故障。 【解】首先選擇小波函數(shù)db4，然后確定小波分解層數(shù)N=3。 小波消噪的方法基本上有三種： （1）強制消噪處理： 將小波

23、分解結構中的高頻系數(shù)全部置0，然后重構信號。 方法簡單，但容易丟失有用信號,48,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,49,2）默認閾值消噪處理： 利用ddencmp函數(shù)產生信號的默認閾值； 然后利用wdencmp函數(shù)進行消噪處理。 （3）給定軟/硬閾值消噪處理 閾值人為通過經驗給出； 一般來說比默認閾值更有可信度； 在閾值量化處理時用wthresh函數(shù)。 程序例,49,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,50,50,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,51,51,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,52,基于小波分析的信號特征提取 【例】利用小波分析方法提取信號的突變

24、點。信號由3個頻率的正弦信號組成，如上圖。 【解】采用Haar小波進行1層分解，畫出,52,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,53,另一例消噪處理 【例】利用小波分析方法消除信號中的噪聲。 【解】小波分解、小波收縮、小波重構,53,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,54,檢測信號的不連續(xù)點 【例】利用小波分析方法檢測信號中的不連續(xù)點。 【解】db4小波，2層分解，分別畫出 和,54,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,55,小波分析提取EEG信號中的尖波 【例】利用小波分析方法提取EEG信號中的尖波。 【解】利用db10小波，進行4層分解?？梢奃1中尖波,55,學習幻燈,The End of This Section,Thank You,56,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,57,小波舉例1 gauss小波,57,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,58,小波舉例2 Morlet小波,58,學習幻燈,2021/3/7,大連理工大學,59,小波函數(shù)的定義 定義 函數(shù) 是小波函數(shù)，如果它滿足 或者 定義對小波函數(shù)的要求非常寬松，只要要求具有一定震蕩性，即某種頻率特性即可。這就為小波函數(shù)的選擇提供了十分寬廣的空間。小波函數(shù)的平移和伸縮 構成了 的一組正交小波基，因此選擇了小波函數(shù)就等于選擇了一組小波基。母小波的伸縮過程就構成了這一束小波基,5